Generátor kostek - online kostky. Historie kostek

Kostky byly používány lidmi po tisíce let.

V 21. století nové technologie umožňují házet kostkou v jakoukoli vhodnou dobu, a pokud máte přístup k internetu, na vhodném místě. Kostka je vždy s vámi doma nebo na cestách.

Generátor kostek vám umožňuje házet online 1 až 4 kostkami.

Poctivě házejte kostkou online

Při použití skutečných kostek lze použít trik nebo speciálně vyrobené kostky s výhodou na jedné straně. Můžete například otočit krychli podél jedné z os a pak se rozložení pravděpodobnosti změní. Zvláštností našich virtuálních kostek je použití softwarového generátoru pseudonáhodných čísel. To nám umožňuje zajistit skutečně náhodný výskyt toho či onoho výsledku.

A pokud si tuto stránku uložíte do záložek, pak se vaše online kostky nikde neztratí a budou vždy po ruce ve správný čas!

Někteří lidé se přizpůsobili používání online kostek pro věštění nebo vytváření předpovědí a horoskopů.

Mějte se hezky, mějte se krásně a hodně štěstí!

Nejběžnější typ je ve tvaru krychle s čísly od jedné do šesti na každé straně. Hráč, který jej hodí na rovný povrch, vidí výsledek na horním okraji. Kosti jsou skutečnou hlásnou troubou náhody, štěstí nebo smůly.

Nehoda.
Kostky (kosti) existovaly odedávna, ale tradiční podobu se šesti stranami získaly kolem roku 2600 před naším letopočtem. E. Staří Řekové rádi hráli v kostky a v jejich legendách je jako jejich vynálezce uváděn hrdina Palamedes, nespravedlivě obviněný Odysseem ze zrady. Podle legendy tuto hru vymyslel, aby pobavil vojáky, kteří obléhali Tróju, která byla dobyta díky obrovskému dřevěnému koni. Římané za časů Julia Caesara se také bavili různými hrami v kostky. V latině se krychle nazývala datum, což znamená „dáno“.

Zákazy.
Ve středověku, kolem 12. století, se kostky staly v Evropě velmi populární: kostky, které si mohli vzít všude s sebou, si oblíbili vojáci i rolníci. Různých her prý bylo přes šest set! Výroba kostek se stává samostatnou profesí. Král Ludvík IX. (1214-1270), vracející se z křížové výpravy, neschvaloval hazard a nařídil výrobu kostek v celém království zakázat. Víc než hra samotná byly úřady nespokojené s nepokoji s tím spojenými – hrálo se pak hlavně v krčmách a hry často končily rvačkami a pobodáními. Žádné zákazy ale nebránily kostkám přežít čas a přežít dodnes.

Nabité kostky!
Výsledek hodu kostkou je vždy určen náhodou, ale někteří podvodníci se to snaží změnit. Vyvrtáním díry do matrice a nalitím olova nebo rtuti do ní můžete zajistit, že vrh dá pokaždé stejný výsledek. Taková kostka se nazývá „nabitá“. Vyrobeno z různých materiálů, ať už je to zlato, kámen, krystal, kost, kostky mohou mít různé tvary. Malé kostky ve tvaru pyramidy (čtyřstěnu) byly nalezeny v hrobkách egyptských faraonů, kteří stavěli velké pyramidy! V různých dobách byly vyrobeny kostky s 8, 10, 12, 20 a dokonce 100 stranami. Obvykle jsou označeny čísly, ale na jejich místě mohou být i písmena nebo obrázky, které dávají prostor fantazii.

Jak házet kostkami.
Nejen, že kostky mají různé tvary, ale mají také různé způsoby hraní. Pravidla některých her vyžadují, abyste házeli určitým způsobem, obvykle abyste se vyhnuli vypočítanému hodu nebo abyste zabránili tomu, aby se kostka zastavila v šikmé poloze. Někdy přicházejí se speciální sklenicí, aby se zabránilo podvádění nebo pádu z hracího stolu. V anglické hře crepe musí všechny tři kostky zasáhnout herní stůl nebo zeď, aby podvodníci předstírali házení pouhým pohybem kostky bez otáčení.

Náhodnost a pravděpodobnost.
Kostka vždy dává náhodný výsledek, který nelze předvídat. S jednou kostkou má hráč stejnou šanci hodit 1 jako 6 – vše je určeno náhodou. Se dvěma kostkami se naopak míra náhodnosti snižuje, protože hráč má více informací o výsledku: například se dvěma kostkami lze číslo 7 získat několika způsoby - házením 1 a 6, 5 a 2 , nebo 4 a 3... Ale možnost získat číslo 2 je jen jedna: dvakrát hodit 1. Pravděpodobnost, že dostanete 7 je tedy vyšší než dostat 2! Tomu se říká teorie pravděpodobnosti. S tímto principem je spojeno mnoho her, zejména her o peníze.

O použití kostek.
Kostky mohou být samostatnou hrou bez dalších prvků. Jediné, co prakticky neexistuje, jsou hry na jednu kostku. Pravidla vyžadují alespoň dva (například krep). Abyste mohli hrát kostkový poker, potřebujete mít pět kostek, tužku a papír. Cílem je dokončit kombinace podobné těm ve stejnojmenné karetní hře a zaznamenat za ně body do speciální tabulky. Kostka je navíc velmi oblíbeným dílem deskových her, umožňuje vám přesouvat žetony nebo rozhodovat o výsledku herních bitev.

Kostka je obsazena.
V roce 49 př.n.l. E. mladý Julius Caesar dobyl Galii a vrátil se do Pompejí. Jeho moc ale znepokojovala senátory, kteří se rozhodli jeho armádu před jeho návratem rozpustit. Budoucí císař se po příchodu na hranice republiky rozhodne porušit rozkaz tím, že jej překročí se svou armádou. Než překročil Rubikon (řeku, která byla hranicí), řekl svým legionářům „Alea jacta est“ („kostka je vržena“). Toto rčení se stalo chytlavou frází, jejímž smyslem je, že stejně jako ve hře, po přijetí některých rozhodnutí již není možné ustoupit.

Metoda hudební kompozice s volným zvukovým textem; jako samostatný způsob skládání hudby se zformoval ve 20. století. A. znamená skladatelovo úplné nebo částečné odmítnutí přísné kontroly nad hudebním textem nebo dokonce vyloučení samotné kategorie skladatel-autor v tradičním slova smyslu. Inovace A. spočívá v korelaci stabilně ustálených složek hudebního textu se záměrně zavedenou nahodilostí, libovolnou pohyblivostí hudební hmoty. Pojem A. se může týkat jak obecného uspořádání částí eseje (formy), tak struktury jeho látky. Podle E. Denisov, interakce mezi stabilitou a pohyblivostí látky a formy dává 4 hlavní typy kombinací, z nichž tři - 2., 3. a 4. - jsou aleatorické: 1. Stabilní látka - stabilní forma (obvyklá tradiční kompozice, opus perfectum et absolutum; jako např. příklad Čajkovského 6. symfonie); 2. Stabilní tkanina - mobilní tvar; podle V. Lutoslavského „A. formy“ (P. Boulez, 3. sonáta pro klavír, 1957); 3. Mobilní tkanina - stabilní tvar; nebo podle Lutoslawského „A. textury“ (Lyutoslawski, Smyčcové kvarteto, 1964, Hlavní věta); 4. Mobilní tkanina - mobilní forma; nebo "A. Klec"(při kolektivní improvizaci více účinkujících). Jedná se o uzlové body metody A., kolem kterých existuje mnoho různých specifických typů a případů struktur, různé stupně ponoření do A.; Metaboly ("modulace") jsou navíc také přirozené - přechod od jednoho typu nebo typu k druhému, také ke stabilnímu textu nebo od něj.

A. se rozšířil od 50. let 20. století a objevil se (spolu s sonorica), zejména reakce na extrémní zotročení hudební struktury v multiparametrovém serialismu (viz: dodekafonie). Mezitím má princip svobody struktury tak či onak prastaré kořeny. Lidová hudba je v podstatě zvukový proud, nikoli jedinečně strukturovaný opus. Odtud ta nestálost, „neopusovost“ lidové hudby, variace, variace a improvizace v ní. Nespecifikovanost a improvizace formy jsou charakteristické pro tradiční hudbu Indie, národů Dálného východu a Afriky. Proto se představitelé A. aktivně a vědomě opírají o podstatné principy orientální a lidové hudby. Prvky A. existovaly i v evropské vážné hudbě. Například u vídeňských klasiků, kteří odstranili princip generálního basu a zcela ustálili hudební text (symfonie a kvartety I. Haydna), byla ostrým kontrastem „kadence“ v podobě instrumentálního koncertu – a virtuózní sólo, jehož part nesložil skladatel, ale byl ponechán na uvážení interpreta (prvek A. forma). Známé jsou vtipné „aleatorické“ způsoby skládání jednoduchých skladeb (menuetů) kombinováním hudebních skladeb při hře v kostky (Würfelspiel) za časů Haydna a Mozarta (pojednání I. F. Kirnbergera „Kdykoli hotový skladatel polonéz a menuety.“ Berlín, 1757).

Ve 20. stol princip „individuálního projektu“ ve formě začal naznačovat přípustnost textových verzí díla (tj. A.). V roce 1907 Americký skladatel Charles Ives složil klavírní kvintet „Hallwe“en (= „All Hallows’ Eve“), jehož text se při koncertu musí hrát čtyřikrát za sebou jinak. D. Klec složeno v roce 1951 „Music of Changes“ pro klavír, jejíž text složil „manipulačními náhodami“ (slova skladatele), k tomu použil čínskou „Knihu proměn“. Klasický

Klasickým příkladem A. je „Piano Piece XI“ od K. Stockhausen, 1957. Na listu papíru cca. 0,5 m2 19 hudebních fragmentů je umístěno v náhodném pořadí. Pianista začíná kterýmkoli z nich a hraje je v libovolném pořadí, sleduje náhodný pohled; na konci předchozí pasáže je napsáno v jakém tempu a na jakou hlasitost hrát další. Když si pianista myslí, že už takto přehrál všechny fragmenty, měly by být přehrány podruhé ve stejném náhodném pořadí, ale s jasnější zvukovostí. Po druhém kole hra končí. Pro větší efekt se doporučuje aleatorické dílo zopakovat na jednom koncertě – posluchači bude předložena další skladba ze stejného materiálu. Metoda A. je široce používána moderními skladateli (Boulez, Stockhausen, Lutoslavskij, A. Volkonskij, Denisov, Schnittke atd.).

Předpoklad pro A. ve 20. stol. objevily se nové zákony harmonie az toho vyplývající tendence k hledání nových forem odpovídajících novému stavu hudebního materiálu a charakteristické pro avantgarda. Aleatorická textura byla před emancipací zcela nemyslitelná disonance, rozvoj atonální hudby (viz: dodekafonie). Zastánce „omezeného a kontrolovaného“ A. Lutoslavského v tom vidí nepochybnou hodnotu: „A. otevřel mi nové a nečekané perspektivy. Za prvé, existuje obrovské bohatství rytmu, které je s pomocí jiných technik nedosažitelné.“ Denisov, který ospravedlňuje „zavedení náhodných prvků do hudby“, tvrdí, že „nám poskytuje větší svobodu při práci s hudební hmotou a umožňuje nám získat nové zvukové efekty.<...>, ale nápady na mobilitu mohou přinést dobré výsledky pouze tehdy, pokud<... >, pokud destruktivní tendence skryté v mobilitě nezničí konstruktivitu nezbytnou pro existenci jakékoli formy umění.“

Některé další metody a formy hudby se překrývají s A. Za prvé toto: 1. improvizace - provedení díla složeného během hry; 2. grafická hudba, které interpret improvizuje podle vizuálních obrazů kresby umístěné před ním (např. I. Brown, Folio“, 1952), převádí je do zvukových obrazů nebo podle hudební aleatorické grafiky vytvořené skladatelem z kusů hudební text na listu papíru (S. Bussotti, "Vášeň pro zahradu", 1966); 3. happening- improvizovaná (v tomto smyslu aleatorická) akce (Povýšení) za účasti hudby s libovolným (kvazi) dějem (např. happening A. Volkonského „Replica“ souboru „Madrigal“ v sezóně 1970/71); 4. otevřené formy hudby – tedy takové, jejichž text není stabilně zafixován, ale je vždy získán v procesu provedení. Jde o typy skladeb, které nejsou zásadně uzavřené a umožňují nekonečné pokračování (třeba s každým dalším představením), anglicky. Probíhající práce. Pro P. Bouleze bylo jedním z podnětů, které ho přivedly k otevřené formě, dílo J. Joyce(„Ulysses“) a S. Mallarmé („Le Livre“). Příkladem otevřené skladby je „Available Forms II“ Earla Browna pro 98 nástrojů a dva dirigenty (1962). Brown sám poukazuje na spojení své otevřené formy s „mobily“ ve výtvarném umění (viz: kinetické umění), zejména A. Caldera („Calder Piece“ pro 4 bubeníky a Calder mobile, 1965). A konečně, akce „Gesamtkunst“ je prostoupena aleatorickými principy (viz: Gesamtkunstwerk). 5. Multimédia, jejichž specifikem je synchronizace instalací několik umění (například: koncert + výstava malby a sochařství + večer poezie v libovolné kombinaci umění atd.). Podstatou umění je tedy smíření tradičně zavedeného uměleckého řádu a osvěžujícího enzymu nepředvídatelnosti, náhody – tendence charakteristická pro umělecká kultura 20. století. obecně a neklasická estetika.

Lit.: Denisov E.V. Stabilní a mobilní prvky hudební formy a jejich interakce // Teoretické problémy hudebních forem a žánrů. M., 1971; Kohoutek C. Technika kompozice v hudbě 20. století. M., 1976; Lutosławski V.Články, be-

šediny, vzpomínky. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Tamtéž, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzika (1958). Krakov, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakov, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Napsal designér Tyler Sigman na Gamasutře. Láskyplně tomu říkám článek „vlasy v orčích nozdrách“, ale dělá docela dobrou práci při pokládání základů pravděpodobností ve hrách.

Téma tohoto týdne

Až dosud bylo téměř vše, o čem jsme mluvili, deterministické a minulý týden jsme se blíže podívali na tranzitivní mechaniku a rozebrali jsme ji, jak jen mohu vysvětlit. Ale až dosud jsme nevěnovali pozornost obrovskému aspektu mnoha her, a to nedeterministickým aspektům, jinými slovy - náhodnosti. Pochopení podstaty náhodnosti je pro herní designéry velmi důležité, protože vytváříme systémy, které ovlivňují zážitek hráče v dané hře, takže potřebujeme vědět, jak tyto systémy fungují. Pokud je v systému náhoda, musíte to pochopit Příroda tuto náhodnost a jak ji změnit, abychom získali výsledky, které potřebujeme.

Kostky

Začněme něčím jednoduchým: házením kostkami. Když většina lidí myslí na kostky, myslí si na šestistěnnou kostku známou jako d6. Většina hráčů ale viděla mnoho jiných kostek: čtyřstěnné (d4), osmihranné (d8), dvanáctistěnné (d12), dvacetistěnné (d20) ... a pokud nemovitý geeku, možná máš někde 30- nebo 100-ti hranou kostku. Pokud nejste obeznámeni s touto terminologií, „d“ znamená kostka a číslo po něm udává, kolik stran má. Li před„d“ je číslo, to znamená Množství kostky při házení. Například ve hře Monopoly hodíte 2k6.

Takže v tomto případě je fráze „kostky“ symbol. Existuje velké množství dalších generátorů náhodných čísel, které nemají tvar plastové hrudky, ale plní stejnou funkci generování náhodného čísla od 1 do n. Obyčejnou minci si lze také představit jako dihedrální kostku d2. Viděl jsem dva návrhy sedmistěnných kostek: jeden vypadal jako kostka a druhý vypadal spíše jako sedmistěnná dřevěná tužka. Čtyřboký dreidel (také známý jako titotum) je podobný čtyřstěnné kosti. Hrací pole s rotující šipkou ve hře „Chutes & Ladders“, kde výsledek může být od 1 do 6, odpovídá šestistěnné kostce. Generátor náhodných čísel v počítači může vytvořit libovolné číslo od 1 do 19, pokud konstruktér takový příkaz zadá, ačkoliv počítač nemá 19stěnnou kostku (obecně budu mluvit spíše o pravděpodobnosti výskytu čísel na počítač v další týden). Přestože všechny tyto položky vypadají odlišně, jsou ve skutečnosti stejné: máte stejnou šanci získat jeden z několika výsledků.

Kostky mají některé zajímavé vlastnosti, o kterých musíme vědět. Zaprvé, pravděpodobnost hodu na kteroukoli stranu je stejná (předpokládám, že házíte pravidelnou kostkou, ne kostkou s nepravidelným geometrickým tvarem). Takže pokud to chcete vědět průměrná hodnota hod (mezi zájemci o téma pravděpodobnosti známý také jako „matematická očekávaná hodnota“), sečtěte hodnoty všech stran a vydělte tento součet Množství tváře. Průměrný hod pro standardní šestistěnnou kostku je 1+2+3+4+5+6 = 21, děleno počtem stran (6) a průměr je 21/6 = 3,5. Toto je zvláštní případ, protože předpokládáme, že všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné.

Co když máte speciální kostky? Viděl jsem například hru s šestistěnnou kostkou se speciálními nálepkami po stranách: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže se chová jako podivná třístranná kostka, která spíše hodí 1. než 2 a 2 než 3. Jaký je průměrný hod touto kostkou? Takže 1+1+1+2+2+3 = 10, děleno 6, se rovná 5/3 nebo přibližně 1,66. Takže pokud máte tuto speciální kostku a hráči hodí třemi kostkami a pak sečtou výsledky, víte, že celkový součet jejich hodů bude asi 5 a na základě tohoto předpokladu můžete hru vyvážit.

Kostky a nezávislost

Jak jsem již řekl, vycházíme z předpokladu, že každá strana stejně pravděpodobně vypadne. Nezáleží na tom, kolika kostkami hodíte. Každý hod kostkou bez ohledu na, to znamená, že předchozí hody neovlivňují výsledky následujících hodů. S dostatečným testováním určitě ano oznámení„řada“ čísel, jako je házení většinou vyšších nebo nižších čísel nebo jiné funkce, a o tom si povíme později, ale to neznamená, že jsou kostky „horké“ nebo „studené“. Pokud hodíte standardní šestistěnnou kostkou a dostanete číslo 6 dvakrát za sebou, pravděpodobnost, že v příštím hodu bude 6, je také 1/6. Pravděpodobnost se nezvyšuje, protože kostka je „zahřátá“. Pravděpodobnost se nesnižuje, protože číslo 6 již padlo dvakrát za sebou, což znamená, že nyní přijde na řadu další strana. (Samozřejmě, když hodíte kostkou dvacetkrát a pokaždé dostanete 6, šance, že po dvacátém prvním hodíte 6, je dost vysoká... protože to pravděpodobně znamená, že máte špatné kostky!) mít správné kostky, každá strana má stejnou pravděpodobnost vypadnutí, bez ohledu na výsledky ostatních hodů. Můžete si také představit, že kostku pokaždé vyměníme, takže pokud padne číslo 6 dvakrát za sebou, vyjměte horkou kostku ze hry a nahraďte ji novou šestistěnnou kostkou. Omlouvám se, pokud o tom někdo z vás už věděl, ale potřeboval jsem si to vyjasnit, než se pustím dál.

Jak přimět kostky, aby házely víceméně náhodně

Pojďme se bavit o tom, jak získat různé výsledky na různých kostkách. Ať už hodíte kostkou pouze jednou nebo několikrát, hra bude vypadat náhodněji, pokud má kostka více stran. Čím vícekrát hodíte kostkou nebo čím více kostek hodíte, tím více se výsledky pohybují směrem k průměru. Pokud například hodíte 1k6+4 (tedy standardní šestistěnnou kostkou jednou a k výsledku přidáte 4), bude průměr číslo mezi 5 a 10. Pokud hodíte 5k2, průměr bude také číslo mezi 5 a 10. Ale při hodu šestistěnnou kostkou je pravděpodobnost získání čísel 5, 8 nebo 10 stejná. Výsledkem hodu 5d2 budou především čísla 7 a 8, méně často jiné hodnoty. Stejná řada, dokonce stejná průměrná hodnota (7,5 v obou případech), ale povaha náhodnosti je odlišná.

Počkej chvíli. Neříkal jsem právě, že kostky se nezahřívají ani nechladí? Teď říkám, že když hodíte hodně kostkami, výsledky hodů mají tendenci se blížit průměru? Proč?

Nech mě to vysvětlit. Pokud skončíte jeden kostky, pravděpodobnost, že každá strana vypadne, je stejná. To znamená, že pokud hodíte hodně kostkami, za určitou dobu se každá strana objeví přibližně stejně často. Čím více kostkami hodíte, tím více se bude celkový výsledek přibližovat průměru. Není tomu tak proto, že by vylosované číslo „nutilo“ vytáhnout další číslo, které ještě nebylo vylosováno. A protože malý proužek házení 6 (nebo 20, nebo jakéhokoli čísla) nebude nakonec záležet, pokud kostkou hodíte dalších deset tisíckrát a většinou přijdete na průměr... nyní můžete mít pár čísel s vysoká hodnota, ale možná později pár čísel s nízkou hodnotou a časem se přiblíží průměrné hodnotě. Ne proto, že by předchozí hody ovlivnily kostky (vážně, kostky jsou vyrobeny z plastický, nemá mozek na to, aby si pomyslela: „Ach, už je to nějaký čas, co jsem hodil 2“), ale protože se to obvykle stává, když hodíte hodně kostkami. Malá série opakujících se čísel bude ve velkém počtu výsledků téměř neviditelná.

Provádění výpočtů pro jeden náhodný hod kostkou je tedy poměrně jednoduché, alespoň pokud jde o výpočet průměrné hodnoty hodu. Existují také způsoby, jak spočítat „jak náhodné“ něco je, způsob, jak říci, že výsledky házení 1k6+4 budou „náhodnější“ než 5d2, pro 5d2 bude rozložení hodů rovnoměrnější, obvykle pro to počítáte směrodatná odchylka a čím větší hodnota, tím náhodnější budou výsledky, ale to vyžaduje více výpočtů, než bych chtěl dnes uvést (toto téma vysvětlím později). Jediná věc, kterou vás žádám, abyste věděli, je, že obecně platí, že čím méně kostek je vrženo, tím větší je náhodnost. Ještě dodatek k tomuto tématu: čím více stran má kostka, tím větší je náhodnost, protože máte více možností.

Jak vypočítat pravděpodobnost pomocí počítání

Možná se ptáte: jak můžeme vypočítat přesnou pravděpodobnost získání určitého výsledku? To je ve skutečnosti pro mnoho her docela důležité, protože když hodíte kostkou, pravděpodobně bude zpočátku nějaký optimální výsledek. Odpověď je, že musíme počítat dvě hodnoty. Nejprve spočítejte maximální počet výsledků při házení kostkou (bez ohledu na výsledek). Poté spočítejte počet příznivých výsledků. Vydělením druhé hodnoty první získáte požadovanou pravděpodobnost. Chcete-li získat procento, vynásobte výsledek 100.

Příklady:

Zde je velmi jednoduchý příklad. Chcete, aby číslo 4 nebo vyšší házelo a házelo jednou šestistěnnou kostkou. Maximální počet výsledků je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho jsou 3 výsledky (4, 5, 6) příznivé. To znamená, že pro výpočet pravděpodobnosti vydělíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 nebo 50 %.

Zde je příklad trochu složitější. Při hodu 2k6 chcete sudé číslo. Maximální počet výsledků je 36 (6 pro každou kostku, a protože jedna kostka neovlivňuje druhou, vynásobíme 6 výsledků 6 a dostaneme 36). Potíž s tímto typem otázek je, že je snadné počítat dvakrát. Například pro 3 při hodu 2k6 jsou ve skutečnosti dvě možnosti: 1+2 a 2+1. Vypadají stejně, ale rozdíl je v tom, jaké číslo je zobrazeno na první kostce a jaké číslo na druhé. Můžete si také představit, že kostky mají různé barvy, takže například v tomto případě je jedna kostka červená a druhá modrá. Poté spočítejte počet možností, jak hodit sudé číslo: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Ukazuje se, že existuje 18 možností příznivého výsledku z 36, stejně jako v předchozím případě bude pravděpodobnost rovna 0,5 nebo 50%. Možná nečekané, ale docela přesné.

Simulace Monte Carlo

Co když máte pro tento výpočet příliš mnoho kostek? Chcete například vědět, jaká je pravděpodobnost, že při hodu 8k6 získáte celkem 15 nebo více. Na osm kostek existuje HODNĚ různých jednotlivých výsledků a jejich ruční počítání by trvalo velmi dlouho. I když najdeme nějaké dobré řešení pro seskupení různých sérií hodů kostkou, počítání bude trvat velmi dlouho. V tomto případě je nejsnazší způsob výpočtu pravděpodobnosti nepočítat ručně, ale použít počítač. Existují dva způsoby, jak vypočítat pravděpodobnost na počítači.

První metoda vám může dát přesnou odpověď, ale vyžaduje trochu programování nebo skriptování. Počítač se v podstatě podívá na každou možnost, vyhodnotí a spočítá celkový počet iterací a počet iterací, které odpovídají požadovanému výsledku, a poté poskytne odpovědi. Váš kód může vypadat nějak takto:

int wincount=0, totalcount=0;

pro (int i=1; i<=6; i++) {

pro (int j=1; j<=6; j++) {

for (int k=1; k<=6; k++) {

... // sem vložte další smyčky

jestliže (i+j+k+… >= 15) (

plovoucí pravděpodobnost = wincount/totalcount;

Pokud toho o programování moc nevíte a chcete jen přibližnou spíše než přesnou odpověď, můžete si tuto situaci nasimulovat v Excelu, kde pár tisíckrát hodíte 8d6 a dostanete odpověď. Chcete-li hodit 1d6 v Excelu, použijte následující vzorec:

PODLAŽÍ(RAND()*6)+1

Existuje název pro situaci, kdy neznáte odpověď a jen to mnohokrát zkoušíte - Simulace Monte Carlo, a to je skvělé řešení, ke kterému se můžete vrátit, když se pokoušíte vypočítat pravděpodobnost a je to příliš složité. Skvělé je, že v tomto případě nemusíme rozumět tomu, jak matematika funguje, a víme, že odpověď bude „docela dobrá“, protože, jak již víme, čím více hodů, tím více se výsledek blíží dostane do průměru.

Jak kombinovat nezávislé zkoušky

Pokud se zeptáte na více opakovaných, ale nezávislých pokusů, výsledek jednoho hodu neovlivní výsledky hodů ostatních. Pro tuto situaci existuje ještě jedno jednodušší vysvětlení.

Jak rozlišit něco závislého a nezávislého? V zásadě, pokud můžete izolovat každý hod kostkou (nebo sérii hodů) jako samostatnou událost, pak je nezávislý. Chceme-li například při hodu 8k6 celkem 15, nelze tento případ rozdělit na více nezávislých hodů kostkou. Vzhledem k tomu, že pro výsledek počítáte součet hodnot všech kostek, výsledek, který se objeví na jedné kostce, ovlivní výsledky, které by měly vyjít na kostce druhé, protože pouze sečtením všech hodnot získáte získat požadovaný výsledek.

Zde je příklad nezávislých hodů: Hrajete kostkovou hru a házíte vícekrát šestistěnnými kostkami. Abyste zůstali ve hře, musíte při prvním hodu hodit číslo 2 nebo vyšší. Pro druhý hod - 3 nebo vyšší. Třetí vyžaduje 4 nebo vyšší, čtvrtý vyžaduje 5 nebo vyšší, pátý vyžaduje 6. Pokud je všech pět hodů úspěšných, vyhráváte. V tomto případě jsou všechny hody nezávislé. Ano, pokud je jeden hod neúspěšný, ovlivní to výsledek celé hry, ale jeden hod neovlivní další hod. Pokud je například váš druhý hod kostkou velmi úspěšný, nemá to vliv na pravděpodobnost, že další hody budou stejně úspěšné. Můžeme tedy uvažovat pravděpodobnost každého hodu kostkou zvlášť.

Pokud máte samostatné, nezávislé pravděpodobnosti a chcete vědět, jaká je to pravděpodobnost Všechno události, určíte každou jednotlivou pravděpodobnost a vynásobíte je. Jiný způsob: pokud použijete spojku „a“ k popisu několika podmínek (například jaká je pravděpodobnost výskytu nějaké náhodné události A nějakou jinou nezávislou náhodnou událost?), vypočítejte jednotlivé pravděpodobnosti a vynásobte je.

Nezáleží na tom, co si myslíte nikdy Nesčítat nezávislé pravděpodobnosti. To je častá chyba. Abyste pochopili, proč je to špatně, představte si situaci, kdy si házíte mincí 50/50 a chcete vědět, jaká je pravděpodobnost, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Každá strana má 50% šanci na přistání, takže pokud sečtete tyto dvě pravděpodobnosti dohromady, získáte 100% šanci, že dostanete hlavy, ale víme, že to není pravda, protože to mohly být ocasy dvakrát za sebou. Pokud místo toho vynásobíte dvě pravděpodobnosti, dostanete 50%*50% = 25%, což je správná odpověď pro výpočet pravděpodobnosti získání hlav dvakrát za sebou.

Příklad

Vraťme se k šestistěnné kostkové hře, kde je nejprve potřeba hodit číslo vyšší než 2, poté vyšší než 3 atd. až 6. Jaká je šance, že v dané sérii 5 hodů budou všechny výsledky příznivé?

Jak je uvedeno výše, jedná se o nezávislé pokusy, a tak vypočítáme pravděpodobnost pro každý jednotlivý hod a následně je vynásobíme. Pravděpodobnost, že výsledek prvního hodu bude příznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Třetí - 3.6. Čtvrtý - 2/6, pátý - 1/6. Vynásobte všechny tyto výsledky a dostanete asi 1,5 %... Výhra v této hře je tedy poměrně vzácná, takže pokud do své hry přidáte tento prvek, budete potřebovat poměrně velký jackpot.

Negace

Zde je další užitečný tip: někdy je obtížné vypočítat pravděpodobnost výskytu události, ale je snazší určit, jaká je pravděpodobnost, že k události dojde. nepřijde.

Řekněme například, že máme další hru a hodíte 6k6, a pokud alespoň jednou Pokud hodíte 6, vyhráváte. Jaká je pravděpodobnost výhry?

V tomto případě musíte zvážit mnoho možností. Snad se objeví jedno číslo, 6, tzn. jedna z kostek ukáže číslo 6 a ostatní budou mít čísla od 1 do 5 a je 6 možností, na kterých kostkách bude číslo 6. Potom můžete získat číslo 6 na dvou kostkách nebo na třech, nebo ještě více a pokaždé, když potřebujeme provést samostatný výpočet, je snadné se zmást.

Existuje ale i jiný způsob, jak tento problém vyřešit, podívejme se na to z druhé strany. Vy prohraješ Li ne na žádné kostka nebude hodit číslo 6. V tomto případě máme šest nezávislých pokusů, pravděpodobnost každého z nich je 5/6 (na kostce může padnout jakékoli jiné číslo kromě 6). Vynásobte je a dostanete asi 33 %. Pravděpodobnost prohry je tedy 1 ku 3.

Pravděpodobnost výhry je tedy 67 % (neboli 2 ku 3).

Z tohoto příkladu je zřejmé, že pokud počítáte pravděpodobnost, že k události nedojde, musíte výsledek odečíst od 100 %. Pokud je pravděpodobnost výhry 67 %, pak pravděpodobnost prohrát — 100% mínus 67 %, nebo 33 %. A naopak. Pokud je obtížné vypočítat jednu pravděpodobnost, ale snadné vypočítat opačnou, vypočítejte opak a poté odečtěte od 100 %.

Spojujeme podmínky pro jeden nezávislý test

Výše jsem řekl, že byste nikdy neměli sčítat pravděpodobnosti napříč nezávislými testy. Jsou nějaké případy, kdy Umět shrnout pravděpodobnosti? - Ano, v jedné zvláštní situaci.

Pokud chcete vypočítat pravděpodobnost více nesouvisejících příznivých výsledků v jedné studii, sečtěte pravděpodobnosti každého příznivého výsledku. Například pravděpodobnost hodu čísel 4, 5 nebo 6 na 1k6 je množství pravděpodobnost získání čísla 4, pravděpodobnost získání čísla 5 a pravděpodobnost získání čísla 6. Tuto situaci si můžete představit také takto: pokud v otázce na pravděpodobnost použijete spojku „nebo“ (např. , jaká je pravděpodobnost, že nebo rozdílný výsledek jedné náhodné události?), vypočítejte jednotlivé pravděpodobnosti a sečtěte je.

Vezměte prosím na vědomí, že když sčítáte všechny možné výsledky hra, součet všech pravděpodobností se musí rovnat 100 %. Pokud se součet nerovná 100 %, váš výpočet byl proveden nesprávně. Je to dobrý způsob, jak zkontrolovat své výpočty. Například jste analyzovali pravděpodobnost získání všech kombinací v pokeru, pokud sečtete všechny získané výsledky, měli byste dostat přesně 100 % (nebo alespoň hodnotu velmi blízkou 100 %, pokud používáte kalkulačku, můžete mít malá chyba zaokrouhlení , ale pokud sečtete přesná čísla ručně, vše by se mělo sčítat). Pokud se součet nesčítá, znamená to, že jste s největší pravděpodobností nepočítali s některými kombinacemi, nebo jste špatně spočítali pravděpodobnosti některých kombinací a pak je třeba výpočty ještě jednou zkontrolovat.

Nestejné pravděpodobnosti

Až dosud jsme předpokládali, že každá strana kostky se odvaluje stejnou frekvencí, protože tak kostka funguje. Ale někdy jste postaveni před situaci, kdy jsou možné různé výsledky odlišný zahodit šance. Například v jednom z rozšíření karetní hry „Nuclear War“ je hrací pole se šipkou, na kterém závisí výsledek odpálení rakety: v zásadě způsobí normální poškození, silnější nebo slabší, ale někdy je poškození zdvojnásobí nebo ztrojnásobí, nebo na odpalovací rampě vybuchne raketa a zraní vás, nebo dojde k jiné události. Na rozdíl od desky se šipkami ve hře „Skluzy a žebříky“ nebo „Hra o život“ má hrací deska ve hře „Nukleární válka“ nestejné výsledky. Některé úseky hracího pole jsou větší a šíp se na nich zastavuje mnohem častěji, zatímco jiné úseky jsou velmi malé a šíp se na nich zastaví jen zřídka.

Na první pohled tedy kost vypadá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3; už jsme o tom mluvili, je to něco jako vážený 1d3, takže musíme všechny tyto sekce rozdělit na stejné části, najít nejmenší měrnou jednotku, které je všechno násobkem a pak situaci znázornit jako d522 (nebo nějakou jinou), kde mnoho kostek bude představovat stejnou situaci, ale s více výsledky. A to je jeden způsob, jak problém vyřešit, a je to technicky proveditelné, ale existuje jednodušší způsob.

Vraťme se k naší standardní šestistěnné kostce. Řekli jsme, že abyste mohli vypočítat průměrnou hodnotu hodu pro normální kostku, musíte sečíst hodnoty na všech plochách a vydělit je počtem ploch, ale jak přesně probíhá výpočet? Existuje i jiný způsob, jak to vyjádřit. U šestistěnné kostky je pravděpodobnost hodu každé strany přesně 1/6. Nyní se množíme Exodus každý obličej na pravděpodobnost tohoto výsledku (v tomto případě 1/6 pro každou stranu), pak výsledné hodnoty sečteme. Tedy součet (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) , dostaneme stejný výsledek (3.5) jako ve výpočtu výše. Ve skutečnosti počítáme tímto způsobem pokaždé: každý výsledek vynásobíme pravděpodobností tohoto výsledku.

Můžeme provést stejný výpočet pro šipku na hracím poli ve hře „Nuclear War“? Samozřejmě, že můžeme. A pokud sečteme všechny nalezené výsledky, dostaneme průměrnou hodnotu. Vše, co musíme udělat, je vypočítat pravděpodobnost každého výsledku pro šipku na herním plánu a vynásobit výsledkem.

Další příklad

Tento způsob výpočtu průměru vynásobením každého výsledku jeho individuální pravděpodobností je také vhodný, pokud jsou výsledky stejně pravděpodobné, ale mají různé výhody, například když hodíte kostkou a vyhrajete na některých stranách více než na jiných. Vezměme si například kasinovou hru: vsadíte a hodíte 2k6. Pokud trefíte tři čísla s nízkou hodnotou (2, 3, 4) nebo čtyři čísla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12), vyhrajete částku rovnající se vaší sázce. Čísla s nejnižší a nejvyšší hodnotou jsou speciální: pokud hodíte 2 nebo 12, vyhráváte dvakrát tolik než vaše nabídka. Pokud padne jakékoli jiné číslo (5, 6, 7, 8), svou sázku prohrajete. Toto je docela jednoduchá hra. Jaká je ale pravděpodobnost výhry?

Začněme tím, že spočítáme, kolikrát můžete vyhrát:

• Maximální počet výsledků při hodu 2k6 je 36. Jaký je počet příznivých výsledků?
• K dispozici je 1 možnost házení dvojky a 1 možnost házení dvanáctky.
• Existují 2 možnosti, jak hodit tři a jedenáct.
• K dispozici jsou 3 možnosti pro hod čtyřkou a 3 možnosti pro hod desítkou.
• Existují 4 možnosti, jak hodit devítku.
• Po sečtení všech možností dostaneme počet příznivých výsledků 16 z 36.

Za normálních podmínek tedy vyhrajete 16x z 36 možných... pravděpodobnost výhry je o něco menší než 50%.

Ale ve dvou případech z těchto 16 vyhrajete dvakrát tolik, tzn. Je to jako vyhrát dvakrát! Pokud tuto hru zahrajete 36krát, pokaždé vsadíte 1 $ a každý ze všech možných výsledků přijde jednou, vyhrajete celkem 18 $ (ve skutečnosti vyhrajete 16krát, ale dva z těchto případů se budou počítat jako dvě výhry). Pokud hrajete 36krát a vyhrajete 18 $, neznamená to, že je to stejná šance?

Nepospíchej. Pokud spočítáte, kolikrát můžete prohrát, dostanete 20, nikoli 18. Pokud hrajete 36krát a pokaždé vsadíte 1 $, vyhrajete celkem 18 $, pokud trefíte všechny vítězné tipy... ale pokud dojde ke všem 20 nepříznivým výsledkům, ztratíte celkovou částku 20 $! V důsledku toho budete trochu pozadu: za každých 36 her prohrajete v průměru 2 $ čistého (můžete také říci, že ztratíte v průměru 1/18 dolaru za den). Nyní vidíte, jak snadné je v tomto případě udělat chybu a špatně vypočítat pravděpodobnost!

Přeskupení

Doposud jsme předpokládali, že na pořadí čísel při hodu kostkou nezáleží. Házení 2+4 je stejné jako házení 4+2. Ve většině případů ručně počítáme počet příznivých výsledků, ale někdy je tato metoda nepraktická a je lepší použít matematický vzorec.

Příklad této situace je z kostkové hry „Farkle“. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Pokud budete mít štěstí a získáte všechny možné výsledky 1-2-3-4-5-6 („rovně“), získáte velký bonus. Jaká je pravděpodobnost, že se to stane? V tomto případě existuje mnoho možností, jak tuto kombinaci získat!

Řešení je následující: jedna z kostek (a pouze jedna) musí mít číslo 1! Kolika způsoby lze hodit číslem 1 na jedné kostce? Šest, protože je 6 kostek a kterákoli z nich může získat číslo 1. Podle toho vezměte jednu kostku a odložte ji stranou. Nyní by jedna ze zbývajících kostek měla hodit číslo 2. K tomu je pět možností. Vezměte další kostku a odložte ji stranou. Pak čtyři ze zbývajících kostek mohou přistát 3, tři ze zbývajících kostek mohou padnout 4, dvě mohou padnout 5 a skončíte s jednou kostkou, která by měla padnout 6 (ve druhém případě je pouze jedna kostka a není na výběr). Abychom vypočítali počet příznivých výsledků pro trefení postupky, vynásobíme všechny různé, nezávislé možnosti: 6x5x4x3x2x1 = 720 - zdá se, že pro tuto kombinaci existuje poměrně velký počet možností.

Abychom vypočítali pravděpodobnost, že dostaneme postupku, musíme vydělit 720 počtem všech možných výsledků pro hození 6k6. Jaký je počet všech možných výsledků? Každá kostka může mít 6 stran, takže vynásobíme 6x6x6x6x6x6 = 46656 (to číslo je mnohem vyšší!). Vydělte 720/46656 a získáte pravděpodobnost přibližně 1,5 %. Pokud byste navrhovali tuto hru, bylo by pro vás užitečné vědět, abyste si podle toho mohli vytvořit bodovací systém. Nyní chápeme, proč ve Farkle dostanete tak velký bonus, když dostanete postupku, protože tato situace je poměrně vzácná!

Výsledek je zajímavý i z jiného důvodu. Příklad ukazuje, jak zřídka se ve skutečnosti v krátké době vyskytne výsledek odpovídající pravděpodobnosti. Samozřejmě, pokud bychom házeli několika tisíci kostkami, různé strany kostek by se objevovaly poměrně často. Ale když hodíme jen šesti kostkami, skoro nikdy Nestane se, že by každá z tváří vypadla! Na základě toho je zřejmé, že je hloupé očekávat, že se nyní objeví další tvář, která ještě nepadla, „protože jsme dlouho nehodili číslo 6, což znamená, že nyní padne“.

Poslouchej, tvůj generátor náhodných čísel je nefunkční...

To nás přivádí k běžné mylné představě o pravděpodobnosti: předpokladu, že všechny výsledky se vyskytují se stejnou frekvencí. během krátké doby, což ve skutečnosti není tento případ. Pokud házíme kostkou vícekrát, frekvence vypadávání každé strany nebude stejná.

Pokud jste již někdy pracovali na online hře s jakýmkoliv generátorem náhodných čísel, s největší pravděpodobností jste se setkali se situací, kdy hráč napsal na technickou podporu, že váš generátor náhodných čísel je nefunkční a nezobrazuje náhodná čísla. a došel k tomuto závěru, protože právě zabil 4 příšery v řadě a dostal 4 úplně stejné odměny a tyto odměny by se měly objevit pouze v 10 % případů, takže toto Skoro nikdy neměl by konat, což znamená toto očividněže váš generátor náhodných čísel je nefunkční.

Provádíte matematický výpočet. 1/10*1/10*1/10*1/10 se rovná 1 z 10 000, což znamená, že je to docela vzácné. A to je přesně to, co se vám hráč snaží říct. Je v tomto případě problém?

Vše záleží na okolnostech. Kolik hráčů je aktuálně na vašem serveru? Řekněme, že máte poměrně populární hru a každý den ji hraje 100 000 lidí. Kolik hráčů dokáže zabít čtyři monstra v řadě? Všechno je možné, několikrát denně, ale předpokládejme, že polovina z nich pouze obchoduje s různými předměty v aukcích nebo chatuje na RP serverech nebo se věnuje jiným činnostem ve hře, takže jen polovina z nich ve skutečnosti loví monstra. Jaká je pravděpodobnost, že někomu objeví se stejná odměna? V této situaci můžete očekávat, že se stejná odměna může objevit alespoň několikrát denně!

Mimochodem, proto se to zdá minimálně každých pár týdnů někdo vyhraje v loterii, i když je to někdo nikdy Nejste to vy ani vaši přátelé. Pokud bude každý týden hrát dostatek lidí, je pravděpodobné, že jich bude minimálně jedenštěstí... ale kdyby Vy Pokud hrajete loterii, pravděpodobnost, že vyhrajete, je menší než pravděpodobnost, že budete pozváni k práci v Infinity Ward.

Karty a závislost

Probrali jsme nezávislé události, jako je házení kostkou, a nyní známe mnoho výkonných nástrojů pro analýzu náhodnosti v mnoha hrách. Výpočet pravděpodobnosti je trochu složitější, pokud jde o dobírání karet z balíčku, protože každá karta, kterou si lízneme, ovlivňuje zbývající karty v balíčku. Pokud máte standardní balíček 52 karet a vyjmete například 10 srdcí a chcete znát pravděpodobnost, že další karta bude stejné barvy, pravděpodobnost se změnila, protože jste již jednu kartu barvy odstranili. srdcí z paluby. Každá karta, kterou odstraníte, změní pravděpodobnost další karty v balíčku. Protože v tomto případě předchozí událost ovlivňuje následující, nazýváme tuto pravděpodobnost závislý.

Vezměte prosím na vědomí, že když říkám „karty“, myslím tím žádný herní mechanika, ve které je sada předmětů a jeden z předmětů odstraníte, aniž byste jej nahradili, „balíček karet“ je v tomto případě obdobou pytlíku žetonů, ze kterého odeberete jeden žeton a nevyměníte jej, popř. urnu, ze které kreslíte barevné kuličky (ve skutečnosti jsem nikdy neviděl hru, ve které by byla urna s barevnými kuličkami, ale zdá se, že učitelé pravděpodobnosti z nějakého důvodu preferují tento příklad).

Vlastnosti závislosti

Rád bych upřesnil, že pokud jde o karty, předpokládám, že si líznete karty, podíváte se na ně a odstraníte je z balíčku. Každá z těchto akcí je důležitou vlastností.

Kdybych měl balíček řekněme šesti karet s čísly 1 až 6 a zamíchal bych je a vytáhl jednu kartu a pak znovu zamíchal všech šest karet, bylo by to podobné jako házení šestistěnnou kostkou; jeden výsledek nemá vliv na následující. Pouze v případě, že si líznu karty a nevyměním je, zvýší výsledek, že si vytáhnu kartu s číslem 1, pravděpodobnost, že příště vytáhnu kartu s číslem 6 (pravděpodobnost se bude zvyšovat, dokud si tu kartu nakonec nevytáhnu resp. dokud nezamíchám karty).

Skutečnost, že my Koukni se na kartách je také důležité. Pokud vyndám kartu z balíčku a nepodívám se na ni, nemám žádné další informace a pravděpodobnost se ve skutečnosti nezmění. To může znít neintuitivně. Jak může prosté otočení karty magicky změnit šance? Ale je to možné, protože můžete vypočítat pravděpodobnost pro neznámé položky jen na základě toho, co vy víš. Pokud například zamícháte standardní balíček karet a odhalíte 51 karet a žádná z nich není klubová královna, budete se 100% jistotou vědět, že zbývající karta je klubová královna. Pokud zamícháte standardní balíček karet a líznete si 51 karet, i přes na nich, pak pravděpodobnost, že zbývající karta je královna klubů, bude stále 1/52. Když každou kartu otevřete, získáte další informace.

Výpočet pravděpodobnosti pro závislé události se řídí stejnými principy jako pro nezávislé události, až na to, že je to trochu složitější, protože pravděpodobnosti se mění s odkrýváním karet. Takže musíte násobit mnoho různých hodnot namísto násobení stejné hodnoty. To ve skutečnosti znamená, že musíme spojit všechny výpočty, které jsme provedli, do jedné kombinace.

Příklad

Zamícháte standardní balíček 52 karet a líznete si dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že vylosujete pár? Existuje několik způsobů, jak tuto pravděpodobnost vypočítat, ale možná nejjednodušší je následující: jaká je pravděpodobnost, že když vytáhnete jednu kartu, nebudete moci vzít pár? Tato pravděpodobnost je nulová, takže nezáleží na tom, kterou první kartu si líznete, pokud se shoduje s druhou. Bez ohledu na to, kterou kartu si vytáhneme jako první, stále máme šanci si líznout pár, takže pravděpodobnost, že si pár vytáhneme po vytažení první karty, je 100 %.

Jaká je pravděpodobnost, že se druhá karta shoduje s první? V balíčku zbývá 51 karet a 3 z nich odpovídají první kartě (ve skutečnosti by byly 4 z 52, ale jednu z odpovídajících karet jste již odstranili, když jste vyndali první kartu!), takže pravděpodobnost je 1 /17. (Takže až příště chlápek, který sedí naproti vám a hraje Texas Hold'em, řekne: "Super, další pár? Dnes mám štěstí," budete vědět, že je docela velká šance, že blafuje.)

Co když přidáme dva žolíky a nyní máme v balíčku 54 karet a chceme vědět, jaká je pravděpodobnost tažení páru? První kartou může být žolík a pak bude balíček pouze obsahovat jeden kartu, ne tři, které se budou shodovat. Jak zjistit pravděpodobnost v tomto případě? Vydělíme pravděpodobnosti a vynásobíme každou možnost.

Naší první kartou může být žolík nebo nějaká jiná karta. Pravděpodobnost vytažení žolíka je 2/54, pravděpodobnost vytažení nějaké jiné karty je 52/54.

Pokud je první kartou žolík (2/54), pak pravděpodobnost, že se druhá karta bude shodovat s první, je 1/53. Násobení hodnot (můžeme je vynásobit, protože se jedná o samostatné události a my chceme oba události) a dostáváme 1/1431 - méně než jednu desetinu procenta.

Pokud si nejprve líznete nějakou jinou kartu (52/54), pravděpodobnost shody s druhou kartou je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o něco více než 5,5%).

Co uděláme s těmito dvěma výsledky? Nekříží se a my chceme znát pravděpodobnost každý z nich, takže hodnoty sečteme! Dostáváme konečný výsledek 79/1431 (stále asi 5,5 %).

Pokud bychom si chtěli být jisti přesností odpovědi, mohli bychom spočítat pravděpodobnost všech ostatních možných výsledků: vytažení žolíka a neodpovídající druhé kartě, nebo vytažení jiné karty a neshodující se s druhou kartou, a jejich přidání. všichni s pravděpodobností výhry bychom dostali přesně 100 %. Nebudu zde dávat matematiku, ale můžete zkusit matematiku pro kontrolu.

Paradox Montyho Halla

Tím se dostáváme k poměrně známému paradoxu, který často mate mnoho lidí – Monty Hall Paradox. Paradox je pojmenován po moderátorovi televizního pořadu „Let’s Make a Deal“ Monty Hall. Pokud jste tento pořad nikdy neviděli, byl to opak televizního pořadu „Cena je správná“. V „The Price Is Right“ je hostitel (Bob Barker býval hostitelem, nyní je to...Drew Carey? Každopádně...) váš přítel. On chce takže můžete vyhrát peníze nebo skvělé ceny. Snaží se vám poskytnout každou příležitost k výhře, pokud dokážete odhadnout, jakou hodnotu skutečně stojí položky zakoupené sponzory.

Monty Hall se choval jinak. Byl jako zlé dvojče Boba Barkera. Jeho cílem bylo, abyste v národní televizi vypadali jako idiot. Pokud jste byli v show, byl to váš soupeř, hráli jste proti němu a šance byly v jeho prospěch. Možná jsem příliš drsný, ale když se šance na zvolení jako soutěžícího zdá být přímo úměrná tomu, zda nosíte směšný oblek, docházím k takovým závěrům.

Ale jeden z nejslavnějších memů show byl tento: Před vámi byly troje dveře a jmenovaly se Dveře číslo 1, Dveře číslo 2 a Dveře číslo 3. Mohli jste si vybrat jedny dveře... zdarma! Za jedněmi z těchto dveří byla velkolepá cena, například nové auto. Za ostatními dveřmi nebyly žádné ceny, tyto dvoje dveře neměly žádnou hodnotu. Jejich cílem bylo vás ponížit a tak to není, že za nimi vůbec nic nebylo, bylo za nimi něco, co vypadalo hloupě, jako by za nimi byla koza nebo obrovská tuba zubní pasty nebo tak něco... něco, co přesně Stalo Ne nový osobní automobil.

Vybírali jste jedny z dveří a Monty se je chystal otevřít, aby vám dal vědět, jestli jste vyhráli nebo ne... ale počkejte, než se dozvíme, podívejme se na jeden z těch ty dveře nebyl vybrán. Protože Monty ví, za kterými dveřmi je cena, a je pouze jedna cena a dva dveře, které jste si nevybrali, bez ohledu na to, vždy může otevřít dveře, které za sebou nemají cenu. „Vybíráte dveře číslo 3? Pak otevřeme dveře č. 1, abychom ukázali, že za nimi není žádná cena.“ A nyní vám ze štědrosti nabízí možnost vyměnit vámi vybrané dveře číslo 3 za to, co je za dveřmi číslo 2. Právě v tomto bodě vyvstává otázka pravděpodobnosti: zvyšuje možnost vybrat si jiné dveře vaši pravděpodobnost vyhrát, nebo snížit, nebo to zůstane stejné? Jak si myslíte, že?

Správná odpověď: možnost vybrat si jiné dveře zvyšuje pravděpodobnost výhry od 1/3 do 2/3. To je nelogické. Pokud jste se s tímto paradoxem ještě nesetkali, pravděpodobně si říkáte: počkejte, my jsme magicky změnili pravděpodobnost otevřením jedněch dveří? Ale jak jsme již viděli na příkladu s kartami výše, toto přesně co se stane, když získáme další informace. Je zřejmé, že pravděpodobnost výhry při prvním tipu je 1/3 a věřím, že s tím bude každý souhlasit. Když se uvolní jedny dveře, vůbec to nemění pravděpodobnost výhry pro první volbu, pravděpodobnost je stále 1/3, ale to znamená, že pravděpodobnost, že jiný dveře jsou nyní ze 2/3 správně.

Podívejme se na tento příklad z jiné perspektivy. Vyberete si dveře. Pravděpodobnost výhry je 1/3. Navrhuji změnit dva jiné dveře, což Monty Hall ve skutečnosti navrhuje udělat. Samozřejmě otevře jedny dveře, aby ukázal, že za nimi není žádná cena, ale on Vždy to umí, takže to vlastně nic nemění. Samozřejmě si budete chtít vybrat jiné dveře!

Pokud v této otázce nemáte úplně jasno a potřebujete přesvědčivější vysvětlení, klikněte na tento odkaz a dostanete se do skvělé malé Flash aplikace, která vám umožní prozkoumat tento paradox podrobněji. Můžete hrát od přibližně 10 dveří a pak postupně přejít až ke hře se třemi dveřmi; K dispozici je také simulátor, kde si můžete vybrat libovolný počet dveří od 3 do 50 a hrát nebo spustit několik tisíc simulací a zjistit, kolikrát byste vyhráli, kdybyste hráli.

Poznámka od vyššího učitele matematiky a specialisty na rovnováhu her Maxima Soldatova, kterou Schreiber samozřejmě neměl, ale bez níž je docela těžké tuto magickou proměnu pochopit:

Vyberete si dveře, jedny ze tří, pravděpodobnost „výhry“ je 1/3. Nyní máte 2 strategie: změna po otevření špatných dveří, volba nebo ne. Pokud svou volbu nezměníte, pravděpodobnost zůstane 1/3, protože volba nastane pouze v první fázi a musíte hned hádat, ale pokud změníte, můžete vyhrát, pokud nejprve vyberete špatně dveře (pak otevřou další špatné, zůstanou věrné, změníš názor a vezmeš si ji)
Pravděpodobnost výběru špatných dveří na začátku je 2/3, takže se ukazuje, že změnou rozhodnutí zvyšujete pravděpodobnost výhry 2x

A opět o Monty Hall paradoxu

Co se týče samotné show, Monty Hall to věděl, protože i když jeho konkurenti nebyli dobří v matematice, On rozumí tomu dobře. Zde je to, co udělal, aby trochu změnil hru. Pokud jste si vybrali dveře, za kterými byla cena, jejíž pravděpodobnost je 1/3, to Vždy Vám nabídla možnost vybrat si jiné dveře. Koneckonců, vybral sis osobní auto a pak ho vyměníš za kozu a budeš vypadat dost hloupě, což je přesně to, co potřebuje, protože je tak trochu zlý. Pokud si ale vyberete dveře, za kterými nebude žádná cena, pouze v polovině V takových případech vás vyzve, abyste si vybrali jiné dveře, v ostatních případech vám jednoduše ukáže vaši novou kozu a vy odejdete ze scény. Pojďme analyzovat tuto novou hru, ve které Monty Hall umí Vybrat nabídnout vám možnost vybrat si jiné dveře nebo ne.

Řekněme, že se řídí tímto algoritmem: pokud si vyberete dveře s cenou, vždy vám nabídne možnost vybrat si jiné dveře, jinak je šance 50/50, že vám nabídne vybrat si jiné dveře nebo vám dá kozu. Jaká je vaše pravděpodobnost výhry?

V jedné ze tří možností si hned vyberete dveře, za kterými se výhra nachází, a přednášející vás vyzve k výběru dalších dveří.

Ze zbývajících dvou možností ze tří (zpočátku si vyberete dveře bez ceny), v polovině případů vám moderátor nabídne výběr jiných dveří a ve druhé polovině případů - ne. Polovina ze 2/3 je 1/3, tzn. v jednom případě ze tří dostanete kozu, v jednom případě ze tří vyberete špatné dveře a hostitel vás požádá, abyste si vybrali jiné a v jednom případě ze tří si vyberete pravé dveře a požádá vás, abyste si vybrali jiné dveře.

Pokud moderátor nabídne, že si vybere jiné dveře, už víme, že ten jeden případ ze tří, kdy nám dá kozu a my odejdeme, se nestal. To je užitečná informace, protože to znamená, že naše šance na výhru se změnily. Ve dvou případech ze tří, kdy máme možnost si vybrat, to v jednom případě znamená, že jsme tipovali správně a ve druhém, že jsme hádali špatně, takže pokud nám byla nabídnuta možnost výběru vůbec, znamená to, že pravděpodobnost naší výhry je 50/50 a žádná není matematický výhody, zůstaňte u svého výběru nebo si vyberte jiné dveře.

Stejně jako poker je to nyní psychologická hra, ne matematická. Monty ti dal na výběr, protože si myslí, že jsi blázen, který neví, že volba druhých dveří je to „správné“ rozhodnutí a že se budeš tvrdohlavě držet své volby, protože psychologicky je situace taková, kdy sis vybral auto, a pak ho ztratil, těžší? Nebo si myslí, že jste chytří a vyberete si jiné dveře, a nabídne vám tuto šanci, protože ví, že jste v první řadě uhodli správně a že budete uvězněni? Nebo je možná k sobě netypicky laskavý a tlačí na vás, abyste udělali něco ve vašem osobním zájmu, protože už nějakou dobu nedal auto a jeho producenti mu říkají, že se publikum nudí a že by měl raději dát velká cena brzy, aby hodnocení neklesalo?

Tímto způsobem se Montymu daří nabízet možnosti (někdy) a stále udržovat celkovou pravděpodobnost výhry na 1/3. Pamatujte, že pravděpodobnost, že prohrajete úplně, je 1/3. Pravděpodobnost, že uhodnete správně hned, je 1/3 a 50 % z těchto případů vyhrajete (1/3 x 1/2 = 1/6). Pravděpodobnost, že nejprve uhodnete špatně, ale pak budete mít šanci vybrat si jiné dveře, je 1/3 a 50 % z těchto případů vyhrajete (také 1/6). Sečtěte dvě nezávislé možnosti výhry a dostanete pravděpodobnost 1/3, takže ať už zůstanete u své volby nebo zvolíte jiné dveře, vaše celková pravděpodobnost výhry v průběhu hry je 1/3... pravděpodobnost se nezvýší než v situaci, kdy byste hádali dveře a moderátorka by vám ukázala, co je za těmito dveřmi, bez možnosti vybrat si jiné dveře! Smyslem nabídky možnosti vybrat si jiné dveře tedy není změnit pravděpodobnost, ale učinit rozhodovací proces zábavnějším sledováním v televizi.

Mimochodem, to je jeden z důvodů, proč může být poker tak zajímavý: ve většině formátů se mezi koly, kdy se sází (například flop, turn a river v Texas Hold'em), postupně odkrývají karty, a pokud na začátku hry máte jednu pravděpodobnost výhry, tak se po každém kole sázení, když se odhalí více karet, tato pravděpodobnost změní.

Paradox chlapce a dívky

To nás přivádí k dalšímu slavnému paradoxu, který obvykle každému vrtá hlavou – paradoxu chlapec-dívka. Jediná věc, o které dnes píšu a která přímo nesouvisí s hrami (i když to myslím znamená, že bych vás měl povzbudit k vytvoření příslušných herních mechanismů). Je to spíše hlavolam, ale zajímavý, a k jeho vyřešení je potřeba porozumět podmíněné pravděpodobnosti, o které jsme mluvili výše.

Problém: Mám přítele se dvěma dětmi, aspoň jeden dítě je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že druhé dítě Stejný dívka? Předpokládejme, že v každé rodině je pravděpodobnost 50/50 mít dívku nebo chlapce, a to platí pro každé dítě (ve skutečnosti někteří muži mají více spermií s chromozomem X nebo chromozomem Y, takže pravděpodobnost se mění trochu, pokud víte, že jedno dítě je dívka, pravděpodobnost, že budete mít holčičku, je o něco vyšší, navíc existují další podmínky, například hermafroditismus, ale abychom tento problém vyřešili, nebudeme to brát v úvahu a předpokládáme, že narození dítěte je nezávislá událost a pravděpodobnost narození chlapce nebo dívek je stejná).

Protože mluvíme o 1/2 šanci, intuitivně bychom očekávali, že odpověď bude pravděpodobně 1/2 nebo 1/4, nebo nějaké jiné kulaté číslo, které je násobkem dvou. Ale odpověď zní: 1/3 . Počkej, proč?

Potíž je v tom, že informace, které máme, snižují počet možností. Předpokládejme, že rodiče jsou fanoušky Sesame Street a bez ohledu na to, zda se dítě narodilo jako chlapec nebo dívka, pojmenovali své děti A a B. Za normálních podmínek existují čtyři stejně pravděpodobné možnosti: A a B jsou dva chlapci, A a B jsou dvě dívky, A je chlapec a B je dívka, A je dívka a B je chlapec. Protože to víme aspoň jeden dítě je dívka, můžeme vyloučit možnost, že A a B jsou dva chlapci, takže nám zbývají tři (stále stejně pravděpodobné) možnosti. Pokud jsou všechny možnosti stejně pravděpodobné a jsou tři, víme, že pravděpodobnost každé z nich je 1/3. Pouze v jedné z těchto tří možností jsou obě děti dívky, takže odpověď je 1/3.

A opět o paradoxu chlapce a dívky

Řešení problému se stává ještě nelogičtějším. Představte si, že vám řeknu, že můj přítel má dvě děti a jedno dítě - holčička, která se narodila v úterý. Předpokládejme, že za normálních podmínek je pravděpodobnost narození dítěte v jeden ze sedmi dnů v týdnu stejná. Jaká je pravděpodobnost, že i druhé dítě je dívka? Možná si myslíte, že odpověď bude stále 1/3; Jaký význam má úterý? Ale i v tomto případě nás intuice selhává. Odpovědět: 13/27 , což je nejen neintuitivní, je to velmi zvláštní. Co se děje v tomto případě?

Ve skutečnosti úterý mění pravděpodobnost, protože to nevíme Který dítě se narodilo v úterý nebo možná dvě děti narozen v úterý. V tomto případě použijeme stejnou logiku jako výše, počítáme všechny možné kombinace, když je alespoň jedno dítě dívka narozená v úterý. Stejně jako v předchozím příkladu předpokládejme, že jména dětí jsou A a B, kombinace vypadají takto:

• A je dívka, která se narodila v úterý, B je chlapec (v této situaci je 7 možností, jedna pro každý den v týdnu, kdy by se mohl narodit chlapec).
• B je dívka narozená v úterý, A je chlapec (také 7 možností).
• A je dívka, která se narodila v úterý, B je dívka, která se narodila dne další den v týdnu (6 možností).
• B je dívka, která se narodila v úterý, A je dívka, která se nenarodila v úterý (také 6 pravděpodobností).
• A a B jsou dvě holčičky, které se narodily v úterý (1 možnost, na to si musíte dát pozor, abyste se nepočítali dvakrát).

Sečteme a dostaneme 27 různých stejně možných kombinací narození dětí a dnů s alespoň jednou možností, že se v úterý narodí holčička. Z toho je 13 možností, kdy se narodí dvě holčičky. Zdá se to také zcela nelogické a zdá se, že tento úkol byl vytvořen jen proto, aby způsobil bolesti hlavy. Pokud jste stále zmateni tímto příkladem, herní teoretik Jesper Juhl má na svém webu dobré vysvětlení tohoto problému.

Pokud právě pracujete na hře...

Pokud je ve hře, kterou navrhujete, náhoda, je skvělý čas ji analyzovat. Vyberte prvek, který chcete analyzovat. Nejprve si položte otázku, jaká je pravděpodobnost pro daný prvek podle vašich očekávání, jaká by podle vás měla být v kontextu hry. Pokud například tvoříte RPG a zajímá vás, jaká by měla být pravděpodobnost, že se hráči podaří porazit monstrum v bitvě, zeptejte se sami sebe, jaké procento výhry vám připadá správné. Při hraní konzolových RPG se hráči obvykle velmi rozčilují, když prohrají, takže je nejlepší, když neprohrávají často... možná 10 % času nebo méně? Pokud jste RPG designér, pravděpodobně to víte lépe než já, ale musíte mít základní představu o tom, jaká by měla být pravděpodobnost.

Pak se zeptejte sami sebe, jestli je to něco závislý(jako karty) popř nezávislý(jako kostky). Analyzujte všechny možné výsledky a jejich pravděpodobnosti. Ujistěte se, že součet všech pravděpodobností je 100 %. A nakonec samozřejmě porovnejte své výsledky s výsledky vašich očekávání. Probíhá házení kostkou nebo tažení karet tak, jak jste zamýšleli, nebo vidíte, že je třeba upravit hodnoty? A samozřejmě, pokud vy najdete co je potřeba upravit, můžete stejnými výpočty určit, jak moc je třeba něco upravit!

Zadání domácího úkolu

Váš „domácí úkol“ tento týden vám pomůže vypilovat vaše schopnosti pravděpodobnosti. Zde jsou dvě kostkové hry a karetní hra, kterou budete analyzovat pomocí pravděpodobnosti, a také podivná herní mechanika, kterou jsem kdysi vyvinul a která bude testovat metodu Monte Carlo.

Hra #1 - Dračí kosti

Jedná se o kostkovou hru, kterou jsme kdysi s kolegy vymysleli (díky Jebu Havensovi a Jesse Kingovi!), a která svými pravděpodobnostmi přímo fouká lidem do hlavy. Jedná se o jednoduchou kasino hru s názvem „Dragon Dice“ a je to soutěž v hazardních kostkách mezi hráčem a domem. Dostanete normální kostku 1k6. Cílem hry je hodit číslo vyšší, než je číslo domu. Tom dostane nestandardní 1k6 - stejné jako vy, ale místo 1 na jedné straně je obrázek draka (takže kasino má kostku Draka - 2-3-4-5-6). Pokud dům získá draka, automaticky vyhrává a vy prohráváte. Pokud oba dostanete stejné číslo, je to nerozhodné a znovu hodíte kostkou. Vyhrává ten, kdo hodí nejvyšší číslo.

Vše samozřejmě nevychází úplně ve prospěch hráče, protože kasino má výhodu v podobě Dragon’s Edge. Ale je to opravdu pravda? To si musíte spočítat. Předtím ale zkontrolujte svou intuici. Řekněme, že výhry jsou 2 ku 1. Pokud tedy vyhrajete, ponecháte si sázku a získáte dvojnásobek své sázky. Pokud například vsadíte 1 dolar a vyhrajete, ponecháte si tento dolar a získáte 2 další navrch, celkem 3 dolary. Pokud prohrajete, prohrajete pouze svou sázku. Hráli byste? Máte tedy intuitivně pocit, že pravděpodobnost je větší než 2 ku 1, nebo si stále myslíte, že je menší? Jinými slovy, v průměru za 3 hry očekáváte, že vyhrajete více než jednou, nebo méně, nebo jednou?

Jakmile budete mít svou intuici vyřešenou, použijte matematiku. Pro obě kostky je pouze 36 možných pozic, takže je můžete bez problémů spočítat všechny. Pokud si touto nabídkou 2 za 1 nejste jisti, zvažte toto: Řekněme, že jste hru hráli 36krát (vždy vsadili 1 USD). Za každou výhru dostanete 2 dolary, za každou prohru 1 a remíza nic nemění. Spočítejte si všechny své pravděpodobné výhry a prohry a rozhodněte se, zda nějaké dolary prohrajete nebo získáte. Pak se zeptejte sami sebe, jak správná byla vaše intuice. A pak si uvědom, jaký jsem padouch.

A ano, pokud jste již nad touto otázkou přemýšleli - záměrně vás mate tím, že zkresluji skutečnou mechaniku kostkových her, ale jsem si jistý, že tuto překážku můžete překonat jen s trochou přemýšlení. Zkuste tento problém vyřešit sami. Všechny odpovědi sem zveřejním příští týden.

Hra č. 2 - Hoď pro štěstí

Jedná se o hazardní hru v kostky zvanou „Hoďte pro štěstí“ (také „Ptačí klec“, protože kostky se někdy neházejí, ale jsou umístěny ve velké drátěné kleci, která připomíná klec z „Binga“). Je to jednoduchá hra, která se v podstatě scvrkává na toto: Vsaďte řekněme 1 dolar na číslo od 1 do 6. Pak hodíte 3k6. Za každou kostku, která přistane vaše číslo, získáte 1 $ (a ponecháte si původní sázku). Pokud se vaše číslo neobjeví na žádné z kostek, kasino dostane váš dolar a vy nic. Pokud tedy vsadíte na 1 a dostanete 1 na stranách třikrát, získáte 3 $.

Intuitivně se zdá, že tato hra má stejné šance. Každá kostka je individuální šancí na výhru 1 ku 6, takže když sečtete všechny tři, vaše šance na výhru je 3 ku 6. Nezapomeňte však, že přidáváte tři samostatné kostky a smíte pouze přidat pokud mluvíme o samostatných výherních kombinacích stejné kostky. Něco, co budete muset znásobit.

Jakmile spočítáte všechny možné výsledky (pravděpodobně snazší to udělat v Excelu než ručně, protože jich je 216), hra na první pohled stále vypadá licho-sud. Ale ve skutečnosti má kasino stále větší šanci na výhru – o kolik víc? Konkrétně, kolik peněz v průměru očekáváte, že prohrajete každé kolo hry? Vše, co musíte udělat, je sečíst výhry a prohry všech 216 výsledků a poté vydělit 216, což by mělo být docela snadné... Ale jak vidíte, existuje několik pastí, do kterých můžete spadnout, a proto jsem Říkám vám: Pokud si myslíte, že tato hra má stejnou šanci na výhru, tak jste se mýlili.

Hra #3 – 5 Card Stud Poker

Pokud jste se již zahřáli u předchozích her, podívejme se, co víme o podmíněné pravděpodobnosti, na příkladu této karetní hry. Konkrétně si představme pokerovou hru s balíčkem 52 karet. Představme si také 5 card stud, kdy každý hráč dostane pouze 5 karet. Nemůžete odhodit kartu, nemůžete si líznout novou, neexistuje žádný sdílený balíček – dostanete pouze 5 karet.

Royal flush je 10-J-Q-K-A v jedné hře, celkem jsou čtyři, takže existují čtyři možné způsoby, jak získat královskou barvu. Vypočítejte pravděpodobnost, že dostanete jednu takovou kombinaci.

Musím vás varovat před jednou věcí: pamatujte, že těchto pět karet si můžete líznout v libovolném pořadí. To znamená, že nejprve si můžete vytáhnout eso nebo desítku, na tom nezáleží. Takže při výpočtu mějte na paměti, že ve skutečnosti existují více než čtyři způsoby, jak získat královskou barvu, za předpokladu, že karty byly rozdány v pořádku!

Hra č. 4 - Loterie IMF

Čtvrtý problém nelze tak snadno vyřešit pomocí metod, o kterých jsme dnes hovořili, ale situaci můžete snadno nasimulovat pomocí programování nebo Excelu. Právě na příkladu tohoto problému můžete vypracovat metodu Monte Carlo.

Již dříve jsem zmínil hru „Chron X“, na které jsem kdysi pracoval, a byla tam jedna velmi zajímavá karta – loterie MMF. Funguje to takto: použili jste to ve hře. Po skončení kola byly karty přerozděleny a existovala 10% šance, že karta bude mimo hru a že náhodný hráč obdrží 5 jednotek od každého typu zdroje, jehož žeton byl na dané kartě. Karta byla vložena do hry bez jediného žetonu, ale pokaždé, když zůstala ve hře na začátku dalšího kola, obdržela jeden žeton. Byla tedy 10% šance, že když ji dáte do hry, kolo skončí, karta opustí hru a nikdo nic nezíská. Pokud se tak nestane (90% šance), je 10% šance (ve skutečnosti 9%, protože je to 10% z 90%), že v příštím kole opustí hru a někdo získá 5 jednotek zdrojů. Pokud karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže pravděpodobnost je 8,1%), někdo dostane 10 jednotek, další kolo - 15, další - 20 a tak dále. Otázka: Jaká je obecná očekávaná hodnota počtu zdrojů, které získáte z této karty, když konečně opustí hru?

Normálně bychom se pokusili tento problém vyřešit nalezením možnosti každého výsledku a vynásobením počtem všech výsledků. Je tedy 10% šance, že dostanete 0 (0,1*0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotek zdrojů (9%*5 = 0,45 zdrojů). 8,1 % z toho, co získáte, je 10 (8,1 %*10 = 0,81 zdroje celkem, očekávaná hodnota). A tak dále. A pak bychom to všechno shrnuli.

A teď je problém pro vás zřejmý: vždy existuje šance, že karta Ne opustí hru, aby mohla zůstat ve hře navždy, na nekonečný počet kol, takže je možné počítat každou možnost neexistuje. Metody, které jsme se dnes naučili, nám neumožňují vypočítat nekonečnou rekurzi, takže ji budeme muset vytvořit uměle.

Pokud jste dostatečně dobří v programování, napište program, který bude tuto mapu simulovat. Měli byste mít časovou smyčku, která přivede proměnnou na počáteční pozici nuly, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravděpodobností proměnná smyčku opustí. V opačném případě přidá 5 k proměnné a cyklus se opakuje. Když konečně opustí smyčku, zvyšte celkový počet zkušebních běhů o 1 a celkový počet zdrojů (o kolik závisí na tom, kde proměnná skončí). Poté proměnnou resetujte a začněte znovu. Spusťte program několik tisíckrát. Nakonec vydělte celkový počet zdrojů celkovým počtem běhů – to bude vaše očekávaná hodnota Monte Carlo. Spusťte program několikrát, abyste se ujistili, že získaná čísla jsou zhruba stejná; pokud je rozptyl stále velký, zvyšte počet opakování ve vnější smyčce, dokud nezačnete získávat zápalky. Můžete si být jisti, že jakákoliv čísla, na která skončíte, budou přibližně správná.

Pokud se v programování nevyznáte (a i když ano), zde je krátké cvičení, které zahřeje vaše dovednosti v Excelu. Pokud jste herní designér, dovednosti Excelu nejsou nikdy na škodu.

Nyní se vám budou velmi hodit funkce IF a RAND. RAND nevyžaduje hodnoty, jen vyplivne náhodné desetinné číslo mezi 0 a 1. Obvykle to kombinujeme s FLOOR a plusy a minusy, abychom simulovali hod kostkou, což jsem zmínil dříve. V tomto případě však ponecháváme jen 10% šanci, že karta opustí hru, takže můžeme jen zkontrolovat, zda je hodnota RAND menší než 0,1 a už se o to nestarat.

IF má tři významy. V pořadí: podmínka, která je buď pravdivá nebo nepravdivá, pak hodnota, která je vrácena, pokud je podmínka pravdivá, a hodnota, která je vrácena, pokud je podmínka nepravdivá. Následující funkce tedy vrátí 5 % času a 0 zbývajících 90 % času:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Existuje mnoho způsobů, jak nastavit tento příkaz, ale použil bych tento vzorec pro buňku, která představuje první kolo, řekněme, že je to buňka A1:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

Zde používám zápornou proměnnou ve smyslu „tato karta neopustila hru a ještě se nevzdala žádných zdrojů“. Pokud tedy první kolo skončí a karta opustí hru, A1 je 0; jinak je -1.

Pro další buňku představující druhé kolo:

IF(A1>-1; A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Pokud tedy skončilo první kolo a karta okamžitě opustila hru, A1 je 0 (počet zdrojů) a tato buňka tuto hodnotu jednoduše zkopíruje. V opačném případě je A1 -1 (karta ještě neopustila hru) a tato buňka se nadále pohybuje náhodně: 10 % času vrátí 5 jednotek zdrojů, po zbytek času bude její hodnota stále rovna -1. Pokud použijeme tento vzorec na další buňky, získáme další kola a podle toho, u které buňky skončíte, získáte konečný výsledek (nebo -1, pokud karta po všech odehraných kolech nikdy neopustila hru).

Vezměte řádek buněk, který představuje jediné kolo s touto kartou, a zkopírujte a vložte několik set (nebo tisíc) řádků. Možná to nedokážeme nekonečný test pro Excel (v tabulce je omezený počet buněk), ale alespoň můžeme pokrýt většinu případů. Poté vyberte jednu buňku, do které umístíte průměr výsledků všech kol (Excel k tomu laskavě poskytuje funkci AVERAGE()).

Ve Windows můžete alespoň stisknutím F9 přepočítat všechna náhodná čísla. Stejně jako předtím to udělejte několikrát a zjistěte, zda jsou hodnoty, které získáte, stejné. Pokud je rozptyl příliš velký, zdvojnásobte počet spuštění a zkuste to znovu.

Nevyřešené problémy

Pokud máte náhodou titul z Pravděpodobnosti a výše uvedené problémy se vám zdají příliš snadné, zde jsou dva problémy, nad kterými jsem se škrábal v hlavě už léta, ale bohužel nejsem dost dobrý v matematice, abych je vyřešil. Pokud náhodou znáte řešení, napište ho sem do komentářů, rád si ho přečtu.

Nevyřešený problém č. 1: LoterieMMF

Prvním nevyřešeným problémem je předchozí domácí úkol. Mohu snadno aplikovat metodu Monte Carlo (pomocí C++ nebo Excelu) a být si jistý odpovědí na otázku „kolik zdrojů hráč obdrží“, ale nevím přesně, jak přesně matematicky poskytnout přesnou prokazatelnou odpověď (je to nekonečná řada). Pokud znáte odpověď, dejte ji sem... po otestování s Monte Carlem, samozřejmě.

Nevyřešený problém č. 2: Posloupnosti obrázků

Tento problém (a opět dalece přesahuje rámec problémů řešených v tomto blogu) mi před více než 10 lety zadal kamarád hráče. Při hraní blackjacku ve Vegas si všiml zajímavé věci: když vytáhl karty z osmidílné boty, viděl deset figurky v řadě (figurka nebo lícová karta - 10, Žolík, král nebo královna, takže ve standardním balíčku o 52 kartách je jich celkem 16, v botě se 416 kartami je jich tedy 128). Jaká je pravděpodobnost, že v této botě alespoň jedna sekvence z deseti nebo vícečísla? Předpokládejme, že byly zamíchány spravedlivě, v náhodném pořadí. (Nebo, chcete-li, jaká je pravděpodobnost, že nikde nenalezen sekvence deseti nebo více číslic?)

Úkol si můžeme zjednodušit. Zde je sekvence 416 dílů. Každá část je 0 nebo 1. V celé sekvenci je náhodně rozptýleno 128 jedniček a 288 nul. Kolika způsoby je možné náhodně proložit 128 jedniček 288 nulami a kolikrát těmito způsoby bude alespoň jedna skupina deseti nebo více jedniček?

Pokaždé, když jsem tento problém začal řešit, zdálo se mi to snadné a samozřejmé, ale jakmile jsem se pustil do detailů, najednou se to rozpadlo a zdálo se mi to prostě nemožné. Nespěchejte tedy s vyřčením odpovědi: posaďte se, pečlivě se zamyslete, prostudujte si podmínky problému, zkuste zapojit reálná čísla, protože všichni lidé, se kterými jsem o tomto problému mluvil (včetně několika postgraduálních studentů pracujících v této oblasti ) reagoval přibližně stejně: "Je to zcela zřejmé... oh, ne, počkat, to vůbec není zřejmé." To je právě ten případ, pro který nemám metodu pro výpočet všech možností. Určitě bych mohl hrubě vynutit problém pomocí počítačového algoritmu, ale mnohem víc by mě zajímalo, jak tento problém vyřešit matematicky.

Překlad - Y. Tkachenko, I. Mikheeva