Sousední trojúhelníky. Jaké úhly se nazývají sousední? Jaký je součet dvou sousedních úhlů?

Dva úhly umístěné na stejné přímce a mající stejný vrchol se nazývají sousední.

V opačném případě, pokud je součet dvou úhlů na jedné přímce roven 180 stupňům a mají jednu stranu společnou, jedná se o sousední úhly.

1 sousední úhel + 1 sousední úhel = 180 stupňů.

Sousední úhly jsou dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dvě strany obecně tvoří přímku.

Součet dvou sousedních úhlů je vždy 180 stupňů. Pokud je například jeden úhel 60 stupňů, pak druhý bude nutně roven 120 stupňům (180-60).

Úhly AOC a BOC jsou sousední úhly, protože jsou splněny všechny podmínky pro charakteristiky sousedních úhlů:

1.OS - společná strana dvou rohů

2.AO - strana rohu AOS, OB - strana rohu BOS. Společně tyto strany tvoří přímku AOB.

3. Existují dva úhly a jejich součet je 180 stupňů.

Když si vzpomeneme na kurz školní geometrie, můžeme o sousedních úhlech říci následující:

sousední úhly mají jednu stranu společnou a další dvě strany patří stejné přímce, to znamená, že jsou na stejné přímce. Pokud podle obrázku, pak jsou úhly SOV a BOA sousední úhly, jejichž součet je vždy roven 180, protože rozdělují přímý úhel, a přímý úhel je vždy roven 180.

Sousední úhly jsou v geometrii snadným konceptem. Sousední úhly, úhel plus úhel, tvoří dohromady 180 stupňů.

Dva sousední úhly budou jedním rozvinutým úhlem.

Existuje několik dalších nemovitostí. S přilehlými úhly se problémy snadno řeší a věty dokazují.

Sousední úhly se tvoří nakreslením paprsku z libovolného bodu na přímce. Pak se ukáže, že tento libovolný bod je vrcholem úhlu, paprsek je společnou stranou sousedních úhlů a přímka, ze které je paprsek nakreslen, jsou dvě zbývající strany sousedních úhlů. Sousední úhly mohou být stejné v případě kolmice, nebo různé v případě nakloněného nosníku. Je snadné pochopit, že součet sousedních úhlů se rovná 180 stupňům nebo jednoduše přímce. Jiným způsobem lze tento úhel vysvětlit na jednoduchém příkladu - nejprve jste šli jedním směrem po přímce, pak jste si to rozmysleli, rozhodli jste se vrátit a po otočení o 180 stupňů jste se vydali stejnou přímkou opačným směrem. směr.

Co je tedy sousední úhel? Definice:

Dva úhly se společným vrcholem a jednou společnou stranou se nazývají sousední a další dvě strany těchto úhlů leží na stejné přímce.

A krátká video lekce, která rozumně ukazuje o sousedních úhlech, svislých úhlech a o kolmých čarách, což je speciální případ sousedních a svislých úhlů

Sousední úhly jsou úhly, ve kterých je jedna strana společná a druhá je jedna přímka.

Sousední úhly jsou úhly, které na sobě závisí. To znamená, že pokud se společná strana mírně pootočí, pak se jeden úhel zmenší o několik stupňů a automaticky se druhý úhel zvětší o stejný počet stupňů. Tato vlastnost sousedních úhlů umožňuje řešit různé problémy v geometrii a provádět důkazy různých teorémů.

Celkový součet sousedních úhlů je vždy 180 stupňů.

Z kurzu geometrie, (pokud si pamatuji v 6. třídě), se dva úhly nazývají sousední, ve kterých je jedna strana společná a ostatní strany jsou další paprsky, součet sousedních úhlů je 180. Každý z těchto dvou sousední úhly doplňuje další do rozšířeného úhlu. Příklad sousedních úhlů:

Sousední úhly jsou dva úhly se společným vrcholem, z nichž jedna strana je společná a zbývající strany leží na stejné přímce (neshodují se). Součet sousedních úhlů je sto osmdesát stupňů. Obecně lze toto vše velmi snadno najít v Googlu nebo učebnici geometrie.

Dva úhly se nazývají sousední, pokud mají společný vrchol a jednu stranu a další dvě strany tvoří přímku. Součet sousedních úhlů je 180 stupňů.

Na obrázku jsou úhly AOB a BOC sousedící.

Sousední úhly jsou ty, které mají společný vrchol, jednu společnou stranu a ostatní strany jsou pokračováním jedna druhé a tvoří prodloužený úhel. Pozoruhodnou vlastností sousedních úhlů je, že součet těchto úhlů je vždy roven 180 stupňům.

Úhly se společným vrcholem a jednou společnou stranou v geometrii se nazývají sousední

Součet sousedních úhlů je 180 stupňů

Je třeba poznamenat, že sousední úhly mají stejné sinusy

Chcete-li se dozvědět více o sousedních úhlech, čtěte zde

Začínáme s úhly

Jsou nám dány dva libovolné paprsky. Položíme je na sebe. Pak

Definice 1

Úhel nazveme dva paprsky, které mají stejný počátek.

Definice 2

Bod, který je počátkem paprsků v rámci Definice 3, se nazývá vrchol tohoto úhlu.

Úhel budeme označovat jeho následujícími třemi body: vrchol, bod na jednom paprsku a bod na druhém paprsku a vrchol úhlu se píše uprostřed jeho označení (obr. 1).

Nyní určíme, jaká je velikost úhlu.

K tomu musíme vybrat nějaký druh „referenčního“ úhlu, který budeme brát jako jednotku. Nejčastěji je tímto úhlem úhel, který se rovná $\frac(1)(180)$ části rozvinutého úhlu. Tato veličina se nazývá stupeň. Po výběru takového úhlu s ním porovnáme úhly, jejichž hodnotu je potřeba najít.

Existují 4 typy úhlů:

Definice 3

Úhel se nazývá ostrý, pokud je menší než $90^0$.

Definice 4

Úhel se nazývá tupý, pokud je větší než $90^0$.

Definice 5

Úhel se nazývá rozvinutý, pokud je roven $180^0$.

Definice 6

Úhel se nazývá pravý, pokud je roven $90^0$.

Kromě výše popsaných typů úhlů můžeme rozlišovat typy úhlů ve vzájemném vztahu, a to vertikální a sousední úhly.

Sousední úhly

Uvažujme obrácený úhel $COB$. Z jeho vrcholu nakreslíme paprsek $OA$. Tento paprsek rozdělí ten původní na dva úhly. Pak

Definice 7

Dva sousední úhly budeme nazývat, jestliže jeden pár jejich stran je rozvinutý úhel a druhý pár se shoduje (obr. 2).

V tomto případě úhly $COA$ a $BOA$ sousedí.

Věta 1

Součet sousedních úhlů je $180^0$.

Důkaz.

Podívejme se na obrázek 2.

Podle definice 7 bude úhel $COB$ v něm roven $180^0$. Protože se druhá dvojice stran sousedních úhlů shoduje, paprsek $OA$ vydělí rozvinutý úhel 2, proto

$∠COA+∠BOA=180^0$

Věta je dokázána.

Zvažme řešení problému pomocí tohoto konceptu.

Příklad 1

Najděte úhel $C$ z obrázku níže

Podle definice 7 zjistíme, že úhly $BDA$ a $ADC$ spolu sousedí. Proto podle věty 1 dostáváme

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Podle věty o součtu úhlů v trojúhelníku máme

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0 $

Odpověď: $ 40^0 $.

Vertikální úhly

Zvažte rozvinuté úhly $AOB$ a $MOC$. Zarovnejme jejich vrcholy k sobě (tj. dáme bod $O"$ na bod $O$) tak, aby se žádné strany těchto úhlů neshodovaly.

Definice 8

Dva úhly budeme nazývat vertikální, pokud dvojice jejich stran jsou rozložené úhly a jejich hodnoty se shodují (obr. 3).

V tomto případě jsou úhly $MOA$ a $BOC$ vertikální a úhly $MOB$ a $AOC$ jsou také vertikální.

Věta 2

Vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

Důkaz.

Podívejme se na obrázek 3. Dokažme například, že úhel $MOA$ je roven úhlu $BOC$.

Úhly, ve kterých je jedna strana společná a ostatní strany leží na stejné přímce (na obrázku sousedí úhly 1 a 2). Rýže. k čl. Přilehlé rohy... Velká sovětská encyklopedie

PŘILEŽITÉ ROHY- úhly, které mají společný vrchol a jednu společnou stranu a jejich další dvě strany leží na stejné přímce... Velká polytechnická encyklopedie

Viz úhel... Velký encyklopedický slovník

SOUVISLÉ ÚHLY, dva úhly, jejichž součet je 180°. Každý z těchto úhlů doplňuje druhý do plného úhlu... Vědeckotechnický encyklopedický slovník

Viz Úhel. * * * PŘIDÁVAJÍCÍ ROHY PŘILÍZENÉ ROHY, viz Úhel (viz ÚHEL) ... encyklopedický slovník

- (Úhly sousedící) ty, které mají společný vrchol a společnou stranu. Většinou se tímto názvem rozumí takové C. úhly, jejichž další dvě strany leží v opačných směrech jedné přímky vedené vrcholem ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Viz úhel... Přírodní věda. encyklopedický slovník

Dvě přímky se protnou a vytvoří pár svislých úhlů. Jeden pár se skládá z úhlů A a B, druhý z C a D. V geometrii se dva úhly nazývají vertikální, pokud jsou vytvořeny průsečíkem dvou ... Wikipedia

Dvojice komplementárních úhlů, které se vzájemně doplňují až do 90 stupňů Doplňkové úhly jsou dvojice úhlů, které se doplňují až do 90 stupňů. Pokud dva komplementární úhly sousedí (tj. mají společný vrchol a jsou odděleny pouze... ... Wikipedie

Dvojice komplementárních úhlů, které se vzájemně doplňují až do 90 stupňů Doplňkové úhly jsou dvojice úhlů, které se doplňují až do 90 stupňů. Pokud jsou dva komplementární úhly s... Wikipedie

knihy

O nátisku v geometrii, A.I. Fetisov. Tato kniha bude vyrobena v souladu s vaší objednávkou pomocí technologie Print-on-Demand. Jednoho dne, na samém začátku školního roku, jsem zaslechl rozhovor dvou dívek. Nejstarší z nich...
Komplexní notebook pro kontrolu znalostí. Geometrie. 7. třída. Federální státní vzdělávací standard, Babenko Světlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Příručka představuje kontrolní a měřicí materiály (CMM) v geometrii pro provádění běžné, tematické a výstupní kontroly kvality znalostí žáků 7. ročníku. Obsah návodu...

Dva úhly se nazývají sousední, pokud mají jednu stranu společnou, a ostatní strany těchto úhlů jsou komplementární paprsky. Na obrázku 20 sousedí úhly AOB a BOC.

Součet sousedních úhlů je 180°

Věta 1. Součet sousedních úhlů je 180°.

Důkaz. Paprsek OB (viz obr. 1) prochází mezi stranami rozvinutého úhlu. Proto ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Z věty 1 vyplývá, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.

Vertikální úhly jsou stejné

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou komplementárními paprsky stran druhého. Úhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvořené v průsečíku dvou přímek, jsou svislé (obr. 2).

Věta 2. Vertikální úhly jsou stejné.

Důkaz. Uvažujme vertikální úhly AOB a COD (viz obr. 2). Úhel BOD sousedí s každým z úhlů AOB a COD. Podle věty 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Z toho usuzujeme, že ∠ AOB = ∠ COD.

Důsledek 1. Úhel sousedící s pravým úhlem je pravý úhel.

Uvažujme dvě protínající se přímky AC a BD (obr. 3). Tvoří čtyři rohy. Pokud je jeden z nich přímý (úhel 1 na obr. 3), pak jsou zbývající úhly také pravé (úhly 1 a 2, 1 a 4 sousedí, úhly 1 a 3 jsou svislé). V tomto případě říkají, že tyto čáry se protínají v pravém úhlu a nazývají se kolmé (nebo vzájemně kolmé). Kolmost přímek AC a BD je označena následovně: AC ⊥ BD.

Osa kolmice k segmentu je přímka kolmá k tomuto segmentu a procházející jeho středem.

AN - kolmá k přímce

Uvažujme přímku a a bod A, který na ní neleží (obr. 4). Spojme bod A úsečkou s bodem H přímkou a. Úsek AN se nazývá kolmice vedená z bodu A k přímce a, pokud jsou úsečky AN a a kolmé. Bod H se nazývá základna kolmice.

Kreslení čtverce

Následující věta je pravdivá.

Věta 3. Z libovolného bodu, který neleží na přímce, lze k této přímce nakreslit kolmici a navíc pouze jednu.

Pro nakreslení kolmice z bodu na přímku ve výkresu použijte kreslicí čtverec (obr. 5).

Komentář. Formulace věty se obvykle skládá ze dvou částí. Jedna část hovoří o tom, co je dáno. Tato část se nazývá podmínka věty. Druhá část hovoří o tom, co je třeba dokázat. Tato část se nazývá závěr věty. Například podmínkou věty 2 je, že úhly jsou svislé; závěr - tyto úhly jsou stejné.

Jakoukoli větu lze podrobně vyjádřit slovy tak, že její podmínka začíná slovem „pokud“ a její závěr slovem „pak“. Například větu 2 lze podrobně vyjádřit takto: „Pokud jsou dva úhly svislé, pak jsou stejné.

Příklad 1 Jeden ze sousedních úhlů je 44°. Čemu se rovná ten druhý?

Řešení. Stupňovou míru jiného úhlu označme x, tedy podle věty 1.
44° + x = 180°.
Řešením výsledné rovnice zjistíme, že x = 136°. Proto je druhý úhel 136°.

Příklad 2 Nechť úhel CHSK na obrázku 21 je 45°. Jaké jsou úhly AOB a AOC?

Řešení. Úhly COD a AOB jsou vertikální, proto jsou podle věty 1.2 stejné, tj. ∠ AOB = 45°. Úhel AOC sousedí s úhlem COD, což znamená podle věty 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CHSK = 180° - 45° = 135°.

Příklad 3 Najděte sousední úhly, pokud je jeden z nich 3x větší než druhý.

Řešení. Míru stupně menšího úhlu označme x. Pak míra stupně většího úhlu bude 3x. Protože součet sousedních úhlů je roven 180° (věta 1), pak x + 3x = 180°, odkud x = 45°.
To znamená, že sousední úhly jsou 45° a 135°.

Příklad 4. Součet dvou vertikálních úhlů je 100°. Najděte velikost každého ze čtyř úhlů.

Řešení. Nechť podmínky úlohy splní obrázek 2. Vertikální úhly COD k AOB jsou stejné (Věta 2), což znamená, že jejich míry jsou také stejné. Tedy ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (jejich součet podle podmínky je 100°). Úhel BOD (také úhel AOC) sousedí s úhlem COD, a proto podle věty 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

KAPITOLA I.

ZÁKLADNÍ POJMY.

§jedenáct. PŘIlehlé A SVISLÉ ROHY.

1. Sousední úhly.

Prodloužíme-li stranu libovolného úhlu za jeho vrchol, dostaneme dva úhly (obr. 72): / A slunce a / SVD, ve kterém je jedna strana BC společná a další dvě A a BD tvoří přímku.

Dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dva tvoří přímku, se nazývají sousední úhly.

Sousední úhly lze získat i tímto způsobem: nakreslíme-li paprsek z nějakého bodu na přímce (neležící na dané přímce), získáme sousední úhly.
Například, / ADF a / FDВ - sousední úhly (obr. 73).

Sousední úhly mohou mít širokou škálu poloh (obr. 74).

Sousední úhly se sčítají k přímému úhlu, takže umma dvou sousedních úhlů je stejné 2d.

Pravý úhel lze tedy definovat jako úhel rovný jeho sousednímu úhlu.

Když známe velikost jednoho ze sousedních úhlů, můžeme najít velikost druhého úhlu, který k němu přiléhá.

Pokud je například jeden ze sousedních úhlů 3/5 d, pak se druhý úhel bude rovnat:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikální úhly.

Prodloužíme-li strany úhlu za jeho vrchol, dostaneme svislé úhly. Na obrázku 75 jsou úhly EOF a AOC svislé; úhly AOE a COF jsou také vertikální.

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou pokračováním stran druhého úhlu.

Nechat / 1 = 7 / 8 d(Obrázek 76). Sousedí s ním / 2 se bude rovnat 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.

Stejným způsobem můžete vypočítat, čemu se rovnají / 3 a / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Obrázek 77).

To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.

Můžete vyřešit několik dalších stejných problémů a pokaždé dostanete stejný výsledek: svislé úhly jsou navzájem stejné.

Abychom se však ujistili, že vertikální úhly jsou vždy stejné, nestačí uvažovat jednotlivé číselné příklady, protože závěry vyvozené z konkrétních příkladů mohou být někdy chybné.

Je třeba ověřit platnost vlastností svislých úhlů úvahou, důkazem.

Důkaz lze provést následovně (obr. 78):

/ a+/ C = 2d;
/ b+/ C = 2d;

(protože součet sousedních úhlů je 2 d).

/ a+/ C = / b+/ C

(protože levá strana této rovnosti je také rovna 2 d a jeho pravá strana je také rovna 2 d).

Tato rovnost zahrnuje stejný úhel S.

Pokud odečteme stejná množství od stejných množství, zůstanou stejná množství. Výsledkem bude: / A = / b, tj. vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

Při zvažování problematiky vertikálních úhlů jsme si nejprve vysvětlili, které úhly se nazývají vertikální, tzn. definice vertikální úhly.

Poté jsme učinili úsudek (výrok) o rovnosti vertikálních úhlů a přesvědčili se o platnosti tohoto úsudku prostřednictvím důkazu. Takové rozsudky, jejichž platnost musí být prokázána, se nazývají teorémy. V této části jsme tedy uvedli definici vertikálních úhlů a také uvedli a dokázali větu o jejich vlastnostech.

V budoucnu se při studiu geometrie budeme muset neustále setkávat s definicemi a důkazy vět.

3. Součet úhlů, které mají společný vrchol.

Na výkresu 79 / 1, / 2, / 3 a / 4 jsou umístěny na jedné straně přímky a mají na této přímce společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří úhel přímý, tzn.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na výkresu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 mají společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří plný úhel, tzn. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Cvičení.

1. Jeden ze sousedních úhlů je 0,72 d. Vypočítejte úhel, který svírají osy těchto sousedních úhlů.

2. Dokažte, že osy dvou sousedních úhlů svírají pravý úhel.

3. Dokažte, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.

4. Kolik párů sousedních úhlů je na obrázku 81?

5. Může se dvojice sousedních úhlů skládat ze dvou ostrých úhlů? ze dvou tupých úhlů? z pravého a tupého úhlu? z pravého a ostrého úhlu?

6. Pokud je jeden ze sousedních úhlů pravý, co pak lze říci o velikosti úhlu, který k němu přiléhá?

7. Je-li v průsečíku dvou přímek jeden úhel pravý, co pak lze říci o velikosti ostatních tří úhlů?