I v AD perfektní čísla. Perfektní číslo

Příklady

• 1. dokonalé číslo - má tyto vlastní dělitele: 1, 2, 3; jejich součet 1 + 2 + 3 je 6.
• 2. dokonalé číslo - má tyto vlastní dělitele: 1, 2, 4, 7, 14; jejich součet 1 + 2 + 4 + 7 + 14 je 28.
• 3. dokonalé číslo - má tyto vlastní dělitele: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; jejich součet 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 je 496.
• 4. dokonalé číslo - má tyto vlastní dělitele: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; jejich součet 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 je 8128.

Historie studia

Dokonce perfektní čísla

Algoritmus pro konstrukci sudých dokonalých čísel je popsán v knize IX Začal Euklides, kde bylo prokázáno, že číslo je dokonalé, pokud je číslo prvočíslo (tzv. Mersennova prvočísla). Následně Leonhard Euler dokázal, že všechna sudá dokonalá čísla mají tvar naznačený Eukleidem.

Jsou uvedena první čtyři dokonalá čísla Aritmetický Nicomacheus z Gerazu. Páté dokonalé číslo, 33 550 336, objevil německý matematik Regiomontanus (15. století). V 16. století našel německý vědec Scheibel dvě dokonalejší čísla: 8 589 869 056 a 137 438 691 328 R= 17 a R= 19. Na začátku 20. století byla nalezena tři dokonalejší čísla (např R= 89, 107 a 127). Následně se hledání zpomalilo až do poloviny 20. století, kdy se s nástupem počítačů staly možné výpočty přesahující lidské možnosti.

K dubnu 2010 je známo 47 Mersennových prvočísel a jejich odpovídající sudá dokonalá čísla; projekt distribuovaných počítačů GIMPS hledá nová Mersennova prvočísla.

Zvláštní dokonalá čísla

Lichá dokonalá čísla nebyla dosud objevena, ale nebylo prokázáno, že neexistují. Není také známo, zda je množina všech dokonalých čísel nekonečná.

Bylo prokázáno, že liché dokonalé číslo, pokud existuje, má alespoň 9 různých prvočinitelů a alespoň 75 prvočísel, přičemž se bere v úvahu násobnost. Distribuovaný výpočetní projekt OddPerfect.org hledá lichá dokonalá čísla.

Vlastnosti

Pozoruhodná fakta

Zvláštní („dokonalá“) povaha čísel 6 a 28 byla uznána v kulturách založených na abrahámských náboženstvích, která tvrdí, že Bůh stvořil svět za 6 dní, a zaznamenal, že Měsíc oběhne Zemi přibližně za 28 dní.

„Neméně důležitá je myšlenka vyjádřená číslem 496. Je to „teosofické rozšíření“ čísla 31 (tedy součet všech celých čísel od 1 do 31). Mimo jiné je to součet slova Malkuth, tedy „Království“. Tak se Království, plný projev primární ideje Boha, objevuje v gematrii jako přirozený doplněk nebo projev čísla 31, což je číslo jména 78.

"Číslo 6 je dokonalé samo o sobě, a ne proto, že by Pán stvořil všechny věci v 6 dnech, ale naopak, Bůh stvořil všechny věci v 6 dnech, protože toto číslo je dokonalé. A zůstalo by dokonalé, i kdyby nebylo vytvoření za 6 dní."

viz také

• Mírně nadbytečná čísla (kvazidokonalá čísla)

Poznámky

Odkazy

• Depman I. Perfektní čísla // Kvantová. - 1991. - č. 5. - S. 13-17.

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co je „Perfektní číslo“ v jiných slovnících:

PERFECT NUMBER, viz NUMBER PERFECT...

Přirozené číslo, rovnající se součtu všechny jeho regulární (tj. menší než tento počet) dělitele. Například 6=1+2+3 a 28=1+2+4+7+14 jsou dokonalá čísla... Velký encyklopedický slovník

Přirozené číslo, které se rovná součtu všech jeho pravidelných (tj. menších než toto číslo) dělitelů. Například 6 = 1 + 2 + 3 a 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 jsou dokonalá čísla. * * * DOKONALÉ ČÍSLO DOKONALÉ ČÍSLO, přirozené číslo rovné součtu... ... encyklopedický slovník

Celý kladné číslo, mající vlastnost, že se shoduje se součtem všech svých kladných dělitelů jiných než toto samotné číslo. Celé číslo je tedy číslo, pokud jsou číslem například čísla 6, 28, 496, 8128,33550336... Matematická encyklopedie

ČÍSLO, DOKONALÉ, CELÉ ČÍSLO se rovná součtu jeho dělitelů, včetně 1. Například číslo 28 je dokonalé číslo, protože jeho děliteli jsou čísla 1, 2, 4, 7 a 14 (nepočítáme-li samotné číslo 28), a jejich součet je 28 .Není známo... Vědeckotechnický encyklopedický slovník

Čísla ve tvaru Mn = 2n 1, kde n je přirozené číslo. Pojmenován po francouzském matematikovi Mersennovi. Posloupnost Mersennových čísel začíná takto: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ... (sekvence A000225 v OEIS) Někdy čísla ... ... Wikipedie

Číslo- Od starověku různá čísla připisováno tajné významy. Filozofové, stoupenci Pythagora (asi 500 př. n. l.), tvrdili, že čísla jsou základním principem a podstatou věcí a podrobně definovali kvality a typy čísel. Podle nich... ... Slovník biblických jmen

Spojité uzavřené topologické mapování. prostory tak, že inverzní obrazy všech bodů jsou kompaktní. Tak. jsou v mnoha ohledech podobné spojitým zobrazením kompaktních prostorů do Hausdorffových prostorů (každé takové zobrazení je dokonalé), ale koule... ... Matematická encyklopedie

Šestihranné číslo je složené číslo. N-té hexagonální číslo je počet bodů v šestiúhelníku s přesně n body na každé straně. Vzorec pro n-té hexagonální číslo ... Wikipedie

Tento termín má jiné významy, viz 6 (významy). 6 šest 3 4 5 6 7 8 9 Faktorizace: 2×3 Římský zápis: VI Binární: 110 Osmičková: 6 Hex... Wikipedie

Karatetská Maria

V této abstraktní práci s prvky nezávislého výzkumu je „objeven koncept dokonalého čísla“,

Jsou zkoumány vlastnosti dokonalých čísel, historie jejich vzhledu a jsou prezentována zajímavá fakta související s tímto konceptem.

Stažení:

Náhled:

Obecní rozpočtová vzdělávací instituce

„Střední škola č. 19 s prohloubeným studiem

Jednotlivé položky"

Vědecká společnost studentů „Chytrí muži a chytré dívky“

Abstraktní práce s prvky

nezávislý výzkum

« Perfektní čísla»

Provedeno:

žák 7. třídy "A"

Karatetská Maria

Dozorce:

učitel matematiky

Kolina Natalya Konstantinovna

Adresa OS:

606523, Oblast Nižnij Novgorod, Gorodetsky

Okres, Zavolzhye, ul. Molodezhnaya, 1

MBOU střední škola č. 19 s UIOP

E-mailem: [e-mail chráněný]

2015

1.Úvod……………………………………………………………………………………………… 3

2.Co je dokonalé číslo? ………………………………………………………… ..................4

3. Historie vzniku dokonalých čísel………………………………………....4

4. Vlastnosti dokonalých čísel……………………………………….………………………....8

5. Zajímavosti………………………………………………………………………………...8

6. Příklady úkolů………………………………………………………………………………………….9

7. Závěr……………………………………………………………………………………… 11

8. Seznam použitých odkazů………………………………………………………………………12

"Všechno je krásné díky číslu" Pythagoras.

1. Úvod

Číslo je jedním ze základních pojmů matematiky. Pro pojem „číslo“ existuje velké množství definic. Pythagoras byl první, kdo mluvil o číslech. Podle jeho učení číslo 2 znamenalo harmonii, 5 - barvu, 6 - chlad, 7 - inteligenci, zdraví, 8 - lásku a přátelství. První vědecká definicečísla byla uvedena Eukleidem ve svém díle „Prvky“: „Jednotka je ta, podle níž se každá z existujících věcí nazývá jedna. Číslo je soubor složený z jednotek.

Existují množiny čísel, jejich podmnožiny, skupiny a jednou z neobvyklých skupin jsou dokonalá čísla. V této skupině je známo pouze 48 čísel, ale přesto jsoutvoří jednu z nejzajímavějších podmnožin množiny přirozených čísel.

Problém: Rád řeším nestandardní problémy. Jednoho dne jsem narazil na problém, který hovořil o dokonalých číslech, měl jsem potíže ho vyřešit, tak jsem se o toto téma začal zajímat a rozhodl jsem se tato čísla prostudovat podrobněji.

Účel studia:seznámit se s pojmem dokonalé číslo, prozkoumat vlastnosti dokonalých čísel,přitáhnout pozornost studentů k tomuto tématu.

úkoly:

Prostudujte a analyzujte literaturu k tématu výzkumu.

Prostudujte si historii vzniku dokonalých čísel.

-„Objevte“ vlastnosti dokonalých čísel a oblasti jejich použití

Rozšiřte své duševní obzory.

Metody výzkumu:studium literatury, srovnání, pozorování,

teoretický rozbor, zobecnění.

2.Co je dokonalé číslo?

Perfektní číslo- přirozené číslo , rovný součtu všech jehosprávné dělitele (tj. všechny kladné dělitele, včetně 1, ale odlišné od samotného čísla).

První dokonalé číslomá následující vlastní dělitele: 1, 2, 3; jejich součet 1 + 2 + 3 je 6.

Druhé dokonalé číslomá následující vlastní dělitele: 1, 2, 4, 7, 14; jejich součet 1 + 2 + 4 + 7 + 14 je 28.

Třetí dokonalé číslo 496 má tyto vlastní dělitele: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; jejich součet 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 je 496.

Čtvrté dokonalé číslo jemá tyto vlastní dělitele: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; jejich součet 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 je 8128.

Tak jako celá číslačím dál tím méně, dokonalá čísla se nacházejí stále méně často.

3. Historie vzniku dokonalých čísel

Starověký řecký matematik a filozof Pythagoras , je také tvůrcem náboženské a filozofické školy Pythagorejců (570-490 př. n. l.), zavedl pojmy nadbytečné a nedostatečné počty.

Pokud je součet dělitelů čísla větší než samotné číslo, pak se takové číslo nazývá „nadbytečné“. Například 12 je nadbytečné číslo, protože součet jeho dělitelů je 16. Pokud je součet dělitelů čísla menší než samotné číslo, pak se takové číslo nazývá „nedostatečné“.

Například 10 není dostatečné číslo, protože součet jeho dělitelů (1, 2 a 5) je pouze 8.

Pythagorejci vyvinuli svou filozofii z vědy o číslech. Dokonalá čísla, věřili, jsou krásné obrázky ctnosti. Představují střední cestu mezi nadbytkem a nedostatkem. Jsou velmi vzácné a jsou vytvářeny dokonalým řádem. Naproti tomu superhojná a nedokonalá čísla, kterých je co nejvíce, nejsou uspořádána v pořadí a nejsou generována pro nějaký konkrétní účel. A proto mají velkou podobnost s neřestmi, kterých je mnoho, nejsou uspořádané a nedefinované.

"Dokonalé číslo se rovná jeho podílům." Tato slova patří Euklides , starověký řecký matematik, autor prvního teoretického pojednání o matematice, které se k nám dostalo, „Elements“ (3. století před naším letopočtem).Před Euklidem byla známa pouze dvě dokonalá čísla a nikdo nevěděl, zda existují i ​​jiná dokonalá čísla nebo kolik takových čísel může být. Díky svému vzorci 2 p-1 *(2 str -1) je dokonalé číslo, pokud (2 p -1) je prvočíslo, takže Euklidovi se podařilo najít další dvě dokonalá čísla: 496 a 8128. Metoda hledání dokonalých čísel je popsána v knize IX.

Nicomachus z Gerazu, řecký filozof a matematik (1. polovina 2. století n. l.) ve své eseji „Úvod do aritmetiky“ napsal: „...Krásné a ušlechtilé věci jsou obvykle vzácné a snadno se spočítají, zatímco ošklivých a špatných věcí je mnoho; takže se nacházejí přebytečné a nedostatečné počty velké množství a neuspořádaně, takže způsob jejich hledání není uspořádaný, zatímco dokonalá čísla jsou snadno spočítatelná a uspořádaná ve správném pořadí. Mezi jednocifernými čísly je totiž jedno takové číslo 6, druhé číslo 28 je jediné mezi desítkami, třetí číslo 496 je jediné mezi stovkami a čtvrté číslo 8128 je mezi tisíci, omezíme-li se na deset tisíc. A jejich neodmyslitelnou vlastností je, že střídavě končí šestkou, pak osmičkou a všechny jsou sudé spolehlivým způsobem jejich účtenka, která nevynechá jediné dokonalé číslo a dává pouze dokonalá čísla, je následující. Všechno zařiďte sudá-sudá čísla, začněte od jednoho v jedné řadě a pokračujte, dokud si přejete: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.

Poté je přidejte postupně, pokaždé přidejte jeden,

a po každém přidání se podívejte na výsledek; a kdy bude

primární a nesložené, vynásobte jej posledním přidaným

číslo, výsledkem čehož je vždy dokonalé číslo.

Pokud je sekundární a složený, není třeba množit, ale je to nutné

přidejte další číslo a podívejte se na výsledek; jestli zase on

se ukáže jako sekundární a složený, znovu to přeskočte a nemnožte, ale

přidejte následující; ale pokud je primární a nesložený, pak

vynásobením posledním přidaným číslem opět dostanete

dokonalé číslo a tak dále do nekonečna. A tímto způsobem vy

získáte všechna dokonalá čísla v pořádku, aniž byste vynechali jediné

z nich. Například přidám 2 k 1 a uvidím, jaké číslo dostanu

celkem a zjišťuji, že toto číslo je 3, primární a nesložené ve shodě

s tím, co bylo řečeno výše, protože nemá různá jména

podíl s ním, ale pouze podíl po něm pojmenovaný; teď se množím

to k poslednímu přidanému číslu, což je 2, a dostanu 6; a já

Prohlašuji, že je to první skutečné dokonalé číslo

takové podíly, do kterých když se poskládají, zapadnou

samotné číslo: vždyť jednotka je po něm pojmenována, ach je

šestý, takt a 3 je polovina v souladu s číslem 2 a

zpět, dva je třetí. Číslo 28 se získá stejným způsobem, když se k již přidaným přičte další číslo 4

vyšší. Koneckonců, tři čísla 1, 2, 4 se sečtou k číslu 7, což se ukáže být

primární a nesložený, protože má pouze jméno

jemu sedmý podíl; a proto to vynásobím posledním množstvím,

přičteno k součtu a můj výsledek je 28, což se rovná mému

akcie a mající akcie pojmenované podle již zmíněných čísel:

polovina na čtrnáct, čtvrtina na sedm, sedmá na

4, čtrnáctý na rozdíl od poloviny, dvacátý osmý

v souladu s jeho vlastním jménem a takový zlomek pro všechna čísla je roven jedné. A když už jsou otevřeny v jednotkách po 6 a v desítkách po 28, vy

8 a dostanete 15; při pohledu na to zjišťuji, že ne

primární a nesložené, protože kromě toho po něm pojmenovaného

podíl má podíly naproti němu, pátý a třetí; proto ne

Vynásobím to 8, ale přidám další číslo 16 a získám číslo

31. Je primární a nekompozitní, a proto je nutné v

Podle obecné pravidlo, vynásobte posledním přidaným číslem, 16, výsledkem je 496 ve stovkách; a pak to bude 8128 v tisících; a tak dále, dokud existuje touha pokračovat...“

Je třeba říci, že pod sekundárním číslem Nikomachos rozumí číslo, které je násobkem daného, ​​tedy takové, které lze získat násobením přirozenými čísly; Faktory zahrnuté v expanzi čísla označuje jako zlomky.

Pokud Nicomachus z Gerazu našel pouze první 4 dokonalá čísla, pak Regiomontan( skutečné jméno - Johann Muller), německý matematik, který žil v 15. století, našel páté dokonalé číslo - 33550336.

V 16. století německý vědecJohann Ephraim Scheibelnašli dvě dokonalejší čísla - 8589869056 (8 miliard, 589 milionů, 869 tisíc, 56), 137438691328 (137 miliard, 438 milionů, 691 tisíc, 328).

Cataldi Pietro Antonio(1548-1626), bývalý profesor matematiky ve Florencii a Bologni, který jako první uvedl metodu pro extrakci odmocniny, také hledali dokonalá čísla. Jeho poznámky naznačovaly význam šestého a sedmého dokonalého čísla. 8 589 869 056 (šesté číslo), 137 438 691 328 (sedmé číslo) pro p=17 a 19)

Francouzský matematik 17. století Maren Mersenne předpověděl, že mnoho čísel popsaných vzorcem, kde p je prvočíslo, jsou také prvočísla. Podařilo se mu dokázat, že pro p=17, p=19, p=31 jsou čísla 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128 dokonalá.

švýcarský, německý a ruský matematik a mechanik, který zásadním způsobem přispěl k rozvoji těchto věd, Leonard Euler (začátek 18. století) dokázal, že všechna sudá dokonalá čísla odpovídají algoritmu pro konstrukci sudých dokonalých čísel, který je popsán v knize IX Euklidových prvků. Dokázal také, že každé sudé dokonalé číslo má tvarMp, kde Mersennovo číslo Mp je prvočíslo.

Deváté dokonalé číslo bylo vypočítáno až v roce 1883. Obsahoval třicet sedm znaků. Tento výpočetní výkon provedl venkovský kněz z blízkého Permu.Ivan Michejevič Pervušin. Pervushin počítal bez jakýchkoliv počítačových zařízení.

Na začátku 20. století byla nalezena tři dokonalejší čísla (např p = 89, 107 a 127).

K únoru 2013 je známo 48 Mersennových prvočísel a jejich odpovídající sudá dokonalá čísla, projekty GIMPS a OddPerfect.org hledají nová Mersennova prvočísla.

4. Vlastnosti dokonalých čísel

1. Všechna sudá dokonalá čísla (kromě 6) jsou součtem třetí mocniny po sobě jdoucích lichých přirozených čísel.

2. Všechna sudá dokonalá čísla jsou trojúhelníková čísla; navíc jsou to hexagonální čísla, to znamená, že mohou být reprezentována ve tvaru n(2n−1) pro nějaké přirozené číslo n.

3. Součet všech čísel inverzních k dělitelům dokonalého čísla (včetně sebe sama) je roven 2, tzn.

4. Všechna sudá dokonalá čísla, kromě 6 a 496, končí v desítkové soustavě 16, 28, 36, 56 nebo 76.

5. Všechna sudá dokonalá čísla v binární zápis obsahovat jako první p jednotky následované p -1 nul (důsledek jejich obecné reprezentace).

6. Bylo prokázáno, že liché dokonalé číslo, pokud existuje, má alespoň 9 různých prvočinitelů a alespoň 75 prvočísel, přičemž se bere v úvahu násobnost.

5. Zajímavosti

Kvůli obtížnosti nalezení a záhadné nesrozumitelnosti byla dokonalá čísla v dávných dobách považována za božská. Středověká církev tedy věřila, že studium dokonalých čísel vede ke spáse duše a že ti, kdo najdou nové dokonalé číslo, mají zaručenou věčnou blaženost. Ve 12. století církev tvrdila, že k záchraně duše je nutné najít páté dokonalé číslo. Existovalo také přesvědčení, že svět je krásný, protože jej stvořil stvořitel za 6 dní. Ale říká se, že lidská rasa je nedokonalá, protože vzešla z nedokonalého čísla 8. Vždyť to bylo 8 lidí, kteří byli zachráněni před globální potopa v Noemově arše. Lze dodat, že ve stejné arše bylo zachráněno ještě sedm párů čistých a sedm párů nečistých zvířat, což v součtu tvoří dokonalé číslo 28. A obecně je snadné odhalit mnoho podobných náhod. Například lidské ruce lze prohlásit za dokonalý nástroj z toho důvodu, že v deseti prstech je 28 článků prstů...

Egyptská míra délky „loket“ obsahovala 28 prstů.

Na šestém místě na banketu seděl nejváženější, nejváženější host.

V roce 1917 pod podzemní práce Ach, byla objevena zvláštní struktura: dvacet osm cel bylo umístěno kolem velké centrální haly. Později se dozvěděli, že to byla budova Novopythagorejské akademie věd. Měla dvacet osm členů.

I teď, následování starověká tradice, některé akademie podle své zřizovací listiny mají 28 řádných členů. Navzdory skutečnosti, že dokonalá čísla mají mystický význam, Mersennova čísla na dlouhou dobu byly naprosto k ničemu, stejně jako perfektní čísla. Ale Mersennova prvočísla jsou nyní základem pro bezpečnost elektronických informací a používají se také v kryptografii a dalších aplikacích matematiky.

Lev Nikolajevič Tolstoj se hravě „chlubil“, že datum jeho narození (28. srpen podle tehdejšího kalendáře) je dokonalé číslo. Rok narození Lva Tolstého (1828) je také zajímavé číslo: poslední dvě číslice (28) tvoří dokonalé číslo; a pokud změníte uspořádání prvních dvou číslic, dostanete 8128 - čtvrté dokonalé číslo.

6. Příklady problémů

1.Najděte všechna dokonalá čísla do 1000.

Odpověď: 6 (1+2+3=6), 28 (1+2+4+7+14=28), 496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +

124 + 248 = 496). Jsou to celkem 3 čísla.

2. Najděte dokonalé číslo, které je větší než 496, ale menší než 33550336.

Odpověď: 8128.

3. Dokonalé číslo větší než 6 je dělitelné 3. Dokažte, že je dělitelné 9.

Řešení: Opačná metoda. Předpokládejme, že dokonalé číslo dělitelné 3 není násobkem 9. Pak se rovná 3n, kde n není násobkem 3. Navíc všichni přirození dělitelé 3n (včetně sebe sama) mohou být

rozdělit na dvojice d a 3d, kde d není dělitelné 3. Proto součet všech

dělitelé čísla 3n (je rovno 6n) je dělitelný 4. Proto n je násobkem 2. Další

všimněte si, že čísla 3n/2, n, n/2 a 1 budou různými děliteli čísla 3n,

jejich součet je 3n + 1 > 3n, což znamená, že číslo 3n nemůže být

perfektní. Rozpor. To znamená, že náš předpoklad je nesprávný a tvrzení je dokázané.

4. Dokonalé číslo větší než 28 je dělitelné 7. Dokažte, že je dělitelné 49.

7.Závěr

Pythagoras zbožštěná čísla. Učil: čísla vládnou světu. Všemocnost čísel se projevuje v tom, že vše na světě podléhá číselným vztahům. Pythagorejci hledali vzory v těchto vztazích reálný svět, a cesta k mystickým tajemstvím a odhalením. Učili, že čísla se vyznačují vším – dokonalostí i nedokonalostí, konečností i nekonečnem.

Po zvážení jedné ze skupin přirozených čísel - dokonalých čísel jsem dospěl k závěru, že rozmanitost přirozených čísel je nekonečná. Pokud jde o tvrzení, že mezi dokonalými čísly jsou sudá i lichá čísla, nelze jej považovat za pravdivý, neboť všechna dosud objevená dokonalá čísla jsou sudá. Nikdo neví, zda existuje alespoň jedno liché dokonalé číslo, nebo že množina dokonalých čísel je nekonečná.

V budoucnu chci prozkoumat přátelská čísla.

Přátelská čísla jsou dvě různá přirozená čísla, pro která je součet všech vlastních dělitelů prvního čísla roven druhému číslu a naopak, součet všech vlastních dělitelů druhého čísla je roven prvnímu číslu. Příkladem takové dvojice čísel je dvojice 220 a 284. Dokonalá čísla jsou považována za zvláštní případ přátelských čísel: každé dokonalé číslo je přátelské samo k sobě. Ačkoli velký význam Tyto dvojice nejsou pro teorii čísel relevantní, ale jsou zajímavým prvkem zábavné matematiky.

8. Seznam použité literatury

1. Volina V.V. Zábavná matematika pro děti./Ed. V. V. Fedorov; Kapuce. T. Fedorová. – Petrohrad: Lev a K°, 1996. – 320 s.
2. Univerzální školní encyklopedie. T. 1. A – L/kapitola. vyd. E. Khlebalina, vedoucí vyd. D. Volodikhin. – M.: Avanta+, 2003. – 528 s.
3. Univerzální školní encyklopedie. T. 2. A – L/kapitola. vyd. E. Khlebalina, vedoucí vyd. D. Volodikhin. – M.: Avanta+, 2003. – 528 s.
4. Elektronická dětská encyklopedie Cyril a Metoděj (verze 2007).
5. Elektronická stránka Wikipedia/ http://www.wikipedia.org/
6. http://eschool.karelia.ru/petrozavodsk/projects/zpivkoren/Lists/List/DispForm.aspx?ID=18
7. http://www.ngpedia.ru/id598396p3.html
8. http://www.ngpedia.ru/id598396p1.html
9. http://academic.ru/dic.nsf/bse/133758/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0 %BD%D1%8B%D0%B5
10. http://arbuz.narod.ru/z_sov1.htm

Staří Řekové byli první, kdo prokázal, že číslo „6“ se rovná součtu všech dělitelů, kromě tohoto samotného čísla: 6=1+2+3. Kvůli této vlastnosti nazvali číslo „6“ dokonalým a položili otázku, kolik dokonalých čísel existuje?

Druhé dokonalé číslo „28“ bylo snadno objeveno testováním: 1+2+4+7+14=28. Euklides pak dokázal, že každé číslo, které lze vyjádřit jako součin 2 n-1 (2 n -1), kde 2 n -1 je prvočíslo, je dokonalé číslo. V případě n=2 a n=3 jsou čísla 2 2 -1=3 a 2 3 -1=7 prvočísla, takže 2 1 (2 2 - 1) =6 a 2 2 (2 3 - 1) =28 jsou dokonalá čísla. Vzorec pomohl objevit dvě dokonalejší čísla (n=5, n=7).

Najít další dokonalá čísla tímto způsobem se však zdálo obtížné. Mikuláš z Gerazu (1. století našeho letopočtu) napsal: Dokonalá čísla jsou krásná. Ale je známo, že krásných věcí je málo a je jich málo, zatímco ošklivých věcí je hojnost. Téměř všechna čísla jsou nadbytečná a nedostatečná, zatímco dokonalých čísel je jen málo.

Po staletí se autoři, kteří psali o dokonalých číslech, zajímali více o pověry a fantazie spojené s těmito čísly než o jejich matematickou podstatu. Například v Platonových dialozích zaujímá zvláštní místo číslo „6“. Pro Římany bylo šesté místo nejčestnějším místem na hostinách.

V Římě byla při podzemních pracích v roce 1917 objevena budova – společná hala s celami kolem. Ukázalo se, že tato budova byla areálem Neopythagorské akademie, která měla 28 členů.

Podle náboženské tradice svět byl stvořen za 6 dní. Anglický teolog Alkuin z 8. století učil, že lidstvo, které povstalo po potopě z 8 osob, které byly v Noemově arše, je méně dokonalé než před potopou, protože „8“ je nedokonalé číslo. Ve 12. století církevníci doporučovali studium dokonalých čísel pro spásu duše.

Jestliže první čtyři dokonalá čísla byla známa ve starověku, pak páté dokonalé číslo (n=13, 2 12 (2 13 -1) =33 550 336) bylo objeveno až v 15. století, více než jeden a půl tisíce let po Euklides.

V roce 1644 francouzská matematička Marine Mersenne prohlásila, aniž by poskytla důkaz, že prvních jedenáct dokonalých čísel tvaru 2n-1 (2n-1) jsou čísla odpovídající následujícím hodnotám n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Tehdejším matematikům bylo zřejmé, že Mersenne nemůže ověřit prvočíslost čísel 2 n -1 pro všechny zadané hodnoty n přímým výpočtem. Bylo možné přímo ověřit pouze první tři ze šesti nových dokonalých čísel uvedených Mersennem. Opravdu se ukázaly jako dokonalé. Jedná se o čísla: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

V roce 1876 francouzský matematik E. Lucas naznačil metodu, která umožňuje kontrolovat prvočíslost čísla bez dělení všemi možnými prvočísly. Zjistil také, že číslo 2 127 -1 je prvočíslo. Tento výsledek Mersenne správně předpověděl, ale v jiných případech se mýlil. Bylo zjištěno, že indikátory n = 67 an = 257, na rozdíl od Mersennových instrukcí, nedávají dokonalá čísla, ale jsou dána indikátory 61, 89 a 107, které Mersenne neuvedl.

P.S. O čem ještě britští vědci mluví: že znalost teorie dokonalých čísel může pomoci i na OGE v matematice online, nemluvě o jednoduchých matematických zkouškách.

(tedy všechny dělitele kromě samotného čísla).

První dokonalé číslo je 6 (1 + 2 + 3 = 6), další je 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Jak přibývají, dokonalá čísla se stávají méně běžnými. Třetí dokonalé číslo je 496, čtvrté je 8 128, páté je 33 550 336, šesté je 8 589 869 056.

Historie studia

Dokonalou povahu čísel 6 a 28 uznalo mnoho kultur, které dbalo na to, že se točí každých 28 dní a které tvrdily, že stvořil svět za 6 dní. Ve své eseji „The City of God“ vyjádřil myšlenku, že ačkoli Bůh mohl stvořit svět v okamžiku, rozhodl se ho stvořit za 6 dní, aby mohl přemýšlet o dokonalosti světa. Podle svatého Augustina není číslo 6 absolutně proto, že si ho vybral Bůh, ale proto, že dokonalost je vlastní povaze tohoto čísla. „Číslo 6 je dokonalé samo o sobě, a ne proto, že by Pán stvořil všechny věci v 6 dnech; spíše naopak, Bůh stvořil vše, co existuje, za 6 dní, protože toto číslo je dokonalé. A zůstalo by dokonalé, i kdyby za 6 dní nebylo žádné stvoření.“

Perfektní čísla byla předmětem velké pozornosti Pythagorejců, ačkoli v jejich době byla známa pouze první 2 dokonalá čísla. Zejména si všiml, že dokonalá čísla se nejen rovnají součtu svých dělitelů, ale mají také některé další elegantní vlastnosti. Například dokonalá čísla se vždy rovnají součtu po sobě jdoucích přirozených čísel začínajících jedničkou (tj.

Navíc jedním z jeho objevů bylo, že dokonalost čísel úzce souvisí s „binárním“. Čísla 4=2\cdot2, 8=2\cdot2\cdot2, 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 atd. se nazývají mocniny 2 a mohou být reprezentovány jako 2 n, Kde n- počet násobených dvojek. Všechny mocniny čísla 2 jsou o něco málo dokonalé, protože součet jejich dělitelů je vždy o jedničku menší než samotné číslo, tedy všechny mocniny dvojky:

Protože každé sudé dokonalé číslo odpovídá určitému Mersennovu prvočíslu (a naopak), je objev nových sudých dokonalých čísel ekvivalentní objevu nových Mersennových prvočísel, jejichž distribuované vyhledávání provádí projekt. Na tento moment(listopad 2006) je známo 44 Mersennových prvočísel, a tedy 44 sudých dokonalých čísel.

Číslo 6 je dělitelné samo sebou a také 1, 2 a 3 a 6 = 1+2+3.
Číslo 28 má pět faktorů jiných než samo sebe: 1, 2, 4, 7 a 14, přičemž 28 = 1+2+4+7+14.
Lze poznamenat, že ne každé přirozené číslo se rovná součtu všech jeho dělitelů, které se od tohoto čísla liší. Čísla, která mají tuto vlastnost, byla pojmenována perfektní.

Již Euklides (3. století př. n. l.) naznačil, že i dokonalá čísla lze získat ze vzorce: 2 p –1 (2p– 1) za předpokladu, že R a 2 p Existují prvočísla. Tímto způsobem bylo nalezeno asi 20 sudých dokonalých čísel. Doposud není známo jediné liché dokonalé číslo a otázka jejich existence zůstává otevřená. Výzkum takových čísel zahájili Pýthagorejci, kteří jim a jejich kombinacím přisuzovali zvláštní mystický význam.

První nejmenší dokonalé číslo je 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Možná proto bylo šesté místo považováno za nejčestnější na hostinách mezi starými Římany.

Druhé nejvyšší dokonalé číslo je 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Některé učené společnosti a akademie měly mít 28 členů. V Římě v roce 1917 byly při provádění podzemních prací objeveny prostory jedné z nejstarších akademií: sál a kolem něj 28 místností - jen počet členů akademie.

Jak přibývají přirozená čísla, dokonalá čísla se stávají méně běžnými. Třetí dokonalé číslo - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), čtvrtý – 8128 , pátý - 33 550 336 , šestý - 8 589 869 056 , sedmý - 137 438 691 328 .

První čtyři dokonalá čísla jsou: 6, 28, 496, 8128 byly objeveny již dávno, před 2000 lety. Tato čísla jsou uvedena v Aritmetice Nikomacha z Gerazu, starověkého řeckého filozofa, matematika a hudebního teoretika.
Páté dokonalé číslo bylo objeveno v roce 1460, tedy asi před 550 lety. Tohle číslo 33550336 objevil německý matematik Regiomontanus (15. století).

V 16. století našel německý vědec Scheibel také dvě dokonalejší čísla: 8 589 869 056 A 137 438 691 328 . Odpovídají p = 17 a p = 19. Na počátku 20. století byla nalezena tři dokonalejší čísla (pro p = 89, 107 a 127). Následně se hledání zpomalilo až do poloviny 20. století, kdy se s nástupem počítačů staly možné výpočty přesahující lidské možnosti. V současnosti je známo 47 sudých dokonalých čísel.

Dokonalá povaha čísel 6 a 28 byla uznána mnoha kulturami, když poznamenaly, že Měsíc obíhá Zemi každých 28 dní, a tvrdili, že Bůh stvořil svět za 6 dní.
Svatý Augustin ve své eseji „The City of God“ vyjádřil myšlenku, že ačkoli Bůh mohl stvořit svět v okamžiku, rozhodl se ho stvořit za 6 dní, aby se zamyslel nad dokonalostí světa. Podle svatého Augustina není číslo 6 absolutně proto, že si ho vybral Bůh, ale proto, že dokonalost je vlastní povaze tohoto čísla. „Číslo 6 je dokonalé samo o sobě, a ne proto, že by Pán stvořil všechny věci v 6 dnech; spíše naopak, Bůh stvořil vše, co existuje, za 6 dní, protože toto číslo je dokonalé. A zůstalo by dokonalé, i kdyby za 6 dní nebylo žádné stvoření.“

Lev Nikolajevič Tolstoj se tímto datem více než jednou žertem „pochlubil“.
jeho narození 28. srpna (podle tehdejšího kalendáře) je dokonalé číslo.
Rok narození L.N. Tolstoj (1828) je také zajímavé číslo: poslední dvě číslice (28) tvoří dokonalé číslo; Pokud prohodíte první číslice, dostanete 8128 – čtvrté dokonalé číslo.