Jak vyrobit nekonečný trojúhelník z papíru. Grafické iluze: Nemožné a převrácené postavy

Nemožný trojúhelník je jedním z úžasných matematických paradoxů. Když se na něj poprvé podíváte, nemůžete ani na vteřinu pochybovat o jeho skutečné existenci. To je však pouze iluze, podvod. A samotnou možnost takové iluze nám vysvětlí matematika!

Otevření Penrosových

V roce 1958 vydal British Journal of Psychology článek L. Penrose a R. Penrose, ve kterém představili nový typ optické iluze, kterou nazvali „nemožný trojúhelník“.

Vizuálně nemožný trojúhelník je vnímán jako struktura, která skutečně existuje v trojrozměrném prostoru, tvořeném pravoúhlými tyčemi. Ale to je jen optický klam. Je nemožné sestavit skutečný model nemožného trojúhelníku.

Penrosův článek obsahoval několik možností pro zobrazení nemožného trojúhelníku. - jeho „klasická“ prezentace.

Jaké prvky se používají ke konstrukci nemožného trojúhelníku?

Přesněji, z jakých prvků se nám zdá být postaven? Návrh je založen na obdélníkovém rohu, který se získá spojením dvou stejných obdélníkových tyčí v pravém úhlu. Jsou zapotřebí tři takové rohy, a tedy šest kusů tyčí. Tyto rohy musí být určitým způsobem vzájemně vizuálně „propojeny“ tak, aby tvořily uzavřený řetězec. To, co se stane, je nemožný trojúhelník.

Umístěte první roh do vodorovné roviny. Připevníme k němu druhý roh, který nasměrujeme jeden z jeho okrajů nahoru. Nakonec k tomuto druhému rohu připevníme třetí roh tak, aby jeho hrana byla rovnoběžná s původní vodorovnou rovinou. V tomto případě budou dva okraje prvního a třetího rohu rovnoběžné a nasměrované v různých směrech.

Pokud považujeme prut za segment jednotkové délky, pak konce prutů prvního rohu mají souřadnice a, druhý roh - , a, třetí - , a. Máme „zkroucenou“ strukturu, která skutečně existuje v trojrozměrném prostoru.

Nyní se na to zkusme mentálně podívat z různých míst ve vesmíru. Představte si, jak to vypadá z jednoho bodu, z druhého, ze třetího. Jak se mění zorný bod, dvě „koncové“ hrany našich rohů se budou vůči sobě pohybovat. Není těžké najít polohu, ve které se budou spojovat.

Ale pokud je vzdálenost mezi žebry mnohem menší než vzdálenost od rohů k bodu, ze kterého se díváme na naši strukturu, pak pro nás budou mít obě žebra stejnou tloušťku a vznikne myšlenka, že tato dvě žebra jsou vlastně pokračováním jeden druhého. Tato situace je znázorněna 4.

Mimochodem, pokud se současně podíváme na odraz struktury v zrcadle, neuvidíme tam uzavřený okruh.

A ze zvoleného pozorovacího bodu vidíme na vlastní oči zázrak, který se stal: je tam uzavřený řetězec tří rohů. Jen neměňte svůj bod pozorování, aby se tato iluze nezhroutila. Nyní můžete nakreslit objekt, který můžete vidět, nebo umístit objektiv fotoaparátu do nalezeného bodu a získat fotografii nemožného objektu.

Jako první se o tento fenomén začali zajímat manželé Penrosovi. Využili možností, které vznikají při mapování trojrozměrného prostoru a trojrozměrných objektů do dvourozměrné roviny a upozornili na určitou konstrukční nejistotu – otevřenou strukturu tří rohů lze vnímat jako uzavřený okruh.

Důkaz nemožnosti Penroseova trojúhelníku

Analýzou vlastností dvourozměrného obrazu trojrozměrných objektů v rovině jsme pochopili, jak vlastnosti tohoto zobrazení vedou k nemožnému trojúhelníku. Snad někoho bude zajímat čistě matematický důkaz.

Je velmi snadné dokázat, že nemožný trojúhelník neexistuje, protože každý z jeho úhlů je správný a jejich součet je roven 270 stupňům namísto „umístěných“ 180 stupňů.

Navíc, i když uvažujeme nemožný trojúhelník slepený z úhlů menších než 90 stupňů, pak v tomto případě můžeme dokázat, že nemožný trojúhelník neexistuje.

Vidíme tři ploché hrany. Protínají se ve dvojicích podél přímých linií. Roviny obsahující tyto plochy jsou ve dvojicích ortogonální, takže se protínají v jednom bodě.

Navíc musí tímto bodem procházet přímky vzájemného průniku rovin. Proto se přímky 1, 2, 3 musí protínat v jednom bodě.

Ale to není pravda. Proto je předložený návrh nemožný.

"Nemožné" umění

Osud té či oné myšlenky – vědecké, technické, politické – závisí na mnoha okolnostech. A v neposlední řadě záleží na přesné podobě, jakou bude tento nápad prezentován, v jaké podobě se objeví široké veřejnosti. Bude ztělesnění suché a těžko vnímatelné, nebo naopak projev myšlenky bude jasný a upoutá naši pozornost i proti naší vůli.

Nemožný trojúhelník má šťastný osud. V roce 1961 holandský umělec Moritz Escher dokončil litografii, kterou nazval Waterfall. Umělec ušel dlouhou, ale rychlou cestu od samotné myšlenky nemožného trojúhelníku k jeho úžasnému uměleckému ztělesnění. Připomeňme, že článek Penrosových vyšel v roce 1958.

"Vodopád" je založen na dvou zobrazených nemožných trojúhelníkech. Jeden trojúhelník je velký, další trojúhelník se nachází uvnitř. Může se zdát, že jsou zobrazeny tři stejné nemožné trojúhelníky. Ale o to nejde, předložený návrh je poměrně složitý.

Při letmém pohledu nebude jeho absurdita okamžitě viditelná pro každého, protože každé prezentované spojení je možné. jak se říká, lokálně, to znamená na malé ploše výkresu, je takový návrh proveditelný... Ale obecně je to nemožné! Jeho jednotlivé kusy do sebe nezapadají, vzájemně se neshodují.

A abychom to pochopili, musíme vynaložit určité intelektuální a vizuální úsilí.

Pojďme se na cestu po aspektech struktury. Tato cesta je pozoruhodná tím, že podél ní, jak se nám zdá, zůstává úroveň vzhledem k horizontální rovině nezměněna. Pohybujeme-li se po této cestě, nejdeme ani nahoru, ani dolů.

A všechno by bylo v pořádku, povědomé, kdybychom na konci cesty – totiž v bodě – nezjistili, že jsme se vzhledem k počátečnímu, výchozímu bodu nějakým záhadným, nepředstavitelným způsobem vertikálně zvedli!

Abychom dospěli k tomuto paradoxnímu výsledku, musíme zvolit přesně tuto cestu a také sledovat hladinu vzhledem k horizontální rovině... Není to snadný úkol. Ve svém rozhodnutí přišla Escher na pomoc...voda. Připomeňme si píseň o pohybu z nádherného vokálního cyklu Franze Schuberta „Krásná Millerova žena“:

A nejprve v představách a pak pod rukou báječného mistra se holé a suché stavby promění v akvadukty, kterými protékají čisté a rychlé proudy vody. Jejich pohyb zaujme náš pohled a my se nyní proti své vůli řítíme po proudu, sledujeme všechny zatáčky a zákruty cesty, padáme dolů s proudem, padáme na lopatky vodního mlýna a pak se zase řítíme po proudu...

Tuto cestu obcházíme jednou, dvakrát, třikrát... a teprve potom si uvědomíme: pohybem dolů se nějak fantasticky zvedáme na vrchol! Prvotní překvapení se rozvine v jakousi intelektuální nepohodu. Zdá se, že jsme se stali obětí nějakého vtípku, objektem nějakého vtipu, kterému jsme dosud nerozuměli.

A znovu opakujeme tuto cestu po podivném kanálu, nyní pomalu, opatrně, jako bychom se báli triku z paradoxního obrazu, kriticky vnímajíce vše, co se na této tajemné cestě děje.

Snažíme se rozluštit záhadu, která nás ohromila, a nemůžeme uniknout z jeho zajetí, dokud nenajdeme skrytý pramen, který leží v jeho základu a uvede nemyslitelnou smršť do nepřetržitého pohybu.

Umělec specificky zdůrazňuje a vnucuje nám vnímání jeho malby jako obrazu skutečných trojrozměrných předmětů. Objemovost je zdůrazněna vyobrazením velmi reálných mnohostěnů na věžích, cihelným zdivem s co nejpřesnějším zobrazením každé cihly ve stěnách akvaduktu a stoupajícími terasami se zahradami v pozadí. Vše je navrženo tak, aby přesvědčilo diváka o realitě toho, co se děje. A díky umění a vynikající technice se tohoto cíle podařilo dosáhnout.

Když se vymaníme ze zajetí, do kterého padá naše vědomí, začneme srovnávat, kontrastovat, analyzovat, zjistíme, že základ, zdroj tohoto obrazu je skryt v konstrukčních prvcích.

A dostali jsme ještě jeden – „fyzický“ důkaz nemožnosti „nemožného trojúhelníku“: pokud by takový trojúhelník existoval, pak by existoval i Escherův „Vodopád“, který je v podstatě perpetum mobile. Ale stroj s věčným pohybem je nemožný, proto je nemožný i „nemožný trojúhelník“. A možná je tento „důkaz“ nejpřesvědčivější.

Co udělalo z Moritze Eschera fenomén, jedinečný, který neměl v umění zjevné předchůdce a kterého nelze napodobit? Jedná se o kombinaci rovin a objemů, bedlivou pozornost k bizarním formám mikrosvěta - živého i neživého, až k neobvyklým pohledům na obyčejné věci. Hlavním efektem jeho kompozic je efekt zdání nemožných vztahů mezi známými předměty. Na první pohled dokážou tyto situace vyděsit i vyloudit úsměv. Můžete se radostně dívat na zábavu, kterou umělec nabízí, nebo se můžete vážně ponořit do hlubin dialektiky.

Moritz Escher ukázal, že svět může být úplně jiný, než jak ho vidíme a jak jsme zvyklí ho vnímat – stačí se na něj podívat z jiného, ​​nového úhlu!

Moritz Escher

Moritz Escher měl větší štěstí jako vědec než jako umělec. Jeho rytiny a litografie byly považovány za klíče k důkazu teorémů nebo originálních protipříkladů, které odporovaly zdravému rozumu. Přinejhorším byly vnímány jako vynikající ilustrace vědeckých pojednání o krystalografii, teorii skupin, kognitivní psychologii nebo počítačové grafice. Moritz Escher pracoval v oblasti vztahů mezi prostorem, časem a jejich identitou, používal základní mozaikové vzory a aplikoval na ně transformace. To je velký mistr optických iluzí. Escherovy rytiny nezobrazují svět formulí, ale krásu světa. Jejich intelektuální složení je radikálně proti nelogickým výtvorům surrealistů.

Nizozemský umělec Moritz Cornelius Escher se narodil 17. června 1898 v provincii Holandsko. V domě, kde se Escher narodil, je nyní muzeum.

Od roku 1907 studoval Moritz truhlář a hru na klavír a studoval na střední škole. Moritzovy známky ve všech předmětech byly špatné, s výjimkou kreslení. Učitel výtvarné výchovy si všiml chlapcova talentu a naučil ho dělat dřevoryty.

V roce 1916 dokončil Escher svou první grafickou práci, rytinu na fialovém linoleu – portrét svého otce G. A. Eschera. Navštěvuje ateliér výtvarníka Gerta Stiegemanna, který měl tiskařský lis. Na tomto lisu byly vytištěny první Escherovy rytiny.

V letech 1918-1919 navštěvoval Escher Technickou akademii v nizozemském městě Delft. Dostává odklad vojenské služby, aby mohl pokračovat ve studiu, ale kvůli špatnému zdraví Moritz nezvládl učivo a byl vyloučen. V důsledku toho nikdy nezískal vyšší vzdělání. Studuje na School of Architecture and Ornament ve městě Haarlem, kde navštěvuje hodiny kreslení u Samuela Geserina de Mesquite, který měl formující vliv na Escherův život a dílo.

V roce 1921 rodina Escherových navštívila Riviéru a Itálii. Moritz, fascinován vegetací a květinami středomořského klimatu, vytvořil detailní kresby kaktusů a olivovníků. Načrtl mnoho skic horských krajin, které později tvořily základ jeho děl. Později se neustále vracel do Itálie, která mu sloužila jako zdroj inspirace.

Escher začíná pro sebe experimentovat novým směrem, i tehdy se v jeho dílech nacházejí zrcadlové obrazy, krystalické postavy a koule.

Konec dvacátých let se ukázal být pro Moritze velmi plodným obdobím. Jeho dílo bylo vystaveno na mnoha výstavách v Holandsku a do roku 1929 jeho popularita dosáhla takové úrovně, že během jednoho roku se konalo pět samostatných výstav v Holandsku a Švýcarsku. V tomto období byly Escherovy obrazy poprvé nazývány mechanickým a „logickým“.

Asher hodně cestuje. Žije v Itálii a Švýcarsku, Belgii. Studuje maurské mozaiky, dělá litografie a rytiny. Na základě cestovatelských skečů vytváří svůj první obraz nemožné reality, Zátiší s ulicí.

Na konci třicátých let Escher pokračoval v experimentech s mozaikami a transformacemi. Vytváří mozaiku v podobě dvou ptáků letící proti sobě, což tvořilo základ obrazu „Den a noc“.

V květnu 1940 nacisté obsadili Holandsko a Belgii a 17. května vstoupil Brusel do okupační zóny, kde v té době žil Escher s rodinou. Najdou dům ve Varně a stěhují se tam v únoru 1941. Asher bude žít v tomto městě až do konce svých dnů.

V roce 1946 se Escher začal zajímat o technologii tisku z hloubky. A přestože tato technologie byla mnohem složitější než to, co Escher používal dříve a vyžadovala více času na vytvoření obrázku, výsledky byly působivé – jemné linie a přesné vykreslení stínů. Jedno z nejznámějších děl v technice tisku z hloubky, „Dew Drop“, bylo dokončeno v roce 1948.

V roce 1950 získal Moritz Escher popularitu jako lektor. V roce 1950 se pak ve Spojených státech konala jeho první osobní výstava a jeho díla se začala kupovat. 27. dubna 1955 byl Moritz Escher pasován na rytíře a stal se šlechticem.

V polovině 50. let Escher kombinoval mozaiky s figurami rozprostírajícími se do nekonečna.

Počátkem 60. let vyšla první kniha s Escherovými díly Grafiek en Tekeningen, ve které bylo 76 děl komentováno samotným autorem. Kniha pomohla získat porozumění mezi matematiky a krystalografy, včetně některých v Rusku a Kanadě.

V srpnu 1960 měl Escher přednášku o krystalografii v Cambridge. Velmi populární se stávají matematické a krystalografické aspekty Escherova díla.

V roce 1970, po nové sérii operací, se Escher přestěhoval do nového domu v Larenu, jehož součástí bylo i studio, ale špatný zdravotní stav mu bránil v práci.

V roce 1971 Moritz Escher zemřel ve věku 73 let. Escher žil dost dlouho na to, aby viděl The World of M. C. Escher přeložený do angličtiny, a byl s tím velmi spokojený.

Na stránkách matematiků a programátorů lze najít různé nemožné obrázky. Nejúplnější verzí těch, na které jsme se podívali, je podle našeho názoru web Vlada Alekseeva

Tato stránka představuje nejen známé obrazy, včetně těch od M. Eschera, ale také animované obrázky, vtipné kresby nemožných zvířat, mince, známky atd. Tato stránka je živá, je pravidelně aktualizována a doplňována úžasnými kresbami.