Pravidlo pro extrakci druhé odmocniny čísla. Metody druhé odmocniny
Instrukce
Vyberte násobitel radikálního čísla, jehož odstranění zespodu vykořenit je skutečně výraz - jinak operace ztratí . Například pokud pod znaménkem vykořenit s exponentem rovným třem (odmocnina), stojí číslo 128, pak z pod cedulí vyjmete např. číslo 5. Zároveň radikál číslo 128 bude nutné vydělit 5 krychlovými: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Pokud je pod znaménkem přítomnost zlomkového čísla vykořenit neodporuje podmínkám problému, pak je v této podobě možné. Pokud potřebujete jednodušší možnost, pak nejprve rozdělte radikální výraz na takové celočíselné faktory, z nichž odmocnina jednoho z nich bude celé číslo číslo m. Například: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Použijte pro výběr faktorů radikálního čísla, pokud není možné vypočítat mocniny čísla ve vaší hlavě. To platí zejména pro vykořenit m s exponentem větším než dva. Pokud máte přístup k internetu, můžete provádět výpočty pomocí kalkulaček zabudovaných do vyhledávačů Google a Nigma. Například, pokud potřebujete najít největší celočíselný faktor, který lze vyjmout z pod krychlovým znakem vykořenit pro číslo 250, poté přejděte na web Google a zadejte dotaz „6^3“, abyste zjistili, zda je možné jej odstranit pod značkou vykořenitšest. Vyhledávač zobrazí výsledek rovný 216. Bohužel, 250 nelze beze zbytku dělit tímto číslo. Poté zadejte dotaz 5^3. Výsledkem bude 125 a to vám umožní rozdělit 250 na faktory 125 a 2, což znamená, že je vyjmete ze znaménka vykořenit číslo 5, odcházím tam číslo 2.
Prameny:
- jak to dostat zpod kořenů
- Druhá odmocnina produktu
Vyjměte to zespodu vykořenit jeden z faktorů je nezbytný v situacích, kdy potřebujete zjednodušit matematický výraz. Jsou chvíle, kdy není možné provést potřebné výpočty pomocí kalkulačky. Pokud se například místo čísel použije písmenná označení proměnných.
Instrukce
Rozložte radikální výraz na jednoduché faktory. Podívejte se, který z faktorů se opakuje stejně často, jak je uvedeno v indikátorech vykořenit, nebo více. Například musíte vzít čtvrtou odmocninu z a. V tomto případě může být číslo reprezentováno jako a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indikátor vykořenit v tomto případě to bude odpovídat faktor a3. Je potřeba to vyndat z cedule.
Pokud je to možné, extrahujte kořen výsledných radikálů odděleně. Extrakce vykořenit je algebraická operace inverzní k umocňování. Extrakce vykořenit libovolné mocniny, najděte číslo z čísla, které po zvýšení na tuto libovolnou mocninu povede k danému číslu. Pokud extrakce vykořenit nelze vyrobit, ponechte radikální výraz pod znakem vykořenit přesně tak, jak to je. V důsledku výše uvedených akcí budete odstraněni z pod podepsat vykořenit.
Video k tématu
Poznámka
Buďte opatrní při psaní radikálních výrazů ve formě faktorů - chyba v této fázi povede k nesprávným výsledkům.
Užitečná rada
Při extrakci odmocnin je vhodné použít speciální tabulky nebo tabulky logaritmických odmocnin - tím se výrazně zkrátí čas potřebný k nalezení správného řešení.
Prameny:
- znamení extrakce kořenů v roce 2019
Zjednodušení algebraických výrazů je vyžadováno v mnoha oblastech matematiky, včetně řešení rovnic vyšších řádů, derivování a integrace. Používá se několik metod, včetně faktorizace. Chcete-li použít tuto metodu, musíte najít a vytvořit obecný faktor za závorky.
Instrukce
Provedení celkového násobitele závorky- jedna z nejběžnějších metod rozkladu. Tato technika se používá pro zjednodušení struktury dlouhých algebraických výrazů, tzn. polynomy. Obecné číslo může být číslo, jednočlenné nebo dvojčlenné a k jeho nalezení se používá distributivní vlastnost násobení.
Číslo: Pozorně si prohlédněte koeficienty každého polynomu, abyste zjistili, zda je lze vydělit stejným číslem. Například ve výrazu 12 z³ + 16 z² – 4 je to zřejmé faktor 4. Po transformaci získáte 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Jinými slovy, toto číslo je nejmenší společný celočíselný dělitel ze všech koeficientů.
Monomial Určete, zda je v každém z členů polynomu stejná proměnná. Za předpokladu, že tomu tak je, se nyní podívejte na koeficienty jako v předchozím případě. Příklad: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Každý prvek tohoto polynomu obsahuje proměnnou z. Všechny koeficienty jsou navíc čísla, která jsou násobky 3. Společným faktorem tedy bude jednočlenný 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).
Binomický.Pro závorky Všeobecné faktor ze dvou, proměnná a číslo, což je společný polynom. Proto pokud faktor-dvojčlen není zřejmý, pak musíte najít alespoň jeden kořen. Vyberte volný člen polynomu, jedná se o koeficient bez proměnné. Nyní aplikujte metodu substituce do obecného vyjádření všech celočíselných dělitelů volného členu.
Uvažujme: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Zkontrolujte, zda některý z celočíselných faktorů čísla 4 je z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Jednoduchou substitucí najděte z1 = 1 a z2 = 2, což znamená pro závorky můžeme odstranit dvojčleny (z - 1) a (z - 2). Chcete-li najít zbývající výraz, použijte sekvenční dlouhé dělení.
Je čas to urovnat metody extrakce kořenů. Jsou založeny na vlastnostech kořenů, zejména na rovnosti, která platí pro každé nezáporné číslo b.
Níže se podíváme na hlavní metody extrakce kořenů jeden po druhém.
Začněme tím nejjednodušším případem – extrahováním odmocnin z přirozených čísel pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.
Pokud tabulky čtverců, kostek atd. Pokud ho nemáte po ruce, je logické použít metodu extrahování kořene, která zahrnuje rozklad radikálního čísla na prvočinitele.
Za zvláštní zmínku stojí, co je možné pro kořeny s lichými exponenty.
Nakonec se podívejme na metodu, která nám umožňuje postupně najít číslice kořenové hodnoty.
Začněme.
Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.
V nejjednodušších případech vám tabulky čtverců, kostek atd. umožňují extrahovat kořeny. Co jsou to za tabulky?
Tabulka druhých mocnin celých čísel od 0 do 99 včetně (zobrazená níže) se skládá ze dvou zón. První zóna tabulky je umístěna na šedém pozadí, výběrem konkrétního řádku a konkrétního sloupce umožňuje sestavit číslo od 0 do 99. Vyberme například řádek 8 desítek a sloupec 3 jednotek, čímž jsme opravili číslo 83. Druhá zóna zabírá zbytek tabulky. Každá buňka se nachází na průsečíku určitého řádku a určitého sloupce a obsahuje druhou mocninu odpovídajícího čísla od 0 do 99. Na průsečíku námi zvolené řady 8 desítek a sloupce 3 jedniček je buňka s číslem 6 889, což je druhá mocnina čísla 83.
Tabulky kostek, tabulky čtvrtých mocnin čísel od 0 do 99 a tak dále jsou podobné tabulce čtverců, jen obsahují kostky, čtvrté mocniny atd. ve druhé zóně. odpovídající čísla.
Tabulky čtverců, kostek, čtvrtých mocnin atd. umožňují extrahovat druhé odmocniny, krychlové odmocniny, čtvrté odmocniny atd. podle čísel v těchto tabulkách. Vysvětlíme si princip jejich použití při extrakci kořenů.
Řekněme, že potřebujeme extrahovat n-tou odmocninu čísla a, zatímco číslo a je obsaženo v tabulce n-tých mocnin. Pomocí této tabulky najdeme číslo b takové, že a=b n. Pak 
, proto číslo b bude požadovaným kořenem n-tého stupně.
Jako příklad si ukažme, jak pomocí tabulky krychlí extrahovat odmocninu z 19 683. V tabulce kostek najdeme číslo 19 683, z ní zjistíme, že toto číslo je kostkou čísla 27, tedy, 
.
Je jasné, že tabulky n-tých mocnin jsou pro extrakci odmocnin velmi vhodné. Často však nejsou po ruce a jejich sestavení vyžaduje určitý čas. Navíc je často nutné extrahovat odmocniny z čísel, která nejsou obsažena v odpovídajících tabulkách. V těchto případech se musíte uchýlit k jiným metodám extrakce kořenů.
Rozložení radikálního čísla na prvočinitele
Poměrně pohodlný způsob, jak extrahovat kořen přirozeného čísla (pokud je samozřejmě extrahován kořen), je rozložit radikálové číslo na prvočinitele. Jeho jde o to: poté je docela snadné jej reprezentovat jako mocninu s požadovaným exponentem, což vám umožní získat hodnotu odmocniny. Pojďme si tento bod ujasnit.
Nechť se vezme n-tá odmocnina přirozeného čísla a a jeho hodnota se rovná b. V tomto případě platí rovnost a=b n. Číslo b, jako každé přirozené číslo, může být reprezentováno jako součin všech jeho prvočinitelů p 1 , p 2 , …, p m ve tvaru p 1 ·p 2 ·…·p m a v tomto případě radikálového čísla a je reprezentováno jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Protože rozklad čísla na prvočinitele je jedinečný, bude mít rozklad radikálního čísla a na prvočinitele tvar (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, což umožňuje vypočítat hodnotu odmocniny. tak jako .
Všimněte si, že pokud rozklad radikálního čísla a na prvočinitele nemůže být reprezentován ve tvaru (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, pak n-tá odmocnina takového čísla a není úplně extrahována.
Pojďme na to při řešení příkladů.
Příklad.
Vezměte druhou odmocninu ze 144.
Řešení.
Když se podíváte na tabulku čtverců uvedenou v předchozím odstavci, můžete jasně vidět, že 144 = 12 2, z čehož je jasné, že druhá odmocnina ze 144 se rovná 12.
Ale ve světle tohoto bodu nás zajímá, jak se získává kořen rozkladem radikálního čísla 144 na prvočinitele. Podívejme se na toto řešení.
Pojďme se rozložit 144 k hlavním faktorům:
To znamená, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základě výsledného rozkladu lze provést následující transformace: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Proto, 
.
Pomocí vlastností stupně a vlastností kořenů by se řešení dalo formulovat trochu jinak: .
Odpovědět:
Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení dalších dvou příkladů.
Příklad.
Vypočítejte hodnotu kořene.
Řešení.
Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . Tím pádem, 
.
Odpovědět:
Příklad.
Je kořenová hodnota celé číslo?
Řešení.
Abychom na tuto otázku odpověděli, rozložme radikální číslo na prvočinitele a uvidíme, zda je lze reprezentovat jako třetí mocninu celého čísla.
Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledný rozvoj nemůže být reprezentován jako krychle celého čísla, protože mocnina prvočinitele 7 není násobkem tří. Krychlovou odmocninu 285 768 proto nelze extrahovat úplně.
Odpovědět:
Ne.
Získávání odmocnin ze zlomkových čísel
Je čas přijít na to, jak extrahovat odmocninu zlomkového čísla. Nechť zlomkové radikálové číslo zapíšeme jako p/q. Podle vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost. Z této rovnosti vyplývá pravidlo pro extrakci kořene zlomku: Odmocnina zlomku se rovná podílu odmocniny čitatele děleného odmocninou jmenovatele.
Podívejme se na příklad extrahování kořene ze zlomku.
Příklad.
Jaká je druhá odmocnina běžného zlomku 25/169?
Řešení.
Pomocí tabulky druhých mocnin zjistíme, že druhá odmocnina v čitateli původního zlomku je rovna 5 a druhá odmocnina ve jmenovateli je rovna 13. Pak 
. Tím je těžba kořene běžné frakce 25/169 dokončena.
Odpovědět:
Odmocnina desetinného zlomku nebo smíšeného čísla se extrahuje po nahrazení radikálových čísel obyčejnými zlomky.
Příklad.
Vezměte třetí odmocninu desetinného zlomku 474,552.
Řešení.
Představme si původní desetinný zlomek jako obyčejný zlomek: 474,552=474552/1000. Pak 
. Zbývá extrahovat krychlové odmocniny, které jsou v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku. Protože 474 552 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, pak 
A 
. Zbývá jen dokončit výpočty 
.
Odpovědět:
.
Převzetí odmocniny ze záporného čísla
Vyplatí se pozastavit se u extrahování odmocnin ze záporných čísel. Když jsme studovali kořeny, řekli jsme, že když je kořenový exponent liché číslo, pak může být pod kořenem záporné číslo. Těmto položkám jsme dali následující význam: pro záporné číslo −a a lichý exponent odmocniny 2 n−1, 
. Tato rovnost dává pravidlo pro extrakci lichých kořenů ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte vzít odmocninu opačného kladného čísla a před výsledek umístit znaménko mínus.
Podívejme se na příklad řešení.
Příklad.
Najděte hodnotu kořene.
Řešení.
Transformujme původní výraz tak, aby pod znaménkem kořene bylo kladné číslo: 
. Nyní nahraďte smíšené číslo obyčejným zlomkem: 
. Aplikujeme pravidlo pro extrakci kořene obyčejného zlomku: 
. Zbývá vypočítat kořeny v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku: 
.
Zde je krátké shrnutí řešení: 
.
Odpovědět:
.
Bitové určení kořenové hodnoty
V obecném případě je pod odmocninou číslo, které při použití výše uvedených technik nemůže být reprezentováno jako n-tá mocnina žádného čísla. Ale v tomto případě je potřeba znát význam daného kořene, alespoň do určitého znaménka. V tomto případě můžete pro extrakci kořene použít algoritmus, který vám umožní postupně získat dostatečný počet číselných hodnot požadovaného čísla.
Prvním krokem tohoto algoritmu je zjistit, jaký je nejvýznamnější bit kořenové hodnoty. Za tímto účelem se čísla 0, 10, 100, ... postupně zvyšují na mocninu n až do okamžiku, kdy číslo překročí radikálové číslo. Potom číslo, které jsme v předchozí fázi zvýšili na mocninu n, bude označovat odpovídající nejvýznamnější číslici.
Zvažte například tento krok algoritmu při extrakci druhé odmocniny z pěti. Vezměte čísla 0, 10, 100, ... a odmocněte je, dokud nedostaneme číslo větší než 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, což znamená, že nejvýznamnější číslice budou číslice jedniček. Hodnotu tohoto bitu, stejně jako nižších, zjistíme v dalších krocích algoritmu pro extrakci kořene.
Všechny následující kroky algoritmu jsou zaměřeny na postupné objasnění hodnoty kořene nalezením hodnot dalších bitů požadované hodnoty kořene, počínaje nejvyšší a přesouvat se k nejnižším. Například hodnota kořene v prvním kroku se ukáže jako 2, ve druhém 2,2, ve třetím 2,23 a tak dále 2,236067977…. Popišme, jak se nacházejí hodnoty číslic.
Číslice se najdou vyhledáním jejich možných hodnot 0, 1, 2, ..., 9. V tomto případě se paralelně počítají n-té mocniny odpovídajících čísel a porovnávají se s radikálním číslem. Pokud v určité fázi hodnota stupně překročí radikálové číslo, pak se hodnota číslice odpovídající předchozí hodnotě považuje za nalezenou a provede se přechod k dalšímu kroku algoritmu pro extrakci kořene; pokud se tak nestane, pak hodnota této číslice je 9.
Vysvětleme tyto body na stejném příkladu extrahování druhé odmocniny z pěti.
Nejprve zjistíme hodnotu číslice jednotky. Procházíme hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, s výpočtem 0 2, 1 2, ..., 9 2, dokud nedostaneme hodnotu větší než radikálové číslo 5. Všechny tyto výpočty je vhodné prezentovat ve formě tabulky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (od 2 2<5
, а 2 3 >5). Přejděme k hledání hodnoty desetinového místa. V tomto případě odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 a porovnáme výsledné hodnoty s radikálním číslem 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, pak hodnota desetin místa je 2. Můžete přistoupit ke zjištění hodnoty setin místa: 
Takto byla nalezena další hodnota odmocniny z pěti, je rovna 2,23. A tak můžete pokračovat v hledání hodnot: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Pro konsolidaci materiálu analyzujeme extrakci kořene s přesností na setiny pomocí uvažovaného algoritmu.
Nejprve určíme nejvýznamnější číslici. K tomu dáme krychli čísla 0, 10, 100 atd. dokud nedostaneme číslo větší než 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , takže nejvýznamnější číslice jsou desítky.
Pojďme určit jeho hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, pak hodnota místa v desítkách je 1. Pojďme k jednotkám. 
Hodnota jedniček je tedy 2. Přejdeme na desetiny. 
Protože i 12,9 3 je méně než radikální číslo 2 151,186, je hodnota desetin místa 9. Zbývá provést poslední krok algoritmu, ten nám dá hodnotu kořene s požadovanou přesností. 
V této fázi se zjistí hodnota kořene s přesností na setiny: 
.
Na závěr tohoto článku bych chtěl říci, že existuje mnoho dalších způsobů, jak extrahovat kořeny. Ale pro většinu úkolů stačí ty, které jsme studovali výše.
Bibliografie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).
Studenti se vždy ptají: „Proč nemohu u zkoušky z matematiky použít kalkulačku? Jak extrahovat druhou odmocninu čísla bez kalkulačky? Pokusme se na tuto otázku odpovědět.
Jak extrahovat druhou odmocninu z čísla bez pomoci kalkulačky?
Akce odmocnina inverzní k akci kvadratury.
√81= 9 9 2 =81
Pokud vezmete druhou odmocninu kladného čísla a výsledek odmocníte, dostanete stejné číslo.
Z malých čísel, která jsou přesnými druhými mocninami přirozených čísel, například 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lze odmocniny získat ústně. Obvykle se ve škole učí tabulku druhých mocnin přirozených čísel do dvaceti. Pokud znáte tuto tabulku, je snadné extrahovat odmocniny z čísel 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel větších než 400 je můžete extrahovat pomocí metody výběru pomocí několika tipů. Zkusme se na tuto metodu podívat na příkladu.
Příklad: Vytáhněte odmocninu čísla 676.
Všimli jsme si, že 20 2 = 400 a 30 2 = 900, což znamená 20< √676 < 900.
Přesné druhé mocniny přirozených čísel končí nulou; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dáno 4 2 a 6 2.
To znamená, že pokud je odmocnina převzata z 676, pak je buď 24, nebo 26.
Zbývá zkontrolovat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Odpovědět: √676 = 26 .
Více příklad: √6889 .
Protože 80 2 = 6400 a 90 2 = 8100, pak 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dáno 3 2 a 7 2, pak √6889 se rovná buď 83 nebo 87.
Zkontrolujeme: 83 2 = 6889.
Odpovědět: √6889 = 83 .
Pokud je pro vás obtížné vyřešit pomocí metody výběru, můžete zohlednit radikální výraz.
Například, najít √893025.
Vypočítejme číslo 893025, pamatujte, že jste to dělali v šesté třídě.
Dostaneme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Více příklad: √20736. Vyložme číslo 20736:
Dostaneme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Faktorizace samozřejmě vyžaduje znalost znamének dělitelnosti a schopnosti faktorizace.
A konečně existuje pravidlo pro extrakci odmocnin. Pojďme se s tímto pravidlem seznámit na příkladech.
Vypočítejte √279841.
Abychom extrahovali odmocninu vícemístného celého čísla, rozdělíme jej zprava doleva na plochy obsahující 2 číslice (levá hrana může obsahovat jednu číslici). Píšeme to takto: 27'98'41
Abychom získali první číslici odmocniny (5), vezmeme druhou odmocninu největšího dokonalého čtverce obsaženého v první ploše vlevo (27).
Potom se druhá mocnina první číslice odmocniny (25) odečte od první plochy a další plocha (98) se přičte k rozdílu (odečte).
Nalevo od výsledného čísla 298 napište dvojcifernou odmocninu (10), vydělte jím počet všech desítek dříve získaného čísla (29/2 ≈ 2), otestujte podíl (102 ∙ 2 = 204 by nemělo být větší než 298) a za první číslici kořene napište (2).
Potom se výsledný podíl 204 odečte od 298 a další hrana (41) se přičte k rozdílu (94).
Vlevo od výsledného čísla 9441 zapište dvojitý součin číslic odmocniny (52 ∙2 = 104), vydělte tímto součinem počet všech desítek čísla 9441 (944/104 ≈ 9), otestujte podíl (1049 ∙9 = 9441) by měl být 9441 a zapsat jej (9) za druhou číslici odmocniny.
Obdrželi jsme odpověď √279841 = 529.
Extrahujte podobně kořeny desetinných zlomků. Pouze radikální číslo musí být rozděleno na tváře tak, aby čárka byla mezi tvářemi.
Příklad. Najděte hodnotu √0,00956484.
Jen si pamatujte, že pokud má desetinný zlomek lichý počet desetinných míst, nelze z něj odmocnit.
Takže teď jste viděli tři způsoby, jak extrahovat kořen. Vyberte si ten, který vám nejlépe vyhovuje a cvičte. Abyste se naučili řešit problémy, musíte je řešit. A pokud máte nějaké dotazy, .
blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
A máte závislost na kalkulačce? Nebo si myslíte, že je to velmi obtížné spočítat například jinak než pomocí kalkulačky nebo pomocí tabulky čtverců.
Stává se, že jsou školáci připoutáni k kalkulačce a dokonce násobí 0,7 x 0,5 stisknutím cenných tlačítek. Říkají, dobře, ještě umím počítat, ale teď ušetřím čas... Až přijde zkouška... tak se napnu...
Faktem tedy je, že „stresových momentů“ už při zkoušce bude dost... Jak se říká, voda opotřebovává kameny. Takže u zkoušky vás maličkosti, pokud je jich hodně, mohou zničit...
Pojďme minimalizovat počet možných problémů.
Vezměte druhou odmocninu velkého čísla
Nyní se budeme bavit pouze o případu, kdy je výsledkem extrahování odmocniny celé číslo.
Případ 1
Potřebujeme tedy za každou cenu (například při výpočtu diskriminantu) vypočítat druhou odmocninu z 86436.
Číslo 86436 rozložíme na prvočinitele. Vydělíme 2, dostaneme 43218; vydělte znovu 2, dostaneme 21609. Číslo nemůže být dělitelné 2. Ale protože součet číslic je dělitelný 3, tak i samotné číslo je dělitelné 3 (obecně řečeno je jasné, že je dělitelné i 9). . Vydělte znovu 3 a dostaneme 2401. 2401 není úplně dělitelné 3. Nedělitelné pěti (nekončí 0 nebo 5).
Máme podezření na dělitelnost 7. Opravdu, a ,
Takže kompletní objednávka!
Případ 2
Potřebujeme spočítat. Je nepohodlné jednat stejným způsobem, jak je popsáno výše. Snažíme se faktorizovat...
Číslo 1849 není dělitelné 2 (není sudé)…
Není úplně dělitelné 3 (součet číslic není násobkem 3)...
Není úplně dělitelná 5 (poslední číslice není ani 5, ani 0)…
Není to úplně dělitelné 7, není to dělitelné 11, není to dělitelné 13... No, jak dlouho nám bude trvat, než seřadíme všechna prvočísla?
Uvažujme trochu jinak.
Tomu rozumíme
Zúžili jsme naše hledání. Nyní procházíme čísly od 41 do 49. Navíc je jasné, že vzhledem k tomu, že poslední číslice čísla je 9, měli bychom se zastavit u možností 43 nebo 47 – teprve tato čísla při odmocnění dají poslední číslici 9 .
No, tady se samozřejmě zastavíme na 43. Opravdu,
P.S. Jak sakra vynásobíme 0,7 krát 0,5?
Měli byste vynásobit 5 x 7, ignorovat nuly a znaménka, a poté oddělit zprava doleva dvě desetinná místa. Dostáváme 0,35.
Kruh ukazoval, jak lze extrahovat druhé odmocniny ve sloupci. Můžete vypočítat kořen s libovolnou přesností, najít libovolný počet číslic v jeho desítkovém zápisu, i když se to ukáže jako iracionální. Algoritmus byl zapamatován, ale otázky zůstaly. Nebylo jasné, odkud metoda pochází a proč dává správný výsledek. Nebylo to v knihách, nebo jsem možná jen hledal ve špatných knihách. Nakonec jsem si to stejně jako mnoho z toho, co dnes umím a umím, vymyslel sám. Sdílím zde své znalosti. Mimochodem, stále nevím, kde je uvedeno zdůvodnění algoritmu)))
Nejprve vám tedy řeknu „jak systém funguje“ na příkladu a poté vysvětlím, proč to vlastně funguje.
Vezměme si číslo (to číslo bylo vzato „z ničeho“, jen mě napadlo).
1. Jeho čísla rozdělíme do dvojic: čísla nalevo od desetinné čárky jsou seskupena po dvou zprava doleva a čísla napravo po dvou zleva doprava. Dostaneme.
2. Z první skupiny čísel zleva vyjmeme druhou odmocninu - v našem případě to tak je (je jasné, že přesná odmocnina se nedá extrahovat, vezmeme číslo, jehož druhá mocnina je co nejblíže našemu číslu tvořenému první skupina čísel, ale nepřekračuje ji). V našem případě to bude číslo. Odpověď zapíšeme - toto je nejvýznamnější číslice kořene.
3. Odmocníme číslo, které je již v odpovědi - toto - a odečteme ho od první skupiny čísel zleva - od čísla. V našem případě zůstává.
4. Napravo přiřadíme následující skupinu dvou čísel: . Číslo, které je již v odpovědi, vynásobíme číslem a dostaneme .
5. Nyní pozorně sledujte. K číslu vpravo potřebujeme přiřadit jednu číslici a číslo vynásobit, tedy stejnou přiřazenou číslicí. Výsledek by se měl co nejvíce blížit tomuto číslu, ale opět ne více. V našem případě to bude číslo, píšeme ho do odpovědi vedle, vpravo. Toto je další číslice v desítkovém zápisu naší odmocniny.
6. Z odečtení součinu dostaneme .
7. Dále zopakujeme známé operace: výslednému číslu přiřadíme následující skupinu číslic vpravo, vynásobíme , > přiřadíme jednu číslici vpravo tak, že po vynásobení dostaneme číslo menší než , ale nejbližší k tomu - toto je další číslice v desítkové odmocnině.
Výpočty budou zapsány takto:
A teď slíbené vysvětlení. Algoritmus je založen na vzorci
Komentáře: 50
2 Anton:
Příliš chaotické a matoucí. Seřaďte vše bod po bodu a očíslujte je. Plus: vysvětlete, kde nahradíme požadované hodnoty v každé akci. Nikdy předtím jsem nepočítal kořenový kořen; měl jsem problém to zjistit.
5 Julia:
6 :
Yulia, 23 je aktuálně napsáno vpravo; to jsou první dvě (vlevo) číslice odmocniny, která již byla přijata v odpovědi. Vynásobte 2 podle algoritmu. Opakujeme kroky popsané v bodě 4.
7 zzz:
chyba v „6. Od 167 odečteme součin 43 * 3 = 123 (129 nada), dostaneme 38.“
Nechápu, jak se ukázalo, že je 08 za desetinnou čárkou...9 Fedotov Alexander:
A ještě v době před kalkulačkou nás ve škole učili nejen odmocninu, ale i odmocninu ve sloupci, ale to byla únavnější a namáhavější práce. Jednodušší bylo použít Bradisovy tabulky nebo posuvné pravítko, které jsme studovali už na střední škole.
10 :
Alexandre, máš pravdu, kořeny velkých mocností můžeš extrahovat do sloupce. Budu psát jen o tom, jak najít krychli.
12 Sergej Valentinovič:
Milá Elizaveto Alexandrovno! Koncem 70. let jsem vyvinul schéma pro automatický (tj. nikoli výběrový) výpočet kvadrů. root na sčítacím stroji Felix. V případě zájmu mohu zaslat popis.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Vyjmutí druhé odmocniny sloupce)))
Algoritmus se zjednoduší, pokud použijete 2. číselnou soustavu, která je studována v informatice, ale je užitečná i v matematice. A.N. Kolmogorov představil tento algoritmus v populárních přednáškách pro školáky. Jeho článek lze nalézt ve sbírce „Čebyšev“ (Matematický časopis, odkaz na něj hledejte na internetu)
Mimochodem, řekni:
G. Leibniz si svého času pohrával s myšlenkou přechodu z 10. číselné soustavy na binární kvůli její jednoduchosti a dostupnosti pro začátečníky (žáky základních škol). Ale porušit zavedené tradice je jako rozbít bránu pevnosti čelem: je to možné, ale je to zbytečné. Tak to dopadá, jako podle nejcitovanějšího vousatého filozofa za starých časů: tradice všech mrtvých generací potlačují vědomí živých.Do příště.
15 Vlad aus Engelsstadt:
))Sergej Valentinoviči, ano, mám zájem...((
Vsadím se, že toto je variace na „Felix“ babylonské metody získávání čtvercového rytíře pomocí metody postupných aproximací. Tento algoritmus byl pokryt Newtonovou metodou (metoda tečny)
Zajímalo by mě, jestli jsem se ve své předpovědi nemýlil?
18 :
2Vlad z Engelsstadtu
Ano, binární algoritmus by měl být jednodušší, to je celkem zřejmé.
O Newtonově metodě. Možná je to pravda, ale i tak je to zajímavé
20 Kirill:
Díky moc. Ale stále neexistuje žádný algoritmus, nikdo neví, odkud se vzal, ale výsledek je správný. DÍKY MOC! Dlouho jsem to hledal)
21 Alexandr:
Jak extrahujete kořen z čísla, kde je druhá skupina zleva doprava velmi malá? například oblíbené číslo každého je 4 398 046 511 104. Po prvním odečtení není možné pokračovat ve všem podle algoritmu. Můžete prosím vysvětlit.
22 Alexey:
Ano, tuto metodu znám. Pamatuji si, jak jsem to četl v knize „Algebra“ nějakého starého vydání. Pak analogicky sám odvodil, jak extrahovat krychli ve sloupci. Ale tam už je to složitější: každá číslice není určena jednou (jako u čtverce), ale dvěma odečítáními, a i tam musíte pokaždé násobit dlouhá čísla.
23 Artem:
V příkladu extrahování druhé odmocniny z 56789.321 jsou překlepy. Skupina čísel 32 se přiřadí dvakrát k číslům 145 a 243, v čísle 2388025 musí být druhá 8 nahrazena 3. Pak poslední odčítání zapište takto: 2431000 – 2383025 = 47975.
Když navíc vydělíme zbytek zdvojnásobenou hodnotou odpovědi (bez zohlednění čárky), získáme další počet platných číslic (47975/(2*238305) = 0,100658819...), které je třeba přičíst odpověď (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).24 Sergey:
Algoritmus zjevně pocházel z knihy Isaaca Newtona „Obecná aritmetika nebo kniha o aritmetické syntéze a analýze“. Zde je úryvek z něj:
O EXTRAKCI KOŘENŮ
Chcete-li extrahovat druhou odmocninu čísla, musíte nejprve umístit tečku nad jeho číslice, počínaje jedničkami. Pak byste měli v kvocientu nebo radikálu napsat číslo, jehož druhá mocnina je stejná nebo nejblíže v nevýhodě k číslům nebo číslům před prvním bodem. Po odečtení tohoto čtverce budou postupně nalezeny zbývající číslice odmocniny tak, že se zbytek vydělí dvojnásobkem hodnoty již extrahované části odmocniny a od zbytku odmocniny se pokaždé odečte poslední nalezená číslice a její desetinásobný součin o jmenovaný dělitel.
25 Sergey:
Opravte také název knihy „Obecná aritmetika nebo kniha o aritmetické syntéze a analýze“
26 Alexandr:
Děkuji za zajímavý materiál. Tato metoda se mi ale zdá poněkud složitější, než je potřeba např. pro školáka. Používám jednodušší metodu založenou na rozšíření kvadratické funkce pomocí prvních dvou derivací. Jeho vzorec je:
sqrt(x)= A1+A2-A3, kde
A1 je celé číslo, jehož druhá mocnina je nejblíže x;
A2 je zlomek, čitatel je x-A1, jmenovatel je 2*A1.
Pro většinu čísel, se kterými se setkáte ve školním kurzu, to stačí k tomu, aby byl výsledek přesný na setinu.
Pokud potřebujete přesnější výsledek, vezměte
A3 je zlomek, čitatel je A2 na druhou, jmenovatel je 2*A1+1.
Samozřejmě k jeho použití potřebujete tabulku druhých mocnin celých čísel, ale to ve škole není problém. Zapamatovat si tento vzorec je celkem jednoduché.
Ale mate mě, že jsem A3 získal empiricky jako výsledek experimentů s tabulkovým procesorem a moc nerozumím tomu, proč tento člen má tento vzhled. Možná mi můžete dát nějakou radu?27 Alexandr:
Ano, i tyto úvahy jsem zvažoval, ale ďábel se skrývá v detailech. Píšete:
"protože a2 a b se liší docela málo." Otázka je přesně jak málo.
Tento vzorec funguje dobře na čísla v druhé desítce a mnohem hůře (ne do setin, pouze do desetin) na čísla v první desítce. Proč se to děje, je těžké pochopit bez použití derivátů.28 Alexandr:
Upřesním, v čem spatřuji výhodu mnou navrhovaného vzorce. Nevyžaduje ne zcela přirozené dělení čísel do dvojic číslic, které se, jak ukazuje zkušenost, často provádí s chybami. Jeho význam je zřejmý, ale pro člověka znalého analýzy triviální. Funguje dobře na číslech od 100 do 1000, což jsou nejběžnější čísla, se kterými se ve škole setkáváme.
29 Alexandr:
Mimochodem, trochu jsem kopal a našel přesný výraz pro A3 ve svém vzorci:
A3= A22 /2(A1+A2)30 Vasil stryzhak:
V naší době, s rozšířeným používáním výpočetní techniky, otázka extrahování čtvercového rytíře z čísla z praktického hlediska nestojí za to. Ale pro milovníky matematiky budou nepochybně zajímavé různé možnosti řešení tohoto problému. Způsob tohoto výpočtu bez použití dalších finančních prostředků by měl ve školním vzdělávacím programu probíhat na úrovni násobení a dlouhého dělení. Výpočtový algoritmus musí být nejen zapamatovatelný, ale také srozumitelný. Klasická metoda, prezentovaná v tomto materiálu k diskusi s odhalením podstaty, plně vyhovuje výše uvedeným kritériím.
Významnou nevýhodou metody navržené Alexandrem je použití tabulky druhých mocnin celých čísel. O většině čísel, se kterými se ve školním kursu setkává, autor mlčí. Pokud jde o vzorec, obecně se mi líbí kvůli poměrně vysoké přesnosti výpočtu.31 Alexandr:
za 30 Vasil stryzhak
Nic jsem nemlčel. Ta tabulka čtverců má být do 1000. Za mých časů ve škole se to prostě učili nazpaměť a bylo to ve všech učebnicích matematiky. Tento interval jsem výslovně pojmenoval.
Pokud jde o výpočetní techniku, nevyužívá se především v hodinách matematiky, pokud není konkrétně probíráno téma používání kalkulačky. Kalkulačky jsou nyní zabudovány do zařízení, která je zakázáno používat na Unified State Exam.32 vasil stryzhak:
Alexandro, děkuji za upřesnění! Myslel jsem, že pro navrhovanou metodu je teoreticky nutné zapamatovat si nebo použít tabulku druhých mocnin všech dvouciferných čísel. Pak pro radikální čísla nezahrnutá v intervalu od 100 do 10000 můžete použijte techniku jejich zvýšení nebo snížení o požadovaný počet řádů posunutím desetinné čárky.
33 vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
MŮJ PRVNÍ PROGRAM V JAZYCE IAMB NA SOVĚTSKÉM STROJI “ISKRA 555″ BYL NAPSÁN, ABY BYL NAPSÁN ODBORNOU ODBORNÍKOU ČÍSLA POMOCÍ ALGORITHMU EXTRAKCE SLOUPCE! a teď jsem zapomněl, jak to extrahovat ručně!
