Historie Pythagorovy věty. Důkaz věty

Jednou věcí, kterou si můžete být stoprocentně jisti, je, že na otázku, jaká je druhá mocnina přepony, každý dospělý směle odpoví: „Součet druhých mocnin nohou“. Tato věta je pevně zakořeněna v myslích každého vzdělaného člověka, ale stačí někoho požádat, aby to dokázal, a mohou nastat potíže. Proto si připomeňme a zvažme různé způsoby, jak Pythagorovu větu dokázat.

Stručný životopis

Pythagorovu větu zná téměř každý, ale z nějakého důvodu není biografie toho, kdo ji přivedl na svět, tak populární. To lze opravit. Proto před prozkoumáním různých způsobů, jak dokázat Pythagorovu větu, musíte krátce poznat jeho osobnost.

Pythagoras - filozof, matematik, myslitel původem z Dnes je velmi těžké odlišit jeho životopis od legend, které se rozvinuly na památku tohoto velikána. Jak ale vyplývá z děl jeho následovníků, Pythagoras ze Samos se narodil na ostrově Samos. Jeho otec byl obyčejný řezač kamene, ale matka pocházela ze šlechtické rodiny.

Soudě podle legendy, narození Pythagora předpověděla žena jménem Pythia, na jejíž počest byl chlapec pojmenován. Narozený chlapec měl podle její předpovědi přinést lidstvu mnoho užitku a dobra. Což je přesně to, co udělal.

Zrození věty

V mládí se Pythagoras přestěhoval do Egypta, aby se tam setkal se slavnými egyptskými mudrci. Po setkání s nimi mu bylo dovoleno studovat, kde poznal všechny velké úspěchy egyptské filozofie, matematiky a medicíny.

Pravděpodobně to bylo v Egyptě, kde se Pythagoras inspiroval majestátností a krásou pyramid a vytvořil svou velkou teorii. To může čtenáře šokovat, ale moderní historici se domnívají, že Pythagoras svou teorii neprokázal. Své znalosti ale pouze předal svým následovníkům, kteří později dokončili všechny potřebné matematické výpočty.

Ať je to jakkoli, dnes není známa jedna metoda dokazování této věty, ale několik najednou. Dnes můžeme jen hádat, jak přesně staří Řekové prováděli své výpočty, proto se zde podíváme na různé způsoby, jak Pythagorovu větu dokázat.

Pythagorova věta

Než začnete s jakýmikoli výpočty, musíte si ujasnit, jakou teorii chcete dokázat. Pythagorova věta zní takto: „V trojúhelníku, ve kterém je jeden z úhlů 90°, se součet čtverců nohou rovná čtverci přepony.

Existuje celkem 15 různých způsobů, jak dokázat Pythagorovu větu. To je poměrně velké číslo, takže se budeme věnovat nejoblíbenějším z nich.

Metoda jedna

Nejprve si definujme, co nám bylo dáno. Tyto údaje se budou vztahovat i na jiné metody dokazování Pythagorovy věty, proto se vyplatí okamžitě si zapamatovat všechny dostupné zápisy.

Předpokládejme, že máme pravoúhlý trojúhelník s rameny a, b a přeponou rovnou c. První metoda důkazu je založena na tom, že z pravoúhlého trojúhelníku potřebujete nakreslit čtverec.

Chcete-li to provést, musíte přidat segment rovný noze b k délce nohy a a naopak. Výsledkem by měly být dvě stejné strany čtverce. Zbývá nakreslit dvě rovnoběžné čáry a čtverec je hotový.

Uvnitř výsledného obrázku musíte nakreslit další čtverec se stranou rovnou přeponě původního trojúhelníku. Chcete-li to provést, z vrcholů ас a св musíte nakreslit dva rovnoběžné segmenty rovné с. Dostaneme tedy tři strany čtverce, z nichž jedna je přepona původního pravoúhlého trojúhelníku. Zbývá pouze nakreslit čtvrtý segment.

Na základě výsledného obrázku můžeme dojít k závěru, že plocha vnějšího čtverce je (a + b) 2. Když se podíváte dovnitř obrázku, můžete vidět, že kromě vnitřního čtverce jsou tam čtyři pravoúhlé trojúhelníky. Plocha každého z nich je 0,5 av.

Proto se plocha rovná: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Tedy (a+c)2=2ab+c2

A proto c 2 = a 2 + b 2

Věta byla prokázána.

Metoda druhá: podobné trojúhelníky

Tento vzorec pro dokazování Pythagorovy věty byl odvozen na základě tvrzení ze sekce geometrie o podobných trojúhelníkech. Uvádí, že rameno pravoúhlého trojúhelníku je průměr úměrný jeho přeponě a segmentu přepony vycházející z vrcholu úhlu 90°.

Počáteční údaje zůstávají stejné, začněme tedy rovnou důkazem. Nakreslete segment CD kolmý ke straně AB. Na základě výše uvedeného tvrzení jsou strany trojúhelníků stejné:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Abychom odpověděli na otázku, jak dokázat Pythagorovu větu, musí být důkaz dokončen umocněním obou nerovností.

AC 2 = AB * AD a CB 2 = AB * DV

Nyní musíme výsledné nerovnosti sečíst.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kde AD + DV = AB

Ukázalo se, že:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

A proto:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Důkaz Pythagorovy věty a různé metody jejího řešení vyžadují všestranný přístup k tomuto problému. Tato možnost je však jednou z nejjednodušších.

Další způsob výpočtu

Popisy různých metod dokazování Pythagorovy věty nemusí nic znamenat, dokud nezačnete cvičit sami. Mnoho technik zahrnuje nejen matematické výpočty, ale také konstrukci nových obrazců z původního trojúhelníku.

V tomto případě je nutné doplnit další pravoúhlý trojúhelník VSD ze strany BC. Nyní tedy existují dva trojúhelníky se společnou nohou BC.

S vědomím, že plochy podobných obrazců mají poměr jako čtverce jejich podobných lineárních rozměrů, pak:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 = a 2

c2=a2+b2

Protože z různých metod dokazování Pythagorovy věty pro ročník 8 je tato možnost sotva vhodná, můžete použít následující metodu.

Nejjednodušší způsob, jak dokázat Pythagorovu větu. Recenze

Podle historiků byla tato metoda poprvé použita k prokázání teorému ve starověkém Řecku. Je to nejjednodušší, protože nevyžaduje absolutně žádné výpočty. Pokud obrázek nakreslíte správně, bude jasně vidět důkaz tvrzení, že a 2 + b 2 = c 2.

Podmínky pro tuto metodu se budou mírně lišit od předchozí. K prokázání věty předpokládejme, že pravoúhlý trojúhelník ABC je rovnoramenný.

Vezmeme přeponu AC jako stranu čtverce a nakreslíme jeho tři strany. Do výsledného čtverce je navíc nutné nakreslit dvě diagonální čáry. Takže uvnitř dostanete čtyři rovnoramenné trojúhelníky.

Musíte také nakreslit čtverec k nohám AB a CB a nakreslit v každé z nich jednu diagonální přímku. První čáru nakreslíme z vrcholu A, druhou z C.

Nyní se musíte pečlivě podívat na výsledný výkres. Protože na přeponě AC jsou čtyři trojúhelníky rovné původnímu a na stranách jsou dva, ukazuje to na pravdivost této věty.

Mimochodem, díky této metodě dokazování Pythagorovy věty se zrodila slavná věta: „Pythagorovy kalhoty jsou si ve všech směrech rovné“.

Důkaz od J. Garfielda

James Garfield je dvacátým prezidentem Spojených států amerických. Kromě toho, že se jako vládce Spojených států zapsal do dějin, byl také nadaným autodidaktem.

Na začátku své kariéry byl obyčejným učitelem na veřejné škole, ale brzy se stal ředitelem jedné z vysokých škol. Touha po seberozvoji mu umožnila navrhnout novou teorii pro prokázání Pythagorovy věty. Věta a příklad jejího řešení jsou následující.

Nejprve musíte na kus papíru nakreslit dva pravoúhlé trojúhelníky tak, aby noha jednoho z nich byla pokračováním druhého. Vrcholy těchto trojúhelníků je třeba spojit, aby nakonec vytvořily lichoběžník.

Jak víte, plocha lichoběžníku se rovná součinu poloviny součtu jeho základen a jeho výšky.

S=a+b/2 * (a+b)

Pokud uvažujeme výsledný lichoběžník jako obrazec sestávající ze tří trojúhelníků, pak jeho obsah lze nalézt takto:

S=av/2*2 + s2/2

Nyní potřebujeme vyrovnat dva původní výrazy

2ab/2 + c/2=(a+b)2/2

c2=a2+b2

O Pythagorově větě a metodách jejího dokazování by se dal napsat nejeden svazek učebnic. Má to ale nějaký smysl, když tyto znalosti nelze aplikovat v praxi?

Praktická aplikace Pythagorovy věty

Bohužel moderní školní osnovy umožňují použití této věty pouze v geometrických úlohách. Absolventi brzy opustí školu, aniž by věděli, jak své znalosti a dovednosti uplatnit v praxi.

Ve skutečnosti může Pythagorovu větu používat ve svém každodenním životě každý. A to nejen v profesionálních činnostech, ale i v běžných domácích pracích. Podívejme se na několik případů, kdy Pythagorova věta a metody jejího dokazování mohou být extrémně nutné.

Vztah mezi teorémem a astronomií

Zdálo by se, jak mohou být hvězdy a trojúhelníky na papíře spojeny. Ve skutečnosti je astronomie vědním oborem, ve kterém je Pythagorova věta široce používána.

Uvažujme například pohyb světelného paprsku v prostoru. Je známo, že světlo se pohybuje oběma směry stejnou rychlostí. Nazvěme trajektorii AB, po které se světelný paprsek pohybuje l. A řekněme polovinu času, který světlo potřebuje k tomu, aby se dostalo z bodu A do bodu B t. A rychlost paprsku - C. Ukázalo se, že: c*t=l

Pokud se na tento stejný paprsek podíváte z jiné roviny, například z vesmírné lodi, která se pohybuje rychlostí v, pak se při pozorování těles tímto způsobem jejich rychlost změní. V tomto případě se i stacionární prvky začnou pohybovat rychlostí v v opačném směru.

Řekněme, že komiksová vložka pluje doprava. Poté se body A a B, mezi které paprsek řítí, začnou pohybovat doleva. Navíc, když se paprsek přesune z bodu A do bodu B, bod A má čas se pohnout, a proto světlo již dorazí do nového bodu C. Chcete-li zjistit poloviční vzdálenost, o kterou se bod A posunul, musíte vynásobit rychlost vložky o polovinu doby průchodu paprsku (t ").

A abyste zjistili, jak daleko by se mohl paprsek světla dostat během této doby, musíte označit polovinu cesty novým písmenem s a získat následující výraz:

Pokud si představíme, že světelné body C a B, stejně jako prostorová vložka, jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku, pak jej úsečka od bodu A k vložce rozdělí na dva pravoúhlé trojúhelníky. Díky Pythagorově větě tedy můžete najít vzdálenost, kterou by mohl urazit paprsek světla.

Tento příklad samozřejmě není nejúspěšnější, protože jen málokomu se poštěstí jej vyzkoušet v praxi. Zvažme proto světštější aplikace této věty.

Rozsah přenosu mobilního signálu

Moderní život si již nelze představit bez existence chytrých telefonů. Ale jak moc by byly užitečné, kdyby nemohli propojit účastníky prostřednictvím mobilní komunikace?!

Kvalita mobilní komunikace přímo závisí na výšce, ve které je umístěna anténa mobilního operátora. Chcete-li vypočítat, jak daleko od mobilní věže může telefon přijímat signál, můžete použít Pythagorovu větu.

Řekněme, že potřebujete najít přibližnou výšku stacionární věže, aby mohla distribuovat signál v okruhu 200 kilometrů.

AB (výška věže) = x;

BC (poloměr přenosu signálu) = 200 km;

OS (poloměr zeměkoule) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplikací Pythagorovy věty zjistíme, že minimální výška věže by měla být 2,3 kilometru.

Pythagorova věta v každodenním životě

Kupodivu může být Pythagorova věta užitečná i v každodenních záležitostech, jako je například určení výšky šatníku. Na první pohled není potřeba používat tak složité výpočty, protože jednoduše provedete měření pomocí svinovacího metru. Mnoho lidí se však diví, proč během procesu montáže vznikají určité problémy, pokud byla všechna měření provedena více než přesně.

Faktem je, že šatní skříň je sestavena ve vodorovné poloze a teprve poté zvednuta a instalována ke stěně. Proto se během procesu zvedání konstrukce musí strana skříně volně pohybovat po výšce i diagonálně místnosti.

Předpokládejme, že existuje šatní skříň o hloubce 800 mm. Vzdálenost od podlahy ke stropu - 2600 mm. Zkušený nábytkář řekne, že výška skříně by měla být o 126 mm menší než výška místnosti. Ale proč zrovna 126 mm? Podívejme se na příklad.

S ideálními rozměry skříně si ověřte fungování Pythagorovy věty:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - vše sedí.

Řekněme, že výška skříně není 2474 mm, ale 2505 mm. Pak:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Proto není tato skříň vhodná pro instalaci v této místnosti. Protože jeho zvedání do svislé polohy může způsobit poškození jeho těla.

Možná, po zvážení různých způsobů prokázání Pythagorovy věty různými vědci, můžeme dojít k závěru, že je více než pravdivá. Nyní můžete získané informace používat ve svém každodenním životě a být si zcela jisti, že všechny výpočty budou nejen užitečné, ale také správné.

Každý školák ví, že druhá mocnina přepony se vždy rovná součtu nohou, z nichž každá je na druhou. Toto tvrzení se nazývá Pythagorova věta. Je to jedna z nejznámějších vět trigonometrie a matematiky vůbec. Pojďme se na to podívat blíže.

Koncept pravoúhlého trojúhelníku

Než přejdeme k Pythagorově větě, ve které se druhá mocnina přepony rovná součtu větví, které jsou na druhou, měli bychom zvážit koncept a vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku, pro který věta platí.

Trojúhelník je plochá postava se třemi úhly a třemi stranami. Pravoúhlý trojúhelník, jak jeho název napovídá, má jeden pravý úhel, to znamená, že tento úhel je roven 90 o.

Z obecných vlastností všech trojúhelníků je známo, že součet všech tří úhlů tohoto obrazce je roven 180 o, což znamená, že pro pravoúhlý trojúhelník je součet dvou úhlů, které nejsou pravé, 180 o - 90 o = 90 o. Tato poslední skutečnost znamená, že jakýkoli úhel v pravoúhlém trojúhelníku, který není pravý, bude vždy menší než 90 o.

Strana, která leží proti pravému úhlu, se nazývá přepona. Další dvě strany jsou nohy trojúhelníku, mohou si být rovny, nebo se mohou lišit. Z trigonometrie víme, že čím větší úhel, proti kterému leží strana trojúhelníku, tím větší je délka této strany. To znamená, že v pravoúhlém trojúhelníku bude přepona (leží proti úhlu 90 o) vždy větší než kterákoli z větví (leží proti úhlům< 90 o).

Matematický zápis Pythagorovy věty

Tato věta říká, že druhá mocnina přepony se rovná součtu větví, z nichž každá je předtím na druhou. Abychom tuto formulaci napsali matematicky, uvažujme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém strany a, b a c jsou dvě nohy a přepona. V tomto případě lze větu, která je formulována jako druhá mocnina přepony rovna součtu čtverců větví, reprezentovat následujícím vzorcem: c 2 = a 2 + b 2. Odtud lze získat další vzorce důležité pro procvičování: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) a c = √(a 2 + b 2).

Všimněte si, že v případě pravoúhlého rovnostranného trojúhelníku, tedy a = b, bude formulace: druhá mocnina přepony se rovná součtu ramen, z nichž každá je na druhou, bude matematicky zapsána takto: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, což znamená rovnost: c = a√2.

Historický odkaz

Pythagorova věta, která říká, že druhá mocnina přepony se rovná součtu nohou, z nichž každá je na druhou, byla známa dávno předtím, než jí věnoval pozornost slavný řecký filozof. Mnoho papyrů starověkého Egypta, stejně jako hliněné tabulky Babyloňanů, potvrzují, že tyto národy využívaly zmíněnou vlastnost stran pravoúhlého trojúhelníku. Například jedna z prvních egyptských pyramid, Rachefova pyramida, jejíž stavba se datuje do 26. století před naším letopočtem (2000 let před životem Pythagora), byla postavena na základě znalosti poměru stran v pravoúhlém trojúhelníku 3x4x5 .

Proč tedy tato věta nyní nese jméno řecké? Odpověď je jednoduchá: Pythagoras je první, kdo tuto větu matematicky dokázal. Dochované babylonské a egyptské písemné prameny hovoří pouze o jeho použití, ale neposkytují žádný matematický důkaz.

Předpokládá se, že Pythagoras dokázal dotyčnou větu pomocí vlastností podobných trojúhelníků, které získal nakreslením výšky v pravoúhlém trojúhelníku z úhlu 90 o k přeponě.

Příklad použití Pythagorovy věty

Uvažujme jednoduchý problém: je nutné určit délku šikmého schodiště L, pokud je známo, že má výšku H = 3 metry a vzdálenost od stěny, o kterou se schodiště opírá, k jeho patě je P = 2,5 metrů.

V tomto případě jsou H a P nohy a L je přepona. Protože délka přepony je rovna součtu druhých mocnin nohou, dostaneme: L 2 = H 2 + P 2, odkud L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 metru nebo 3 ma 90,5 cm.

(podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „tahače lan“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3, 4 a 5.

Je velmi snadné reprodukovat jejich způsob konstrukce. Vezmeme lano dlouhé 12 m a navážeme na něj barevný pruh ve vzdálenosti 3 m od jednoho konce a 4 metry od druhého. Pravý úhel bude mezi stranami dlouhými 3 a 4 metry. Harpedonaptům by se dalo namítnout, že jejich způsob stavby se stává nadbytečným, pokud se použije například dřevěný čtverec, který používají všichni tesaři. Jsou totiž známy egyptské kresby, na kterých se takový nástroj nachází, například kresby zobrazující truhlářskou dílnu.

Poněkud více je známo o Pythagorově větě mezi Babyloňany. V jednom textu pocházejícím z doby Hammurabiho, tedy do roku 2000 před naším letopočtem. E. , je uveden přibližný výpočet přepony pravoúhlého trojúhelníku. Z toho můžeme usoudit, že v Mezopotámii byli schopni provádět výpočty s pravoúhlými trojúhelníky, alespoň v některých případech. Na jedné straně na základě současné úrovně znalostí o egyptské a babylonské matematice a na druhé straně na základě kritického studia řeckých pramenů dospěl Van der Waerden (nizozemský matematik) k závěru, že existuje vysoká pravděpodobnost, že věta o kvadrátu přepony byla v Indii známa již kolem 18. století před naším letopočtem. E.

Kolem roku 400 př.n.l. př. n. l. podle Prokla dal Platón metodu pro hledání pythagorejských trojic, spojující algebru a geometrii. Kolem roku 300 př. Kr. E. Nejstarší axiomatický důkaz Pythagorovy věty se objevil v Euklidových prvcích.

Formulace

Geometrické složení:

Věta byla původně formulována takto:

Algebraická formulace:

To znamená, že délku přepony trojúhelníku označíme a délky ramen označíme a:

Obě formulace věty jsou ekvivalentní, ale druhá formulace je elementárnější, nevyžaduje pojem plochy. To znamená, že druhé tvrzení lze ověřit, aniž bychom věděli cokoli o ploše a měřením pouze délek stran pravoúhlého trojúhelníku.

Obraťte Pythagorovu větu:

Důkaz

V současné době je ve vědecké literatuře zaznamenáno 367 důkazů této věty. Pravděpodobně je Pythagorova věta jedinou větou s tak působivým počtem důkazů. Takovou rozmanitost lze vysvětlit pouze základním významem věty pro geometrii.

Samozřejmě, koncepčně všechny lze rozdělit do malého počtu tříd. Nejznámější z nich: důkazy plošnou metodou, axiomatické a exotické důkazy (např. pomocí diferenciálních rovnic).

Prostřednictvím podobných trojúhelníků

Následující důkaz algebraické formulace je nejjednodušší z důkazů, konstruovaný přímo z axiomů. Zejména nepoužívá koncept plochy obrázku.

Nechat ABC existuje pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C. Nakreslíme výšku od C a označte jeho základnu H. Trojúhelník ACH podobný trojúhelníku ABC ve dvou rozích. Stejně tak trojúhelník CBH podobný ABC. Zavedením notace

dostaneme

Co je ekvivalentní

Když to sečteme, dostaneme

, což je potřeba dokázat

Důkazy plošnou metodou

Níže uvedené důkazy, navzdory své zdánlivé jednoduchosti, nejsou vůbec tak jednoduché. Všechny využívají vlastnosti plochy, jejichž důkaz je složitější než důkaz samotné Pythagorovy věty.

Důkaz prostřednictvím ekvikomplementace

Uspořádejme čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky, jak je znázorněno na obrázku 1.
Čtyřúhelník se stranami C je čtverec, protože součet dvou ostrých úhlů je 90° a přímý úhel je 180°.
Plocha celého obrazce se rovná na jedné straně ploše čtverce se stranou (a + b) a na druhé straně součtu ploch čtyř trojúhelníků a plocha vnitřního náměstí.

Q.E.D.

Euklidův důkaz

Myšlenka Euklidova důkazu je následující: zkusme dokázat, že polovina plochy čtverce postaveného na přeponě se rovná součtu polovičních ploch čtverců postavených na nohách a potom ploch velký a dva malé čtverce jsou stejné.

Podívejme se na nákres vlevo. Na něm jsme sestrojili čtverce po stranách pravoúhlého trojúhelníku a nakreslili paprsek s z vrcholu pravého úhlu C kolmo na přeponu AB, rozřízl čtverec ABIK, postavený na přeponě, na dva obdélníky - BHJI a HAKJ, respektive. Ukazuje se, že plochy těchto obdélníků jsou přesně stejné jako plochy čtverců postavených na odpovídajících nohách.

Pokusme se dokázat, že plocha čtverce DECA se rovná ploše obdélníku AHJK. K tomu použijeme pomocné pozorování: Plocha trojúhelníku se stejnou výškou a základnou jako daný obdélník se rovná polovině plochy daného obdélníku. Je to důsledek definování plochy trojúhelníku jako poloviny součinu základny a výšky. Z tohoto pozorování vyplývá, že plocha trojúhelníku ACK se rovná ploše trojúhelníku AHK (na obrázku není znázorněna), což se zase rovná polovině plochy obdélníku AHJK.

Nyní dokažme, že plocha trojúhelníku ACK se také rovná polovině plochy čtverce DECA. Jediné, co je pro to třeba udělat, je dokázat rovnost trojúhelníků ACK a BDA (protože plocha trojúhelníku BDA se rovná polovině plochy čtverce podle výše uvedené vlastnosti). Tato rovnost je zřejmá: trojúhelníky jsou stejné na obou stranách a úhel mezi nimi. Totiž - AB=AK, AD=AC - rovnost úhlů CAK a BAD snadno prokážeme metodou pohybu: trojúhelník CAK otočíme o 90° proti směru hodinových ručiček, pak je zřejmé, že odpovídající strany dvou trojúhelníků v otázka se bude shodovat (vzhledem k tomu, že úhel ve vrcholu čtverce je 90°).

Zdůvodnění rovnosti ploch čtverce BCFG a obdélníku BHJI je zcela podobné.

Tím jsme dokázali, že plocha čtverce postaveného na přeponě je složena z ploch čtverců postavených na nohách. Myšlenku tohoto důkazu dále ilustruje animace výše.

Důkaz Leonarda da Vinciho

Hlavními prvky důkazu jsou symetrie a pohyb.

Podívejme se na výkres, jak je vidět ze symetrie, segment rozřízne čtverec na dvě stejné části (protože trojúhelníky jsou v konstrukci stejné).

Pomocí otočení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček kolem bodu vidíme rovnost stínovaných čísel a.

Nyní je jasné, že plocha obrázku, kterou jsme vystínovali, se rovná součtu poloviny ploch malých čtverců (postavených na nohách) a plochy původního trojúhelníku. Na druhé straně se rovná polovině plochy velkého čtverce (postaveného na přeponě) plus plocha původního trojúhelníku. Poloviční součet ploch malých čtverců se tedy rovná polovině plochy velkého čtverce, a proto se součet ploch čtverců postavených na nohách rovná ploše čtverce postaveného na přepona.

Důkaz infinitezimální metodou

Následující důkaz pomocí diferenciálních rovnic je často připisován slavnému anglickému matematikovi Hardymu, který žil v první polovině 20. století.

Při pohledu na výkres zobrazený na obrázku a pozorování změny strany A, můžeme napsat následující vztah pro infinitezimální přírůstky strany S A A(pomocí podobnosti trojúhelníku):

Pomocí metody separace proměnných najdeme

Obecnější vyjádření pro změnu přepony v případě přírůstků na obou stranách

Integrací této rovnice a použitím počátečních podmínek získáme

Tím se dostáváme k požadované odpovědi

Jak je snadné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje v důsledku lineární úměrnosti mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet je spojen s nezávislými příspěvky přírůstku různých větví.

Jednodušší důkaz lze získat, pokud předpokládáme, že jedna z větví nezaznamenává přírůstek (v tomto případě noha). Pak pro integrační konstantu dostaneme

Variace a zobecnění

Podobné geometrické tvary na třech stranách

Zobecnění pro podobné trojúhelníky, plocha zelených tvarů A + B = plocha modrého C

Pythagorova věta pomocí podobných pravoúhlých trojúhelníků

Euclid ve svém díle zobecnil Pythagorovu větu Začátky, rozšiřující plochy čtverců po stranách na plochy podobných geometrických obrazců:

Pokud zkonstruujeme podobné geometrické obrazce (viz euklidovská geometrie) na stranách pravoúhlého trojúhelníku, pak se součet dvou menších obrazců bude rovnat ploše většího obrazce.

Hlavní myšlenkou tohoto zobecnění je, že plocha takového geometrického útvaru je úměrná čtverci libovolného z jeho lineárních rozměrů a zejména druhé mocnině délky kterékoli strany. Proto u podobných čísel s plochami A, B A C postavené na stranách s délkou A, b A C, my máme:

Ale podle Pythagorovy věty A 2 + b 2 = C 2 pak A + B = C.

A naopak, pokud to dokážeme A + B = C pro tři podobné geometrické útvary bez použití Pythagorovy věty, pak můžeme dokázat samotnou větu pohybující se v opačném směru. Například počáteční středový trojúhelník lze znovu použít jako trojúhelník C na přeponě a dva podobné pravoúhlé trojúhelníky ( A A B), postavené na dalších dvou stranách, které jsou tvořeny dělením středového trojúhelníku jeho výškou. Součet ploch dvou menších trojúhelníků je tedy zjevně roven ploše třetího A + B = C a provedením předchozího důkazu v opačném pořadí získáme Pythagorovu větu a 2 + b 2 = c 2 .

Kosinová věta

Pythagorova věta je speciálním případem obecnější kosinové věty, která dává do souvislosti délky stran v libovolném trojúhelníku:

kde θ je úhel mezi stranami A A b.

Pokud je θ 90 stupňů, pak cos θ = 0 a vzorec se zjednoduší na obvyklou Pythagorovu větu.

Volný trojúhelník

Do libovolného vybraného rohu libovolného trojúhelníku se stranami a, b, c Vepišme rovnoramenný trojúhelník tak, že shodné úhly u jeho základny θ se rovnají zvolenému úhlu. Předpokládejme, že vybraný úhel θ leží proti určené straně C. Výsledkem je trojúhelník ABD s úhlem θ, který je umístěn na opačné straně A a večírky r. Druhý trojúhelník je tvořen úhlem θ, který je umístěn proti straně b a večírky S délka s, jak je znázorněno na obrázku. Thabit Ibn Qurra tvrdil, že strany v těchto třech trojúhelníkech spolu souvisí následovně:

Jak se úhel θ blíží π/2, základna rovnoramenného trojúhelníku se zmenšuje a obě strany r a s se navzájem stále méně překrývají. Když θ = π/2, ADB se stane pravoúhlým trojúhelníkem, r + s = C a získáme počáteční Pythagorovu větu.

Podívejme se na jeden z argumentů. Trojúhelník ABC má stejné úhly jako trojúhelník ABD, ale v opačném pořadí. (Dva trojúhelníky mají společný úhel ve vrcholu B, oba mají úhel θ a také mají stejný třetí úhel, založený na součtu úhlů trojúhelníku) V souladu s tím je ABC podobný odrazu ABD trojúhelníku DBA, protože zobrazeno na spodním obrázku. Zapišme vztah mezi protilehlými stranami a těmi, které sousedí s úhlem θ,

Také odraz jiného trojúhelníku,

Vynásobíme zlomky a sečteme tyto dva poměry:

Q.E.D.

Zobecnění pro libovolné trojúhelníky pomocí rovnoběžníků

Zobecnění pro libovolné trojúhelníky,
zelená plocha pozemek = plocha modrý

Důkaz teze, že na obrázku výše

Udělejme další zobecnění pro nepravoúhlé trojúhelníky použitím rovnoběžníků na třech stranách místo čtverců. (čtverce jsou zvláštní případ.) Horní obrázek ukazuje, že u ostrého trojúhelníku se plocha rovnoběžníku na dlouhé straně rovná součtu rovnoběžníků na ostatních dvou stranách za předpokladu, že rovnoběžník na dlouhé strana je konstruována tak, jak je znázorněno na obrázku (rozměry označené šipkami jsou stejné a určují strany spodního rovnoběžníku). Toto nahrazení čtverců rovnoběžníky má jasnou podobnost s počáteční Pythagorovou větou, o níž se předpokládá, že ji zformuloval Pappus z Alexandrie v roce 4 nl. E.

Spodní obrázek ukazuje průběh důkazu. Podívejme se na levou stranu trojúhelníku. Levý zelený rovnoběžník má stejnou plochu jako levá strana modrého rovnoběžníku, protože mají stejnou základnu b a výška h. Levý zelený rovnoběžník má navíc stejnou plochu jako levý zelený rovnoběžník na horním obrázku, protože mají společnou základnu (levou horní stranu trojúhelníku) a společnou výšku kolmou k této straně trojúhelníku. Podobným uvažováním pro pravou stranu trojúhelníku dokážeme, že spodní rovnoběžník má stejnou plochu jako dva zelené rovnoběžníky.

Komplexní čísla

Pythagorova věta se používá k nalezení vzdálenosti mezi dvěma body v kartézském souřadnicovém systému a tato věta platí pro všechny skutečné souřadnice: vzdálenost s mezi dvěma body ( a, b) A ( CD) rovná se

Pokud se s komplexními čísly zachází jako s vektory s reálnými složkami, nejsou se vzorcem žádné problémy X + já y = (X, y). . Například vzdálenost s mezi 0 + 1 i a 1 + 0 i vypočítaný jako modul vektoru (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), nebo

Pro operace s vektory se složitými souřadnicemi je však nutné provést určitá vylepšení pythagorejského vzorce. Vzdálenost mezi body s komplexními čísly ( A, b) A ( C, d); A, b, C, A d všechny složité, formulujeme pomocí absolutních hodnot. Vzdálenost s na základě vektorového rozdílu (A − C, b − d) v následujícím tvaru: nechť rozdíl A − C = p+i q, Kde p- skutečná část rozdílu, q je imaginární část a i = √(−1). Stejně tak nech b − d = r+i s. Pak:

kde je komplexně konjugované číslo pro . Například vzdálenost mezi body (A, b) = (0, 1) A (C, d) = (i, 0) , spočítáme rozdíl (A − C, b − d) = (−i, 1) a výsledek by byl 0, kdyby nebyly použity komplexní konjugáty. Proto pomocí vylepšeného vzorce dostaneme

Modul je definován následovně:

Stereometrie

Významným zobecněním Pythagorovy věty pro trojrozměrný prostor je de Goyova věta, pojmenovaná po J.-P. de Gois: pokud má čtyřstěn pravý úhel (jako v krychli), pak se čtverec plochy protilehlé pravému úhlu rovná součtu čtverců ploch ostatních tří ploch. Tento závěr lze shrnout jako „ n-rozměrný Pythagorův teorém":

Pythagorova věta v trojrozměrném prostoru vztahuje úhlopříčku AD ke třem stranám.

Další zobecnění: Pythagorova věta může být aplikována na stereometrii v následující podobě. Uvažujme pravoúhlý rovnoběžnostěn, jak je znázorněno na obrázku. Pojďme zjistit délku úhlopříčky BD pomocí Pythagorovy věty:

kde tři strany tvoří pravoúhlý trojúhelník. K nalezení délky úhlopříčky AD použijeme vodorovnou úhlopříčku BD a svislou hranu AB, k tomu opět použijeme Pythagorovu větu:

nebo, když vše napíšeme do jedné rovnice:

Tento výsledek je trojrozměrný výraz pro určení velikosti vektoru proti(úhlopříčka AD), vyjádřená jejími kolmými složkami ( proti k ) (tři vzájemně kolmé strany):

Tuto rovnici lze považovat za zobecnění Pythagorovy věty pro vícerozměrný prostor. Výsledkem však ve skutečnosti není nic jiného než opakovaná aplikace Pythagorovy věty na posloupnost pravoúhlých trojúhelníků v postupně kolmých rovinách.

Vektorový prostor

V případě ortogonálního systému vektorů existuje rovnost, která se také nazývá Pythagorova věta:

Jestliže - to jsou projekce vektoru na souřadnicové osy, pak se tento vzorec shoduje s euklidovskou vzdáleností - a znamená, že délka vektoru je rovna druhé odmocnině součtu druhých mocnin jeho složek.

Obdoba této rovnosti v případě nekonečné soustavy vektorů se nazývá Parsevalova rovnost.

Neeuklidovská geometrie

Pythagorova věta je odvozena z axiomů euklidovské geometrie a ve skutečnosti neplatí pro neeuklidovskou geometrii ve formě, ve které je napsána výše. (To znamená, že Pythagorova věta se ukazuje jako jakýsi ekvivalent Euklidova postulátu rovnoběžnosti) Jinými slovy, v neeuklidovské geometrii bude vztah mezi stranami trojúhelníku nutně ve formě odlišné od Pythagorovy věty. Například ve sférické geometrii jsou všechny tři strany pravoúhlého trojúhelníku (řekněme A, b A C), které omezují oktant (osmou část) jednotkové koule, mají délku π/2, což je v rozporu s Pythagorovou větou, protože A 2 + b 2 ≠ C 2 .

Uvažujme zde dva případy neeuklidovské geometrie – sférickou a hyperbolickou geometrii; v obou případech, pokud jde o euklidovský prostor pro pravoúhlé trojúhelníky, vyplývá výsledek, který nahrazuje Pythagorovu větu, z kosinové věty.

Pythagorova věta však zůstává platná pro hyperbolickou a eliptickou geometrii, pokud je požadavek, aby trojúhelník byl pravoúhlý, nahrazen podmínkou, že součet dvou úhlů trojúhelníku se musí rovnat třetímu, řekněme A+B = C. Potom vztah mezi stranami vypadá takto: součet ploch kružnic s průměry A A b rovná se ploše kruhu s průměrem C.

Sférická geometrie

Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník na kouli s poloměrem R(například je-li úhel γ v trojúhelníku pravý) se stranami A, b, C Vztah mezi stranami bude vypadat takto:

Tuto rovnost lze odvodit jako speciální případ sférického kosinusového teorému, který platí pro všechny sférické trojúhelníky:

kde cosh je hyperbolický kosinus. Tento vzorec je speciálním případem hyperbolické kosinové věty, která platí pro všechny trojúhelníky:

kde γ je úhel, jehož vrchol je opačný ke straně C.

Kde G ij nazývaný metrický tenzor. Může to být funkce polohy. Takové zakřivené prostory zahrnují Riemannovu geometrii jako obecný příklad. Tato formulace je také vhodná pro euklidovský prostor při použití křivočarých souřadnic. Například pro polární souřadnice:

Vektorové kresby

Pythagorova věta spojuje dva výrazy pro velikost vektorového součinu. Jeden přístup k definování křížového produktu vyžaduje, aby splňoval rovnici:

Tento vzorec používá bodový produkt. Pravá strana rovnice se nazývá Gramův determinant pro A A b, která se rovná ploše rovnoběžníku tvořeného těmito dvěma vektory. Na základě tohoto požadavku, stejně jako požadavku, aby vektorový součin byl kolmý na jeho složky A A b z toho vyplývá, že kromě triviálních případů z 0- a 1-rozměrného prostoru je křížový součin definován pouze ve třech a sedmi dimenzích. Použijeme definici úhlu in n-rozměrný prostor:

Tato vlastnost křížového produktu udává jeho velikost takto:

Prostřednictvím základní trigonometrické identity Pythagora získáváme jinou formu zápisu jeho hodnoty:

Alternativním přístupem k definování křížového produktu je použití výrazu pro jeho velikost. Poté, uvažováním v opačném pořadí, získáme spojení se skalárním součinem:

viz také

Poznámky

Téma historie: Pythagorova věta v babylonské matematice
( , str. 351) str. 351
( , svazek I, str. 144)
Diskuse o historických faktech je uvedena v (, S. 351) S. 351
Kurt von Fritz (duben 1945). „Objev nesouměřitelnosti Hippasem z Metaponta“. The Annals of Mathematics, druhá řada(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, „Příběh s uzly“, M., Mir, 1985, str. 7
Asger Aaboe Epizody z rané historie matematiky. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
Návrh Pythonu od Elisha Scott Loomis
Euklidova Elementy: Kniha VI, Tvrzení VI 31: „V pravoúhlých trojúhelníkech se obrazec na straně svírající pravý úhel rovná podobným a podobně popsaným obrazcům na stranách obsahujících pravý úhel.”
Lawrence S. Leff citovaná práce. - Barronova vzdělávací řada. - S. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eves§4.8:...zobecnění Pythagorovy věty // Velké okamžiky v matematice (před rokem 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (celým jménem Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 n. l.) byl lékař žijící v Bagdádu, který rozsáhle psal o Euklidových prvcích a dalších matematických předmětech.
Aydin Sayili (březen 1960). "Zobecnění Pythagorovy věty Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Cvičení 2.10 (ii) // Citovaná práce. - S. 62. - ISBN 0821844032
Podrobnosti o takové konstrukci viz George Jennings Obrázek 1.32: Zobecněná Pythagorova věta // Moderní geometrie s aplikacemi: se 150 obrazci. - 3. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Položka C: Norma pro libovolné n-tuple ... // Úvod do analýzy . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Viz také strany 47–50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderní diferenciální geometrie křivek a ploch s Mathematica. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Maticová analýza. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking citovaná práce. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
Eric W. Weisstein CRC stručná encyklopedie matematiky. - 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472
Alexander R. Pruss

Instrukce

Pokud potřebujete vypočítat pomocí Pythagorovy věty, použijte následující algoritmus: - Určete v trojúhelníku, které strany jsou nohy a které jsou přepona. Dvě strany svírající úhel devadesát stupňů jsou nohy, zbývající třetí je přepona. (cm) - Zvedněte každou nohu tohoto trojúhelníku na druhou mocninu, to znamená vynásobte ji. Příklad 1. Předpokládejme, že potřebujeme vypočítat přeponu, jestliže jedna větev trojúhelníku je 12 cm a druhá 5 cm. Nejprve jsou čtverce větví stejné: 12 * 12 = 144 cm a 5 * 5 = 25 cm. Dále určete součet čtverců nohou. Určité číslo je přepona, musíte se zbavit druhé mocniny čísla, abyste našli délka tuto stranu trojúhelníku. Chcete-li to provést, extrahujte z druhé odmocniny hodnotu součtu čtverců nohou. Příklad 1. 144+25=169. Druhá odmocnina ze 169 je 13. Tedy délka tohoto přepona rovných 13 cm.

Další způsob výpočtu délky přepona spočívá v terminologii sinus a úhly v trojúhelníku. Podle definice: sinus úhlu alfa - opačná noha k přeponě. To znamená, že při pohledu na obrázek je sin a = CB / AB. Tedy přepona AB = CB / sin a. Příklad 2. Nechť je úhel 30 stupňů a protilehlá strana 4 cm Potřebujeme najít přeponu. Řešení: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm. Odpověď: délka přepona rovných 8 cm.

Podobný způsob hledání přepona z definice kosinu úhlu. Kosinus úhlu je poměr strany k němu přilehlé a přepona. To znamená, že cos a = AC/AB, tedy AB = AC/cos a. Příklad 3. V trojúhelníku ABC je AB přepona, úhel BAC je 60 stupňů, noha AC je 2 cm. Najděte AB.
Řešení: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odpověď: Přepona je dlouhá 4 cm.

Užitečná rada

Při hledání hodnoty sinus nebo kosinus úhlu použijte buď tabulku sinus a cosinus nebo Bradisovu tabulku.

Tip 2: Jak zjistit délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku

Přepona je nejdelší stranou pravoúhlého trojúhelníku, takže není divu, že se slovo překládá z řečtiny jako „natažený“. Tato strana vždy leží proti úhlu 90° a strany tvořící tento úhel se nazývají nohy. Když známe délky těchto stran a hodnoty ostrých úhlů v různých kombinacích těchto hodnot, můžeme vypočítat délku přepony.

Instrukce

Pokud jsou známy délky obou trojúhelníků (A a B), pak použijte délky přepony (C), snad nejznámějšího matematického postulátu – Pythagorovy věty. Uvádí, že druhá mocnina délky přepony je součtem druhých mocnin délek nohou, z čehož vyplývá, že byste měli vypočítat odmocninu ze součtu druhých mocnin délek dvou stran: C = √ ( A² + B²). Pokud je například délka jedné nohy 15 a -10 centimetrů, pak bude délka přepony přibližně 18,0277564 centimetrů, protože √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Pokud je známa délka pouze jedné z větví (A) v pravoúhlém trojúhelníku a také hodnota úhlu proti ní (α), pak lze délku přepony (C) použít pomocí jedné z trigonometrických funkce - sinus. Chcete-li to provést, vydělte délku známé strany sinem známého úhlu: C=A/sin(α). Pokud je například délka jedné z nohou 15 centimetrů a úhel na opačném vrcholu trojúhelníku je 30°, bude délka přepony rovna 30 centimetrům, protože 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Pokud je v pravoúhlém trojúhelníku známa velikost jednoho z ostrých úhlů (α) a délka přilehlého ramene (B), pak pro výpočet délky přepony (C) můžete použít jinou goniometrickou funkci - kosinus. Měli byste vydělit délku známé nohy kosinusem známého úhlu: C=B/ cos(α). Pokud je například délka této nohy 15 centimetrů a ostrý úhel k ní přiléhající je 30°, bude délka přepony přibližně 17,3205081 centimetrů, protože 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Délka se obvykle používá k označení vzdálenosti mezi dvěma body na úsečce. Může to být přímá, přerušovaná nebo uzavřená čára. Délku můžete vypočítat poměrně jednoduše, pokud znáte některé další ukazatele segmentu.

Instrukce

Pokud potřebujete zjistit délku strany čtverce, pak to nebude , pokud znáte jeho plochu S. Vzhledem k tomu, že všechny strany čtverce mají

MĚŘENÍ PLOCHY GEOMETRICKÝCH OBRAZŮ.

§ 58. PYTHAGOREJSKÁ VĚTA 1.

__________
1 Pythagoras je řecký vědec, který žil asi před 2500 lety (564-473 př.nl).
_________

Dostaneme pravoúhlý trojúhelník, jehož strany A, b A S(kresba 267).

Po jeho stranách postavíme čtverce. Plochy těchto čtverců jsou v tomto pořadí stejné A 2 , b 2 a S 2. Pojďme to dokázat S 2 = a 2 +b 2 .

Sestrojme dva čtverce MKOR a M"K"O"R" (výkresy 268, 269), přičemž za stranu každého z nich vezmeme úsečku rovnající se součtu ramen pravoúhlého trojúhelníku ABC.

Po dokončení konstrukcí znázorněných na obrázcích 268 a 269 v těchto čtvercích uvidíme, že čtverec MCOR je rozdělen na dva čtverce s plochami A 2 a b 2 a čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky, z nichž každý se rovná pravoúhlému trojúhelníku ABC. Čtverec M"K"O"R" byl rozdělen na čtyřúhelník (na obrázku 269 je vystínován) a čtyři pravoúhlé trojúhelníky, z nichž každý je roven trojúhelníku ABC. Stínovaný čtyřúhelník je čtverec, protože jeho strany jsou stejné (každá je rovna přeponě trojúhelníku ABC, tj. S) a úhly jsou správné / 1 + / 2 = 90°, odkud / 3 = 90°).

Součet ploch čtverců postavených na nohách (na obrázku 268 jsou tyto čtverce stínované) se tedy rovná ploše čtverce MCOR bez součtu ploch čtyř stejných trojúhelníků a ploše čtverec postavený na přeponě (na obrázku 269 je tento čtverec také stínovaný) se rovná ploše čtverce M"K"O"R", rovná se čtverci MCOR, bez součtu ploch čtyři podobné trojúhelníky. Proto se plocha čtverce postaveného na přeponě pravoúhlého trojúhelníku rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách.

Dostáváme vzorec S 2 = a 2 +b 2 kde S- přepona, A A b- nohy pravoúhlého trojúhelníku.

Pythagorova věta je obvykle stručně formulována takto:

Druhá mocnina přepony pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců nohou.

Ze vzorce S 2 = a 2 +b 2 můžete získat následující vzorce:

A 2 = S 2 - b 2 ;
b 2 = S 2 - A 2 .

Tyto vzorce lze použít k nalezení neznámé strany pravoúhlého trojúhelníku z jeho dvou daných stran.
Například:

a) pokud jsou nohy dané A= 4 cm, b=3 cm, pak můžete najít přeponu ( S):
S 2 = a 2 +b 2, tzn. S 2 = 42 + 32; s 2 = 25, odkud S= √25 = 5 (cm);

b) je-li dána přepona S= 17 cm a noha A= 8 cm, pak můžete najít jinou nohu ( b):

b 2 = S 2 - A 2, tzn. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odkud b= √225 = 15 (cm).

Následek: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky ABC a A mají 1 B 1 C 1 přeponu S A S 1 se rovnají a noha b trojúhelník ABC je delší než noha b 1 trojúhelník A 1 B 1 C 1,
pak nohu A trojúhelník ABC je menší než noha A 1 trojúhelník A 1 B 1 C 1. (Udělejte nákres znázorňující tento důsledek.)

Ve skutečnosti na základě Pythagorovy věty dostáváme:

A 2 = S 2 - b 2 ,
A 1 2 = S 1 2 - b 1 2

V psaných vzorcích jsou minuendy stejné a subtrahend v prvním vzorci je větší než subtrahend ve druhém vzorci, proto je první rozdíl menší než druhý,
tj. A 2 < A 12. Kde A< A 1 .

Cvičení.

1. Pomocí výkresu 270 dokažte Pythagorovu větu pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.

2. Jedna větev pravoúhlého trojúhelníku má 12 cm, druhá 5 cm Vypočítejte délku přepony tohoto trojúhelníku.

3. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 10 cm, jedna větev má 8 cm.Vypočítejte délku druhé větve tohoto trojúhelníku.

4. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 37 cm, jedna jeho větev má 35 cm.Vypočítejte délku druhé větve tohoto trojúhelníku.

5. Sestrojte čtverec o ploše dvakrát větší než je daná.

6. Sestrojte čtverec o ploše poloviční než má daný. Poznámka. Nakreslete úhlopříčky do tohoto čtverce. Čtverce sestrojené na polovině těchto úhlopříček budou ty, které hledáme.

7. Nohy pravoúhlého trojúhelníku jsou 12 cm a 15 cm Vypočítejte délku přepony tohoto trojúhelníku s přesností na 0,1 cm.

8. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 20 cm, jedna jeho větev je 15 cm.Vypočítejte délku druhé větve s přesností na 0,1 cm.

9. Jak dlouhý musí být žebřík, aby jej bylo možné připevnit k oknu umístěnému ve výšce 6 m, pokud spodní konec žebříku musí být 2,5 m od budovy? (Graf 271.)