Jak vypočítat druhou odmocninu z čísla. Extrahování druhé odmocniny z víceciferného čísla

Je čas to urovnat metody extrakce kořenů. Jsou založeny na vlastnostech kořenů, zejména na rovnosti, která platí pro každé nezáporné číslo b.

Níže se podíváme na hlavní metody extrakce kořenů jeden po druhém.

Začněme tím nejjednodušším případem – extrahováním odmocnin z přirozených čísel pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

Pokud tabulky čtverců, kostek atd. Pokud ho nemáte po ruce, je logické použít metodu extrahování kořene, která zahrnuje rozklad radikálního čísla na prvočinitele.

Za zvláštní zmínku stojí, co je možné pro kořeny s lichými exponenty.

Nakonec se podívejme na metodu, která nám umožňuje postupně najít číslice kořenové hodnoty.

Začněme.

Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

V nejjednodušších případech vám tabulky čtverců, kostek atd. umožňují extrahovat kořeny. Co jsou to za tabulky?

Tabulka druhých mocnin celých čísel od 0 do 99 včetně (zobrazená níže) se skládá ze dvou zón. První zóna tabulky je umístěna na šedém pozadí, výběrem konkrétního řádku a konkrétního sloupce umožňuje sestavit číslo od 0 do 99. Vyberme například řádek 8 desítek a sloupec 3 jednotek, čímž jsme opravili číslo 83. Druhá zóna zabírá zbytek tabulky. Každá buňka se nachází na průsečíku určitého řádku a určitého sloupce a obsahuje druhou mocninu odpovídajícího čísla od 0 do 99. Na průsečíku námi zvolené řady 8 desítek a sloupce 3 jedniček je buňka s číslem 6 889, což je druhá mocnina čísla 83.

Tabulky kostek, tabulky čtvrtých mocnin čísel od 0 do 99 a tak dále jsou podobné tabulce čtverců, jen obsahují kostky, čtvrté mocniny atd. ve druhé zóně. odpovídající čísla.

Tabulky čtverců, kostek, čtvrtých mocnin atd. umožňují extrahovat druhé odmocniny, krychlové odmocniny, čtvrté odmocniny atd. podle čísel v těchto tabulkách. Vysvětlíme si princip jejich použití při extrakci kořenů.

Řekněme, že potřebujeme extrahovat n-tou odmocninu čísla a, zatímco číslo a je obsaženo v tabulce n-tých mocnin. Pomocí této tabulky najdeme číslo b takové, že a=b n. Pak , proto číslo b bude požadovaným kořenem n-tého stupně.

Jako příklad si ukažme, jak pomocí tabulky krychlí extrahovat odmocninu z 19 683. V tabulce kostek najdeme číslo 19 683, z ní zjistíme, že toto číslo je kostkou čísla 27, tedy, .

Je jasné, že tabulky n-tých mocnin jsou pro extrakci odmocnin velmi vhodné. Často však nejsou po ruce a jejich sestavení vyžaduje určitý čas. Navíc je často nutné extrahovat odmocniny z čísel, která nejsou obsažena v odpovídajících tabulkách. V těchto případech se musíte uchýlit k jiným metodám extrakce kořenů.

Rozložení radikálního čísla na prvočinitele

Poměrně pohodlný způsob, jak extrahovat kořen přirozeného čísla (pokud je samozřejmě extrahován kořen), je rozložit radikálové číslo na prvočinitele. Jeho jde o to: poté je docela snadné jej reprezentovat jako mocninu s požadovaným exponentem, což vám umožní získat hodnotu odmocniny. Pojďme si tento bod ujasnit.

Nechť se vezme n-tá odmocnina přirozeného čísla a a jeho hodnota se rovná b. V tomto případě platí rovnost a=b n. Číslo b, jako každé přirozené číslo, může být reprezentováno jako součin všech jeho prvočinitelů p 1 , p 2 , …, p m ve tvaru p 1 ·p 2 ·…·p m a v tomto případě radikálového čísla a je reprezentováno jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Protože rozklad čísla na prvočinitele je jedinečný, bude mít rozklad radikálního čísla a na prvočinitele tvar (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, což umožňuje vypočítat hodnotu odmocniny. tak jako.

Všimněte si, že pokud rozklad radikálního čísla a na prvočinitele nemůže být reprezentován ve tvaru (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, pak n-tá odmocnina takového čísla a není úplně extrahována.

Pojďme na to při řešení příkladů.

Příklad.

Vezměte druhou odmocninu ze 144.

Řešení.

Pokud se podíváte na tabulku čtverců uvedenou v předchozím odstavci, můžete jasně vidět, že 144 = 12 2, z čehož je zřejmé, že druhá odmocnina ze 144 se rovná 12.

Ale ve světle tohoto bodu nás zajímá, jak se získává kořen rozkladem radikálního čísla 144 na prvočinitele. Podívejme se na toto řešení.

Pojďme se rozložit 144 k hlavním faktorům:

To znamená, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základě výsledného rozkladu lze provést následující transformace: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Proto, .

Pomocí vlastností stupně a vlastností kořenů by se řešení dalo formulovat trochu jinak: .

Odpovědět:

Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení dalších dvou příkladů.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu kořene.

Řešení.

Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . Tím pádem, .

Odpovědět:

Příklad.

Je kořenová hodnota celé číslo?

Řešení.

Abychom na tuto otázku odpověděli, rozložme radikální číslo na prvočinitele a uvidíme, zda je lze reprezentovat jako třetí mocninu celého čísla.

Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledný rozvoj nemůže být reprezentován jako krychle celého čísla, protože mocnina prvočinitele 7 není násobkem tří. Krychlovou odmocninu 285 768 proto nelze extrahovat úplně.

Odpovědět:

Ne.

Získávání odmocnin ze zlomkových čísel

Je čas přijít na to, jak extrahovat odmocninu zlomkového čísla. Nechť zlomkové radikálové číslo zapíšeme jako p/q. Podle vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost. Z této rovnosti vyplývá pravidlo pro extrakci kořene zlomku: Odmocnina zlomku se rovná podílu odmocniny čitatele děleného odmocninou jmenovatele.

Podívejme se na příklad extrahování kořene ze zlomku.

Příklad.

Jaká je druhá odmocnina běžného zlomku 25/169?

Řešení.

Pomocí tabulky druhých mocnin zjistíme, že druhá odmocnina v čitateli původního zlomku je rovna 5 a druhá odmocnina ve jmenovateli je rovna 13. Pak . Tím je těžba kořene běžné frakce 25/169 dokončena.

Odpovědět:

Odmocnina desetinného zlomku nebo smíšeného čísla se extrahuje po nahrazení radikálových čísel obyčejnými zlomky.

Příklad.

Vezměte třetí odmocninu desetinného zlomku 474,552.

Řešení.

Představme si původní desetinný zlomek jako obyčejný zlomek: 474,552=474552/1000. Pak . Zbývá extrahovat krychlové odmocniny, které jsou v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku. Protože 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, pak A . Zbývá jen dokončit výpočty .

Odpovědět:

.

Převzetí odmocniny ze záporného čísla

Vyplatí se pozastavit se u extrahování odmocnin ze záporných čísel. Když jsme studovali kořeny, řekli jsme, že když je kořenový exponent liché číslo, pak pod kořenovým znaménkem může být záporné číslo. Těmto položkám jsme dali následující význam: pro záporné číslo −a a lichý exponent odmocniny 2 n−1, . Tato rovnost dává pravidlo pro extrakci lichých kořenů ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte vzít odmocninu opačného kladného čísla a před výsledek umístit znaménko mínus.

Podívejme se na příklad řešení.

Příklad.

Najděte hodnotu kořene.

Řešení.

Transformujme původní výraz tak, aby pod znaménkem kořene bylo kladné číslo: . Nyní nahraďte smíšené číslo obyčejným zlomkem: . Aplikujeme pravidlo pro extrakci kořene obyčejného zlomku: . Zbývá vypočítat kořeny v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku: .

Zde je krátké shrnutí řešení: .

Odpovědět:

.

Bitové určení kořenové hodnoty

V obecném případě je pod odmocninou číslo, které při použití výše uvedených technik nemůže být reprezentováno jako n-tá mocnina žádného čísla. Ale v tomto případě je potřeba znát význam daného kořene, alespoň do určitého znaménka. V tomto případě můžete pro extrakci kořene použít algoritmus, který vám umožní postupně získat dostatečný počet číselných hodnot požadovaného čísla.

Prvním krokem tohoto algoritmu je zjistit, jaký je nejvýznamnější bit kořenové hodnoty. Za tímto účelem se čísla 0, 10, 100, ... postupně zvyšují na mocninu n až do okamžiku, kdy číslo překročí radikálové číslo. Potom číslo, které jsme v předchozí fázi zvýšili na mocninu n, bude označovat odpovídající nejvýznamnější číslici.

Zvažte například tento krok algoritmu při extrakci druhé odmocniny z pěti. Vezměte čísla 0, 10, 100, ... a odmocněte je, dokud nedostaneme číslo větší než 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, což znamená, že nejvýznamnější číslice budou číslice jedniček. Hodnotu tohoto bitu, stejně jako nižších, zjistíme v dalších krocích algoritmu pro extrakci kořene.

Všechny následující kroky algoritmu jsou zaměřeny na postupné objasnění hodnoty kořene nalezením hodnot dalších bitů požadované hodnoty kořene, počínaje nejvyšší a přesouvat se k nejnižším. Například hodnota kořene v prvním kroku se ukáže jako 2, ve druhém 2,2, ve třetím 2,23 a tak dále 2,236067977…. Popišme, jak se nacházejí hodnoty číslic.

Číslice se najdou vyhledáním jejich možných hodnot 0, 1, 2, ..., 9. V tomto případě se paralelně počítají n-té mocniny odpovídajících čísel a porovnávají se s radikálním číslem. Pokud v určité fázi hodnota stupně překročí radikálové číslo, pak se hodnota číslice odpovídající předchozí hodnotě považuje za nalezenou, a pokud se tak nestane, provede se přechod k dalšímu kroku algoritmu pro extrakci kořene; pak hodnota této číslice je 9.

Vysvětleme tyto body na stejném příkladu extrahování druhé odmocniny z pěti.

Nejprve zjistíme hodnotu číslice jednotky. Procházíme hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, s výpočtem 0 2, 1 2, ..., 9 2, dokud nedostaneme hodnotu větší než radikálové číslo 5. Všechny tyto výpočty je vhodné prezentovat ve formě tabulky:

Takže hodnota číslice jednotky je 2 (od 2 2<5 , а 2 3 >5). Přejděme k hledání hodnoty desetinového místa. V tomto případě odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 a porovnáme výsledné hodnoty s radikálním číslem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, pak hodnota desetin místa je 2. Můžete přistoupit ke zjištění hodnoty setin místa:

Takto byla nalezena další hodnota odmocniny z pěti, je rovna 2,23. A tak můžete pokračovat v hledání hodnot: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pro konsolidaci materiálu analyzujeme extrakci kořene s přesností na setiny pomocí uvažovaného algoritmu.

Nejprve určíme nejvýznamnější číslici. K tomu dáme krychli čísla 0, 10, 100 atd. dokud nedostaneme číslo větší než 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , takže nejvýznamnější číslice jsou desítky.

Pojďme určit jeho hodnotu.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, pak hodnota místa v desítkách je 1. Pojďme k jednotkám.

Hodnota jedniček je tedy 2. Přejdeme na desetiny.

Protože i 12,9 3 je méně než radikální číslo 2 151,186, je hodnota desetin místa 9. Zbývá provést poslední krok algoritmu, který nám dá hodnotu kořene s požadovanou přesností.

V této fázi se zjistí hodnota kořene s přesností na setiny: .

Na závěr tohoto článku bych chtěl říci, že existuje mnoho dalších způsobů, jak extrahovat kořeny. Ale pro většinu úkolů stačí ty, které jsme studovali výše.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další. Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).

Extrakce kořene je obrácená operace zvyšování síly. To znamená, že když vezmeme odmocninu z čísla X, dostaneme číslo, jehož druhá mocnina dá stejné číslo X.

Extrakce kořene je poměrně jednoduchá operace. Práci s odsáváním může usnadnit tabulka čtverců. Protože je nemožné si zapamatovat všechny druhé mocniny a odmocniny, ale čísla mohou být velká.

Extrahování kořene čísla

Vzít druhou odmocninu z čísla je snadné. Navíc to nelze provést okamžitě, ale postupně. Vezměme například výraz √256. Zpočátku je pro neznalého člověka těžké dát hned odpověď. Pak to uděláme krok za krokem. Nejprve vydělíme právě číslem 4, ze kterého vezmeme vybraný čtverec jako odmocninu.

Představme: √(64 4), pak bude ekvivalentní 2√64. A jak víte, podle násobilky 64 = 8 8. Odpověď bude 2*8=16.

Přihlaste se do kurzu „Zrychlete mentální aritmetiku, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce extrahovat odmocniny. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Extrakce komplexního kořene

Odmocninu nelze vypočítat ze záporných čísel, protože každé druhé číslo je kladné číslo!

Komplexní číslo je číslo i, jehož druhá mocnina se rovná -1. To znamená, že i2=-1.

V matematice existuje číslo, které se získá odmocněním čísla -1.

To znamená, že je možné vypočítat odmocninu ze záporného čísla, ale to už platí pro vyšší matematiku, nikoli školní matematiku.

Uvažujme příklad takové extrakce kořene: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online root kalkulačka

Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat extrakci čísla z druhé odmocniny:

Převod výrazů obsahujících kořenovou operaci

Podstatou transformace radikálních výrazů je rozklad radikálního čísla na jednodušší, z nichž lze extrahovat kořen. Například 4, 9, 25 a tak dále.

Uveďme příklad, √625. Vydělme radikální výraz číslem 5. Dostaneme √(125 5), opakujte operaci √ (25 25), ale víme, že 25 je 52. Což znamená, že odpověď bude 5*5=25.

Jsou ale čísla, u kterých nelze pomocí této metody vypočítat odmocninu a stačí znát odpověď nebo mít po ruce tabulku čtverců.

√289=√(17*17)=17

Sečteno a podtrženo

Podívali jsme se pouze na špičku ledovce, abychom lépe rozuměli matematice – přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlení mentální aritmetiky – NE mentální aritmetiky.

Z kurzu se nejen naučíte desítky technik pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení a počítání procent, ale také si je procvičíte ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální aritmetika také vyžaduje hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují při řešení zajímavých problémů.

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Studenti se vždy ptají: „Proč nemohu u zkoušky z matematiky použít kalkulačku? Jak extrahovat druhou odmocninu čísla bez kalkulačky? Pokusme se na tuto otázku odpovědět.

Jak extrahovat druhou odmocninu z čísla bez pomoci kalkulačky?

Akce odmocnina inverzní k akci kvadratury.

√81= 9 9 2 =81

Pokud vezmete druhou odmocninu kladného čísla a výsledek odmocníte, dostanete stejné číslo.

Z malých čísel, která jsou přesnými druhými mocninami přirozených čísel, například 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, lze odmocniny získat ústně. Obvykle se ve škole učí tabulku druhých mocnin přirozených čísel do dvaceti. Se znalostí této tabulky je snadné extrahovat odmocniny z čísel 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel větších než 400 je můžete extrahovat pomocí metody výběru pomocí několika tipů. Zkusme se na tuto metodu podívat na příkladu.

Příklad: Vytáhněte odmocninu čísla 676.

Všimli jsme si, že 20 2 = 400 a 30 2 = 900, což znamená 20< √676 < 900.

Přesné druhé mocniny přirozených čísel končí nulou; 1; 4; 5; 6; 9.
Číslo 6 je dáno 4 2 a 6 2.
To znamená, že pokud je odmocnina převzata z 676, pak je buď 24, nebo 26.

Zbývá zkontrolovat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odpovědět: √676 = 26 .

Více příklad: √6889 .

Protože 80 2 = 6400 a 90 2 = 8100, pak 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dáno 3 2 a 7 2, pak √6889 se rovná buď 83 nebo 87.

Zkontrolujeme: 83 2 = 6889.

Odpovědět: √6889 = 83 .

Pokud je pro vás obtížné vyřešit pomocí metody výběru, můžete zohlednit radikální výraz.

Například, najít √893025.

Vypočítejme číslo 893025, pamatujte, že jste to dělali v šesté třídě.

Dostaneme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Více příklad: √20736. Vyložme číslo 20736:

Dostaneme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktorizace samozřejmě vyžaduje znalost znamének dělitelnosti a schopnosti faktorizace.

A konečně existuje pravidlo pro extrakci odmocnin. Pojďme se s tímto pravidlem seznámit na příkladech.

Vypočítejte √279841.

Abychom extrahovali odmocninu vícemístného celého čísla, rozdělíme jej zprava doleva na plochy obsahující 2 číslice (levá hrana může obsahovat jednu číslici). Píšeme to takto: 27'98'41

Abychom získali první číslici odmocniny (5), vezmeme druhou odmocninu největšího dokonalého čtverce obsaženého v první ploše vlevo (27).
Potom se druhá mocnina první číslice odmocniny (25) odečte od první plochy a další plocha (98) se přičte k rozdílu (odečte).
Nalevo od výsledného čísla 298 zapište dvojcifernou odmocninu (10), vydělte jím počet všech desítek dříve získaného čísla (29/2 ≈ 2), otestujte podíl (102 ∙ 2 = 204 by nemělo být větší než 298) a za první číslici kořene napište (2).
Potom se výsledný podíl 204 odečte od 298 a další hrana (41) se přičte k rozdílu (94).
Vlevo od výsledného čísla 9441 zapište dvojitý součin číslic odmocniny (52 ∙2 = 104), vydělte tímto součinem počet všech desítek čísla 9441 (944/104 ≈ 9), otestujte podíl (1049 ∙9 = 9441) by měl být 9441 a zapsat jej (9) za druhou číslici odmocniny.

Obdrželi jsme odpověď √279841 = 529.

Extrahujte podobně kořeny desetinných zlomků. Pouze radikální číslo musí být rozděleno na tváře tak, aby čárka byla mezi tvářemi.

Příklad. Najděte hodnotu √0,00956484.

Pamatujte, že pokud má desetinný zlomek lichý počet desetinných míst, nelze z něj vzít odmocninu.

Takže teď jste viděli tři způsoby, jak extrahovat kořen. Vyberte si ten, který vám nejlépe vyhovuje a cvičte. Abyste se naučili řešit problémy, musíte je řešit. A pokud máte nějaké dotazy, .

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.