Příklady určité integrální oblasti obrázku. Online kalkulačka. Vypočítejte si určitý integrál (plocha zakřiveného lichoběžníku)

V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme dostali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b].

Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení relativně jednoduchých problémů. Ve skutečnosti budeme muset často pracovat se složitějšími figurami. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y).

Nechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na intervalu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b]. Pak vzorec pro výpočet plochy obrázku G, ohraničeného přímkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude vypadat jako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Podobný vzorec bude platit pro oblast obrazce ohraničenou přímkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Důkaz

Podívejme se na tři případy, pro které bude vzorec platit.

V prvním případě, s přihlédnutím k vlastnosti aditivity plochy, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G 1 rovná ploše obrázku G 2. Znamená to, že

Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.

Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornění bude vypadat takto:

Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:

Přejdeme k obecnému případu, kdy y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x.

Průsečíky označíme jako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tyto body rozdělují segment [a; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Proto,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.

Ukažme si obecný případ na grafu.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.

Nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny úsečkami y = f (x) a x = g (y).

Uvažování o kterémkoli z příkladů začneme sestrojením grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité tvary jako spojení jednodušších tvarů. Pokud je pro vás konstruování grafů a obrázků na nich obtížné, můžete si při studiu funkce prostudovat část o základních elementárních funkcích, geometrické transformaci grafů funkcí a také o sestrojování grafů.

Příklad 1

Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Řešení

Nakreslete čáry do grafu v kartézské soustavě souřadnic.

Na segmentu [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou ​​y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohledu k získání odpovědi použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu výpočtu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpověď: S(G) = 13

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 2

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Řešení

V tomto případě máme pouze jednu přímku umístěnou rovnoběžně s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhou hranici integrace.

Sestavme graf a nakreslete do něj čáry uvedené v zadání problému.

Když máme graf před očima, snadno určíme, že spodní hranicí integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2. K nalezení úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.

Upozorňujeme na skutečnost, že v obecném příkladu na výkresu se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2; 2), takže takto podrobné výpočty se mohou zdát zbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve složitějších případech nemusí být řešení tak zřejmé. To znamená, že je vždy lepší vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.

Na intervalu [ 2 ; 7] nad grafem funkce y = x + 2 je umístěn graf funkce y = x. Pro výpočet plochy použijeme vzorec:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpověď: S (G) = 59 6

Příklad 3

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Řešení

Nakreslíme čáry do grafu.

Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že dáme rovnítko mezi výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za předpokladu, že x není nula, se rovnost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficienty. Chcete-li si osvěžit paměť na algoritmus pro řešení takových rovnic, můžeme se podívat na část „Řešení kubických rovnic“.

Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, ve kterém je číslice G obsažena nad modrou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast obrázku:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpověď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Příklad 4

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou úsečky.

Řešení

Vynesme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme o jednotku nahoru. Rovnice na ose x je y = 0.

Označme průsečíky čar.

Jak je z obrázku patrné, grafy funkcí y = x 3 a y = 0 se protínají v bodě (0; 0). To se děje proto, že x = 0 je jediný skutečný kořen rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0, takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2; 0).

x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y = x 3 a y = - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1). Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 = - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y = x 3 je striktně rostoucí a funkce y = - log 2 x + 1 je přísně klesající.

Další řešení zahrnuje několik možností.

Možnost 1

Obrázek G si můžeme představit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou x, z nichž první je umístěn pod střední osou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost č. 2

Obrázek G lze znázornit jako rozdíl dvou obrázků, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To nám umožňuje najít oblast následovně:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto případě k nalezení oblasti budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.

Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získáme požadovanou oblast:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Příklad 5

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Řešení

Červenou čarou vyneseme čáru definovanou funkcí y = x. Čáru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modře a čáru y = 2 3 x - 3 černě.

Označme průsečíky.

Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrola: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Je řešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4

Najdeme průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je řešení rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnice nemá řešení

Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metoda č. 1

Představme si plochu požadovaného obrazce jako součet ploch jednotlivých obrazců.

Pak je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda č. 2

Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dvou dalších obrázků.

Poté vyřešíme rovnici přímky vzhledem k x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Oblast je tedy:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak vidíte, hodnoty jsou stejné.

Odpověď: S (G) = 11 3

Výsledek

Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme sestrojit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec k nalezení oblasti. V této části jsme zkoumali nejběžnější varianty úloh.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V tomto článku se dozvíte, jak najít plochu obrázku ohraničenou čarami pomocí integrálních výpočtů. Poprvé se s formulací takového problému setkáváme na střední škole, kdy jsme právě ukončili studium určitých integrálů a je čas začít s geometrickou interpretací získaných poznatků v praxi.

Co je tedy potřeba k úspěšnému vyřešení problému nalezení oblasti obrázku pomocí integrálů:

• Schopnost vytvářet kompetentní výkresy;
• Schopnost řešit určitý integrál pomocí známého Newton-Leibnizova vzorce;
• Schopnost „vidět“ výnosnější variantu řešení – tzn. chápete, jak bude v tom či onom případě pohodlnější provést integraci? Podél osy x (OX) nebo osy y (OY)?
• No, kde bychom byli bez správných výpočtů?) To zahrnuje pochopení toho, jak vyřešit tento jiný typ integrálů a správné numerické výpočty.

Algoritmus pro řešení problému výpočtu plochy obrázku ohraničeného čarami:

1. Stavíme výkres. Je vhodné to udělat na kostkovaném papíru ve velkém měřítku. Název této funkce podepisujeme tužkou nad každým grafem. Podepisování grafů se provádí pouze pro usnadnění dalších výpočtů. Po obdržení grafu požadovaného čísla bude ve většině případů okamžitě jasné, které limity integrace budou použity. Úlohu tedy řešíme graficky. Stává se však, že hodnoty limitů jsou zlomkové nebo iracionální. Proto můžete provést další výpočty, přejděte ke druhému kroku.

2. Pokud nejsou meze integrace explicitně specifikovány, pak najdeme průsečíky grafů mezi sebou a uvidíme, zda se naše grafické řešení shoduje s analytickým.

3. Dále musíte analyzovat výkres. V závislosti na tom, jak jsou grafy funkcí uspořádány, existují různé přístupy k nalezení oblasti obrázku. Podívejme se na různé příklady hledání oblasti obrázku pomocí integrálů.

3.1. Nejklasičtější a nejjednodušší verze problému je, když potřebujete najít oblast zakřiveného lichoběžníku. Co je to zakřivený lichoběžník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a jakákoli křivka spojitá na intervalu od A před b. Navíc toto číslo není záporné a nenachází se pod osou x. V tomto případě je plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovna určitému integrálu, vypočítanému pomocí vzorce Newton-Leibniz:

Příklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakými čarami je obrazec ohraničen? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, která se nachází nad osou ACH, je nezáporné, protože všechny body této paraboly mají kladné hodnoty. Dále, dané rovné čáry x = 1 A x = 3, které probíhají rovnoběžně s osou OU, jsou hraniční čáry obrázku vlevo a vpravo. Studna y = 0, je to také osa x, která omezuje obrázek zespodu. Výsledný obrázek je stínovaný, jak je patrné z obrázku vlevo. V takovém případě můžete problém okamžitě začít řešit. Před námi je jednoduchý příklad zakřiveného lichoběžníku, který následně řešíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce.

3.2. V předchozím odstavci 3.1 jsme zkoumali případ, kdy se nad osou x nachází zakřivený lichoběžník. Nyní zvažte případ, kdy jsou podmínky problému stejné, kromě toho, že funkce leží pod osou x. Ke standardnímu Newton-Leibnizovu vzorci je přidáno mínus. Níže zvážíme, jak takový problém vyřešit.

Příklad 2 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto příkladu máme parabolu y = x2 + 6x + 2, který vychází z os ACH, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Tady y = 0 omezuje požadované číslo shora. Přímo x = -4 A x = -1 to jsou hranice, ve kterých se bude vypočítat určitý integrál. Princip řešení problému nalezení oblasti obrazce se téměř úplně shoduje s příkladem číslo 1. Jediný rozdíl je v tom, že daná funkce není kladná a je také spojitá na intervalu [-4; -1] . Co tím myslíš, že není pozitivní? Jak je vidět z obrázku, obrazec, který leží v daném x, má výhradně „záporné“ souřadnice, což je to, co potřebujeme vidět a zapamatovat si při řešení problému. Hledáme oblast obrázku pomocí vzorce Newton-Leibniz, pouze se znaménkem mínus na začátku.

Článek není dokončen.

Problém 1(o výpočtu plochy zakřiveného lichoběžníku).

V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému xOy je dán údaj (viz obrázek) ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a křivočarým lichoběžníkem. Je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžník.
Řešení. Geometrie nám dává recepty na výpočet ploch mnohoúhelníků a některých částí kruhu (sektoru, segmentu). Pomocí geometrických úvah můžeme najít pouze přibližnou hodnotu požadované plochy, přičemž uvažujme následovně.

Rozdělme segment [a; b] (základna zakřiveného lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení se provádí pomocí bodů x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Těmito body narýsujme přímky rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. zakřivený lichoběžník, jehož základnou je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Plocha obdélníku se rovná \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je délka segmentu; Je přirozené považovat výsledný produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dojdeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Zde z důvodu jednotnosti zápisu předpokládáme, že a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - délka segmentu, \(\Delta x_1 \) - délka segmentu atd.; v tomto případě, jak jsme se shodli výše, \(\Delta x_0 = \tečky = \Delta x_(n-1) \)

Takže, \(S \approx S_n \), a tato přibližná rovnost je přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná plocha křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte pohyb bodu za určitý časový úsek [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se problém vyřešil velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb musíte použít stejné nápady, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový úsek a předpokládejme, že během tohoto časového úseku byla rychlost konstantní, stejná jako v čase t k. Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu pohybu bodu za určité časové období; tuto přibližnou hodnotu označíme jako s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
\(s \cca S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různých problémů byla redukována na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. To znamená, že tento matematický model musí být speciálně studován.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestaven ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), spojitý (ne však nutně nezáporný, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na intervalu [a; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) vytvořte součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Je nazýván určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a označeny takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
zde S je oblast zakřiveného lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Tohle je geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) v časovém úseku od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův-Leibnizův vzorec

Nejprve si odpovězme na otázku: jaká je souvislost mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď nalezneme v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b se vypočítá jako vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); To znamená, že posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho dostaneme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitivní derivát v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na intervalu [a; b], pak je vzorec platný
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitivní funkce f(x).

Daný vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (někdy je tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce můžeme získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochy nejen zakřivených lichoběžníků, ale také rovinných obrazců složitějšího typu, například toho, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je omezen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost \(g(x) \leq f(x) \). Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Takže plocha S obrazce ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x z úsečky [A; b] je splněna nerovnost \(g(x) \leq f(x) \), vypočtená podle vzorce
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

Úkol č. 3. Nakreslete a vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami

Aplikace integrálu při řešení aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojité nezáporné funkce f(x) je číselně roven plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená křivkou y = f(x), osou O x a přímkami x = a a x = b. V souladu s tím je plošný vzorec zapsán takto:

Podívejme se na některé příklady výpočtu ploch rovinných obrazců.

Úkol č. 1. Vypočítejte plochu ohraničenou přímkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Řešení. Sestrojme obrazec, jehož plochu budeme muset vypočítat.

y = x 2 + 1 je parabola, jejíž větve směřují nahoru a parabola je posunuta nahoru o jednu jednotku vzhledem k ose O y (obrázek 1).

Obrázek 1. Graf funkce y = x 2 + 1

Úkol č. 2. Vypočítejte plochu ohraničenou úsečkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Řešení. Grafem této funkce je parabola větví, které směřují nahoru a parabola je posunuta vzhledem k ose O y dolů o jednu jednotku (obrázek 2).

Obrázek 2. Graf funkce y = x 2 – 1

Úkol č. 3. Nakreslete a vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Řešení. První z těchto dvou přímek je parabola, jejíž větve směřují dolů, protože koeficient x 2 je záporný, a druhá přímka je přímka protínající obě souřadnicové osy.

Pro sestrojení paraboly najdeme souřadnice jejího vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho pořadnice, N(1;9) je vrchol.

Nyní najdeme průsečíky paraboly a přímky řešením soustavy rovnic:

Vyrovnání pravých stran rovnice, jejíž levé strany jsou stejné.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 nebo x 2 – 12 = 0, odkud .

Body jsou tedy průsečíky paraboly a přímky (obrázek 1).

Obrázek 3 Grafy funkcí y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Sestrojme přímku y = 2x – 4. Prochází body (0;-4), (2;0) na souřadnicových osách.

Pro sestrojení paraboly lze použít i její průsečíky s osou 0x, tedy kořeny rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 nebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocí Vietovy věty je snadné najít jeho kořeny: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázek 3 ukazuje obrazec (parabolický segment M 1 N M 2) ohraničený těmito přímkami.

Druhou částí problému je najít oblast tohoto obrázku. Jeho obsah lze zjistit pomocí určitého integrálu podle vzorce .

Ve vztahu k této podmínce získáme integrál:

2 Výpočet objemu rotačního tělesa

Objem tělesa získaný z rotace křivky y = f(x) kolem osy O x se vypočte podle vzorce:

Při otáčení kolem osy O y vzorec vypadá takto:

Úkol č. 4. Určete objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného přímkami x = 0 x = 3 a křivkou y = kolem osy O x.

Řešení. Nakreslíme obrázek (obrázek 4).

Obrázek 4. Graf funkce y =

Požadovaný objem je

Úkol č. 5. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného křivkou y = x 2 a přímkami y = 0 a y = 4 kolem osy O y.

Řešení. My máme:

Kontrolní otázky