Jak řešit kvadratické rovnice. Kvadratická rovnice

Je známo, že se jedná o konkrétní verzi rovnosti ax 2 + bx + c = o, kde a, b a c jsou reálné koeficienty pro neznámé x a kde a ≠ o, a b a c budou nuly - současně popř. odděleně. Například c = o, b ≠ o nebo naopak. Téměř jsme si vzpomněli na definici kvadratické rovnice.

Trojčlen druhého stupně je nula. Jeho první koeficient a ≠ o, b a c může nabývat libovolných hodnot. Hodnota proměnné x pak bude, když ji substituce změní ve správnou číselnou rovnost. Zaměřme se na reálné kořeny, i když rovnice mohou být také řešením.Je zvykem nazývat rovnici úplnou, ve které žádný z koeficientů není roven o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Řešíme příklad. 2x 2 -9x-5 = oh, najdeme
D = 81+40 = 121,
D je kladné, což znamená, že existují odmocniny, x 1 = (9+√121):4 = 5 a druhé x 2 = (9-√121):4 = -o,5. Kontrola pomůže ujistit se, že jsou správné.

Zde je krok za krokem řešení kvadratické rovnice

Pomocí diskriminantu můžete vyřešit jakoukoli rovnici, na jejíž levé straně je známý kvadratický trinom pro a ≠ o. V našem příkladu. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Uvažujme, jaké jsou neúplné rovnice druhého stupně

ax 2 +in = o. Volný člen, koeficient c v x 0, je zde roven nule, v ≠ o.
Jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici tohoto typu? Vyjmeme x ze závorek. Vzpomeňme, kdy je součin dvou faktorů roven nule.
x(ax+b) = o, může to být, když x = o nebo když ax+b = o.
Po vyřešení 2. máme x = -в/а.
Ve výsledku máme kořeny x 1 = 0, podle výpočtů x 2 = -b/a.
Nyní je koeficient x roven o a c se nerovná (≠) o.
x 2 + c = o. Přesuneme c na pravou stranu rovnosti, dostaneme x 2 = -с. Tato rovnice má reálné kořeny pouze tehdy, když -c je kladné číslo (c ‹ o),
x 1 se pak rovná √(-c), respektive x 2 je -√(-c). Jinak rovnice nemá kořeny vůbec.
Poslední možnost: b = c = o, tedy ax 2 = o. Taková jednoduchá rovnice má přirozeně jeden kořen, x = o.

Speciální případy

Podívali jsme se na to, jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici, a nyní si vezměme libovolné typy.

V úplné kvadratické rovnici je druhý koeficient x sudé číslo.
Nechť k = o,5b. Máme vzorce pro výpočet diskriminantu a kořenů.
D/4 = k 2 - ac, kořeny se vypočítají jako x 1,2 = (-k±√(D/4))/a pro D › o.
x = -k/a při D = o.
Pro D ‹ o neexistují žádné kořeny.
Jsou dány kvadratické rovnice, kdy je koeficient x na druhou roven 1, obvykle se zapisují x 2 + рх + q = o. Platí pro ně všechny výše uvedené vzorce, ale výpočty jsou poněkud jednodušší.
Příklad, x 2 -4x-9 = 0. Vypočítejte D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Navíc je snadné aplikovat na ty dané. Říká, že součet kořenů rovnice je roven -p, druhý koeficient s mínusem (což znamená opačné znaménko) a součin těchto stejných kořenů bude se rovná q, volnému členu. Podívejte se, jak snadné by bylo slovně určit kořeny této rovnice. Pro neredukované koeficienty (pro všechny koeficienty nerovnající se nule) platí tato věta následovně: součet x 1 + x 2 je roven -b/a, součin x 1 · x 2 je roven c/a.

Součet volného členu c a prvního koeficientu a je roven koeficientu b. V této situaci má rovnice alespoň jeden kořen (snadno dokázat), první se nutně rovná -1 a druhý -c/a, pokud existuje. Můžete si sami ověřit, jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici. Snadné jako koláč. Koeficienty mohou být v určitých vzájemných vztazích

x 2 + x = o, 7 x 2-7 = o.
Součet všech koeficientů je roven o.
Kořeny takové rovnice jsou 1 a c/a. Příklad, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Existuje řada dalších způsobů, jak řešit různé rovnice druhého stupně. Zde je například metoda pro extrakci úplného čtverce z daného polynomu. Existuje několik grafických metod. Když se často zabýváte takovými příklady, naučíte se je „klikat“ jako semínka, protože všechny metody vás napadnou automaticky.

Toto téma se může na první pohled zdát složité kvůli mnoha nepříliš jednoduchým vzorcům. Nejen, že samotné kvadratické rovnice mají dlouhé zápisy, ale kořeny se také nacházejí prostřednictvím diskriminantu. Celkem se získají tři nové vzorce. Není moc snadné si zapamatovat. To je možné pouze po častém řešení takových rovnic. Pak si všechny vzorce budou samy pamatovat.

Obecný pohled na kvadratickou rovnici

Zde navrhujeme jejich explicitní záznam, kdy se nejprve zapíše největší stupeň a poté v sestupném pořadí. Často dochází k situacím, kdy jsou podmínky nekonzistentní. Pak je lepší rovnici přepsat v sestupném pořadí podle stupně proměnné.

Představme si nějaký zápis. Jsou uvedeny v tabulce níže.

Pokud přijmeme tyto zápisy, všechny kvadratické rovnice se zredukují na následující zápis.

Navíc koeficient a ≠ 0. Nechť je tento vzorec označen číslem jedna.

Když je dána rovnice, není jasné, kolik kořenů bude v odpovědi. Protože vždy je možná jedna ze tří možností:

řešení bude mít dva kořeny;
odpověď bude jedno číslo;
rovnice nebude mít vůbec žádné kořeny.

A dokud není rozhodnutí dokončeno, je obtížné pochopit, která možnost se objeví v konkrétním případě.

Typy záznamů kvadratických rovnic

V úkolech mohou být různé položky. Ne vždy budou vypadat jako obecný vzorec kvadratické rovnice. Někdy v něm budou některé termíny chybět. To, co bylo napsáno výše, je úplná rovnice. Pokud v něm odstraníte druhý nebo třetí termín, získáte něco jiného. Tyto záznamy se také nazývají kvadratické rovnice, pouze neúplné.

Navíc mohou zmizet pouze členy s koeficienty „b“ a „c“. Číslo "a" se za žádných okolností nemůže rovnat nule. Protože v tomto případě se vzorec změní na lineární rovnici. Vzorce pro neúplný tvar rovnic budou následující:

Existují tedy pouze dva typy, kromě úplných existují také neúplné kvadratické rovnice. Nechť je první vzorec číslo dvě a druhý - tři.

Diskriminant a závislost počtu kořenů na jeho hodnotě

Toto číslo potřebujete znát, abyste mohli vypočítat kořeny rovnice. Vždy se dá vypočítat, bez ohledu na to, jaký je vzorec kvadratické rovnice. Abyste mohli vypočítat diskriminant, musíte použít níže napsanou rovnost, která bude mít číslo čtyři.

Po dosazení hodnot koeficientů do tohoto vzorce můžete získat čísla s různými znaménky. Pokud je odpověď ano, pak odpovědí na rovnici budou dva různé kořeny. Pokud je číslo záporné, nebudou zde žádné kořeny kvadratické rovnice. Pokud se rovná nule, bude pouze jedna odpověď.

Jak vyřešit úplnou kvadratickou rovnici?

Ve skutečnosti se o této otázce již začalo uvažovat. Protože nejprve musíte najít diskriminant. Poté, co se zjistí, že existují kořeny kvadratické rovnice a jejich počet je znám, musíte pro proměnné použít vzorce. Pokud existují dva kořeny, musíte použít následující vzorec.

Protože obsahuje znaménko „±“, budou zde dvě hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Proto lze vzorec přepsat jinak.

Formule číslo pět. Ze stejného záznamu je zřejmé, že pokud je diskriminant roven nule, pak oba kořeny budou mít stejné hodnoty.

Pokud řešení kvadratických rovnic ještě nebylo vypracováno, je lepší zapsat hodnoty všech koeficientů před použitím diskriminačních a proměnných vzorců. Později tento okamžik nezpůsobí potíže. Hned na začátku je ale zmatek.

Jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici?

Všechno je zde mnohem jednodušší. Nejsou ani potřeba další vzorce. A ty, které již byly sepsány pro diskriminující a neznámé, nebudou potřeba.

Nejprve se podívejme na neúplnou rovnici číslo dvě. V této rovnosti je nutné neznámou veličinu vyjmout ze závorek a vyřešit lineární rovnici, která v závorce zůstane. Odpověď bude mít dva kořeny. První se nutně rovná nule, protože existuje multiplikátor sestávající ze samotné proměnné. Druhý získáme řešením lineární rovnice.

Neúplná rovnice číslo tři se řeší posunutím čísla z levé strany rovnosti doprava. Pak musíte vydělit koeficientem čelí neznámému. Zbývá jen vyjmout druhou odmocninu a nezapomenout ji zapsat dvakrát s opačnými znaménky.

Níže jsou uvedeny některé kroky, které vám pomohou naučit se řešit všechny druhy rovnosti, které se mění na kvadratické rovnice. Pomohou žákovi vyvarovat se chyb z nepozornosti. Tyto nedostatky mohou způsobit špatné známky při studiu rozsáhlého tématu „Kvadratické rovnice (8. třída). Následně nebude nutné tyto akce provádět neustále. Protože se objeví stabilní dovednost.

Nejprve musíte napsat rovnici ve standardním tvaru. To znamená, že nejprve výraz s největším stupněm proměnné a poté - bez stupně a jako poslední - pouze číslo.

Objeví-li se před koeficientem „a“ mínus, může to začátečníkovi při studiu kvadratických rovnic zkomplikovat práci. Je lepší se toho zbavit. Za tímto účelem musí být veškerá rovnost vynásobena „-1“. To znamená, že všechny výrazy změní znaménko na opačné.

Stejným způsobem se doporučuje zbavit se zlomků. Jednoduše vynásobte rovnici příslušným faktorem tak, aby se jmenovatelé vyrovnali.

Příklady

Je potřeba vyřešit následující kvadratické rovnice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

První rovnice: x 2 − 7x = 0. Je neúplná, proto se řeší tak, jak je popsáno u vzorce číslo dvě.

Po vyjmutí ze závorek se ukáže: x (x - 7) = 0.

První odmocnina má hodnotu: x 1 = 0. Druhý zjistíme z lineární rovnice: x - 7 = 0. Je snadné vidět, že x 2 = 7.

Druhá rovnice: 5x 2 + 30 = 0. Opět neúplné. Pouze se řeší tak, jak je popsáno u třetího vzorce.

Po přesunutí 30 na pravou stranu rovnice: 5x 2 = 30. Nyní je potřeba vydělit 5. Ukáže se: x 2 = 6. Odpovědi budou čísla: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Třetí rovnice: 15 − 2x − x 2 = 0. Dále začneme řešení kvadratických rovnic jejich přepsáním do standardního tvaru: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nyní je čas použít druhý užitečný tip a vše vynásobit mínus jedna. Ukazuje se x 2 + 2x - 15 = 0. Pomocí čtvrtého vzorce je třeba vypočítat diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Je to kladné číslo. Z výše uvedeného vyplývá, že rovnice má dva kořeny. Je třeba je vypočítat pomocí pátého vzorce. Ukazuje se, že x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 = 3, x 2 = - 5.

Čtvrtá rovnice x 2 + 8 + 3x = 0 se transformuje na tuto: x 2 + 3x + 8 = 0. Její diskriminant je roven této hodnotě: -23. Protože toto číslo je záporné, odpověď na tento úkol bude následující: „Neexistují žádné kořeny“.

Pátá rovnice 12x + x 2 + 36 = 0 by měla být přepsána následovně: x 2 + 12x + 36 = 0. Po aplikaci vzorce pro diskriminant dostaneme číslo nula. To znamená, že bude mít jeden kořen, a to: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šestá rovnice (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vyžaduje transformace, které spočívají v tom, že musíte přinést podobné členy a nejprve otevřít závorky. Na místě prvního bude následující výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti se objeví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po sčítání podobných členů bude mít rovnice tvar: x 2 - x = 0. Stalo se neúplným. O něčem podobném již byla řeč o něco výše. Kořeny toho budou čísla 0 a 1.

Kvadratické rovnice. Obecná informace.

V kvadratická rovnice musí tam být x na druhou (proto se to nazývá

"náměstí") Kromě toho rovnice může (nebo nemusí!) obsahovat jednoduše X (na první mocninu) a

jen číslo (volný člen). A nemělo by existovat žádné X s mocninou větší než dvě.

Algebraická rovnice obecného tvaru.

Kde X- volná proměnná, A, b, C— koeficienty a A≠0 .

Například:

Výraz volal kvadratický trinom.

Prvky kvadratické rovnice mají svá vlastní jména:

nazývá se první nebo nejvyšší koeficient,

· nazývá se druhý nebo koeficient v ,

· nazýván volným členem.

Kompletní kvadratická rovnice.

Tyto kvadratické rovnice mají na levé straně úplnou sadu členů. X na druhou c

součinitel A, x na první mocninu s koeficientem b A volný, uvolnit členS. V všechny koeficienty

se musí lišit od nuly.

Neúplný je kvadratická rovnice, ve které alespoň jeden z koeficientů, kromě

přední člen (buď druhý koeficient nebo volný člen) je roven nule.

Pojďme to předstírat b= 0, - X na první mocninu zmizí. Ukazuje se například:

2x 2-6x=0,

A tak dále. A pokud oba koeficienty b A C jsou rovny nule, pak je vše ještě jednodušší, Například:

2x 2 = 0,

Všimněte si, že x na druhou se objevuje ve všech rovnicích.

Proč A nemůže se rovnat nule? Potom x na druhou zmizí a rovnice se stane lineární .

A řešení je úplně jiné...

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 nebo x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Poté, co jste se naučili řešit rovnice prvního stupně, chcete samozřejmě pracovat s ostatními, zejména s rovnicemi druhého stupně, které se jinak nazývají kvadratické.

Kvadratické rovnice jsou rovnice jako ax² + bx + c = 0, kde proměnná je x, čísla jsou a, b, c, kde a se nerovná nule.

Pokud je v kvadratické rovnici jeden nebo druhý koeficient (c nebo b) roven nule, pak bude tato rovnice klasifikována jako neúplná kvadratická rovnice.

Jak řešit neúplnou kvadratickou rovnici, když studenti dosud uměli řešit pouze rovnice prvního stupně? Uvažujme neúplné kvadratické rovnice různých typů a jednoduché způsoby jejich řešení.

a) Pokud je koeficient c roven 0 a koeficient b se nerovná nule, pak ax ² + bx + 0 = 0 je redukován na rovnici ve tvaru ax ² + bx = 0.

K vyřešení takové rovnice je potřeba znát vzorec pro řešení neúplné kvadratické rovnice, který spočívá v faktorizaci její levé strany a později použití podmínky, že součin je roven nule.

Například 5x² – 20x = 0. Levou stranu rovnice vynásobíme a přitom provedeme obvyklou matematickou operaci: vyjmeme společný faktor ze závorek

5x (x - 4) = 0

Použijeme podmínku, že součiny se rovnají nule.

5 x = 0 nebo x - 4 = 0

Odpověď bude: první kořen je 0; druhý kořen je 4.

b) Jestliže b = 0 a volný člen není roven nule, pak rovnice ax ² + 0x + c = 0 je redukována na rovnici ve tvaru ax ² + c = 0. Rovnice se řeší dvěma způsoby : a) rozkladem polynomu rovnice na levé straně; b) pomocí vlastností aritmetické odmocniny. Takovou rovnici lze vyřešit některou z metod, například:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpověď bude: první odmocnina je 5/2; druhý kořen se rovná - 5/2.

c) Je-li b rovno 0 a c rovno 0, pak ax ² + 0 + 0 = 0 je redukováno na rovnici ve tvaru ax ² = 0. V takové rovnici bude x rovno 0.

Jak vidíte, neúplné kvadratické rovnice nemohou mít více než dva kořeny.

Z tohoto článku se dozvíte:

v čem to je vzhled rovnice určují, zda tato rovnice bude neúplný kvadratická rovnice? Ale jako vyřešit neúplné kvadratické rovnice?

Jak poznat zrakem neúplnou kvadratickou rovnici

Vlevo, odjetčást rovnice Tady je kvadratický trinom, A že jo - číslo. Takové rovnice se nazývají plný kvadratické rovnice.

U plný kvadratická rovnice Všechno šance, A ne rovné. K jejich řešení existují speciální vzorce, se kterými se seznámíme později.

Většina jednoduchý pro řešení jsou neúplný kvadratické rovnice. Jedná se o kvadratické rovnice, ve kterých některé koeficienty jsou nulové.

Koeficient podle definice nemůže být nula, protože jinak rovnice nebude kvadratická. Mluvili jsme o tom. To znamená, že se to ukazuje mohou jít na nulu pouzešance nebo.

V závislosti na tom existuje tři typy neúplných kvadratické rovnice.

1) , Kde ;
2) , Kde ;
3) , Kde .

Pokud tedy vidíme kvadratickou rovnici, na jejíž levé straně místo tří členů současnost, dárek dvě péro nebo jeden člen, pak bude rovnice neúplný kvadratická rovnice.

Definice neúplné kvadratické rovnice

Neúplná kvadratická rovniceŘíká se tomu kvadratická rovnice , ve kterém alespoň jeden z koeficientů nebo rovna nule.

Tato definice má mnoho Důležité fráze " aspoň jeden z koeficientů... rovna nule". Znamená to, že jeden nebo více koeficienty mohou být stejné nula.

Na základě toho je to možné tři možnosti: nebo jeden koeficient je nulový, popř další koeficient je nulový, popř oba koeficienty jsou současně rovny nule. Takto získáme tři typy neúplných kvadratických rovnic.

Neúplný Kvadratické rovnice jsou následující rovnice:
1)
2)
3)

Řešení rovnice

Pojďme nastínit plán řešení tato rovnice. Vlevo, odjetčást rovnice může být snadno faktorizovat, protože na levé straně rovnice mají členy společný násobitel, lze jej vyjmout z držáku. Pak na levé straně získáte součin dvou faktorů a napravo - nulu.

A pak bude fungovat pravidlo „součin je roven nule tehdy a jen tehdy, když se alespoň jeden z faktorů rovná nule a druhý dává smysl“. Vše je velmi jednoduché!

Tak, plán řešení.
1) Levou stranu započítáváme do faktorů.
2) Používáme pravidlo „součin se rovná nule...“

Říkám rovnicím tohoto typu "dar osudu". To jsou rovnice, pro které pravá strana je nula, A vlevo, odjetčást lze rozšířit násobiteli.

Řešení rovnice podle plánu.

1) Pojďme se rozložit levá strana rovnice násobiteli, k tomu vyjmeme společný faktor, dostaneme následující rovnici .

2) V rov. to vidíme vlevo, odjet náklady práce, A nula vpravo. Nemovitý dar osudu! Zde samozřejmě použijeme pravidlo „součin je roven nule tehdy a jen tehdy, když je alespoň jeden z faktorů roven nule a druhý dává smysl“. Při překladu tohoto pravidla do jazyka matematiky dostaneme dva rovnice nebo .

Vidíme tu rovnici rozpadl se po dvou jednodušší rovnice, z nichž první již byla vyřešena ().

Pojďme vyřešit to druhé rovnice. Posuňme neznámé pojmy doleva a známé doprava. Neznámý člen je již vlevo, necháme ho tam. A známý výraz posuneme doprava s opačným znaménkem. Dostáváme rovnici.

Našli jsme to, ale musíme to najít. Abyste se tohoto faktoru zbavili, musíte obě strany rovnice vydělit.