Integrály najdou plochu obrazce ohraničenou čarami. Jak vypočítat plochu rovinného obrazce pomocí dvojitého integrálu

A)

Řešení.

Prvním a nejdůležitějším bodem při rozhodování je kreslení.

Udělejme nákres:

Rovnice y=0 nastaví osu „x“;

- x=-2 A x=1- rovné, rovnoběžné s osou OU;

- y=x 2 +2 - parabola, jejíž větve směřují vzhůru, s vrcholem v bodě (0;2).

Komentář. Pro sestrojení paraboly stačí najít body jejího průsečíku se souřadnicovými osami, tzn. uvedení x=0 najít průsečík s osou OU a řešením odpovídající kvadratické rovnice najděte průsečík s osou Ach .

Vrchol paraboly lze najít pomocí vzorců:

Můžete také vytvářet čáry bod po bodu.

Na intervalu [-2;1] graf funkce y=x2+2 umístěný nad osou Vůl, Proto:

Odpovědět: S= 9 čtverečních jednotek

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ počítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Co dělat, když se pod osou nachází zakřivený lichoběžník Ach?

b) Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y=-e x , x=1 a souřadnicové osy.

Řešení.

Udělejme nákres.

Pokud je zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou Ach , pak jeho oblast lze najít pomocí vzorce:

Odpovědět: S=(e-1) jednotek čtverečních" 1,72 jednotek čtverečních

Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji postava nachází jak v horní, tak v dolní polorovině.

c) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou čarami y=2x-x2, y=-x.

Řešení.

Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Pojďme najít průsečíky paraboly a rovný To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická.

Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace a=0, horní hranice integrace b=3 .

Můžete konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální).

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou ​​dole.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět: S= 4,5 čtverečních jednotek

Aplikace integrálu při řešení aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojité nezáporné funkce f(x) se numericky rovná ploše křivočarého lichoběžníku ohraničeného křivkou y = f(x), osou O x a přímkami x = a a x = b. V souladu s tím je plošný vzorec zapsán takto:

Podívejme se na některé příklady výpočtu ploch rovinných obrazců.

Úkol č. 1. Vypočítejte plochu ohraničenou přímkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Řešení. Sestrojme obrazec, jehož plochu budeme muset vypočítat.

y = x 2 + 1 je parabola, jejíž větve směřují nahoru a parabola je posunuta nahoru o jednu jednotku vzhledem k ose O y (obrázek 1).

Obrázek 1. Graf funkce y = x 2 + 1

Úkol č. 2. Vypočítejte plochu ohraničenou úsečkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Řešení. Grafem této funkce je parabola větví, které směřují nahoru a parabola je posunuta vzhledem k ose O y dolů o jednu jednotku (obrázek 2).

Obrázek 2. Graf funkce y = x 2 – 1

Úkol č. 3. Nakreslete a vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Řešení. První z těchto dvou přímek je parabola, jejíž větve směřují dolů, protože koeficient x 2 je záporný, a druhá přímka je přímka protínající obě souřadnicové osy.

Pro sestrojení paraboly najdeme souřadnice jejího vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho pořadnice, N(1;9) je vrchol.

Nyní najdeme průsečíky paraboly a přímky řešením soustavy rovnic:

Vyrovnání pravých stran rovnice, jejíž levé strany jsou stejné.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 nebo x 2 – 12 = 0, odkud .

Body jsou tedy průsečíky paraboly a přímky (obrázek 1).

Obrázek 3 Grafy funkcí y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Sestrojme přímku y = 2x – 4. Prochází body (0;-4), (2;0) na souřadnicových osách.

Pro sestrojení paraboly lze použít i její průsečíky s osou 0x, tedy kořeny rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 nebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocí Vietovy věty je snadné najít jeho kořeny: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázek 3 ukazuje obrazec (parabolický segment M 1 N M 2) ohraničený těmito přímkami.

Druhou částí problému je najít oblast tohoto obrázku. Jeho obsah lze zjistit pomocí určitého integrálu podle vzorce .

Ve vztahu k této podmínce získáme integrál:

2 Výpočet objemu rotačního tělesa

Objem tělesa získaný z rotace křivky y = f(x) kolem osy O x se vypočte podle vzorce:

Při otáčení kolem osy O y vzorec vypadá takto:

Úkol č. 4. Určete objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného přímkami x = 0 x = 3 a křivkou y = kolem osy O x.

Řešení. Nakreslíme obrázek (obrázek 4).

Obrázek 4. Graf funkce y =

Požadovaný objem je

Úkol č. 5. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného křivkou y = x 2 a přímkami y = 0 a y = 4 kolem osy O y.

Řešení. My máme:

Kontrolní otázky

V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme dostali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b].

Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení relativně jednoduchých problémů. Ve skutečnosti budeme muset často pracovat se složitějšími figurami. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y).

Nechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na intervalu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b]. Pak vzorec pro výpočet plochy obrázku G, ohraničeného přímkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude vypadat jako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Podobný vzorec bude platit pro plochu obrazce ohraničenou úsečkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Důkaz

Podívejme se na tři případy, pro které bude vzorec platit.

V prvním případě, s ohledem na vlastnost aditivity plochy, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G 1 rovná ploše obrázku G 2. Znamená to, že

Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.

Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornění bude vypadat takto:

Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:

Přejdeme k obecnému případu, kdy y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x.

Průsečíky označíme jako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tyto body rozdělují segment [a; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Proto,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.

Ukažme si obecný případ na grafu.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.

Nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny úsečkami y = f (x) a x = g (y).

Uvažování o kterémkoli z příkladů začneme sestrojením grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité tvary jako spojení jednodušších tvarů. Pokud je pro vás konstruování grafů a obrázků na nich obtížné, můžete si při studiu funkce prostudovat část o základních elementárních funkcích, geometrické transformaci grafů funkcí a také o sestrojování grafů.

Příklad 1

Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Řešení

Nakreslete čáry do grafu v kartézské soustavě souřadnic.

Na segmentu [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou ​​y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohledu k získání odpovědi použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu výpočtu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpověď: S(G) = 13

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 2

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Řešení

V tomto případě máme pouze jednu přímku umístěnou rovnoběžně s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhou hranici integrace.

Sestavme graf a nakreslete do něj čáry uvedené v zadání problému.

Když máme graf před očima, snadno určíme, že spodní hranicí integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2. K nalezení úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.

Upozorňujeme na skutečnost, že v obecném příkladu na výkresu se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2; 2), takže takto podrobné výpočty se mohou zdát zbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve složitějších případech nemusí být řešení tak zřejmé. To znamená, že je vždy lepší vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.

Na intervalu [ 2 ; 7] nad grafem funkce y = x + 2 je umístěn graf funkce y = x. Pro výpočet plochy použijeme vzorec:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpověď: S (G) = 59 6

Příklad 3

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Řešení

Nakreslíme čáry do grafu.

Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že dáme rovnítko mezi výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za předpokladu, že x není nula, se rovnost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficienty. Chcete-li si osvěžit paměť na algoritmus pro řešení takových rovnic, můžeme se podívat na část „Řešení kubických rovnic“.

Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, ve kterém je číslice G obsažena nad modrou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast obrázku:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpověď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Příklad 4

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou úsečky.

Řešení

Vynesme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme o jednotku nahoru. Rovnice na ose x je y = 0.

Označme průsečíky čar.

Jak je z obrázku patrné, grafy funkcí y = x 3 a y = 0 se protínají v bodě (0; 0). To se děje proto, že x = 0 je jediný skutečný kořen rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0, takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2; 0).

x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y = x 3 a y = - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1). Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 = - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y = x 3 je striktně rostoucí a funkce y = - log 2 x + 1 je přísně klesající.

Další řešení zahrnuje několik možností.

Možnost 1

Obrázek G si můžeme představit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou x, z nichž první je umístěn pod střední osou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost č. 2

Obrázek G lze znázornit jako rozdíl dvou obrázků, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To nám umožňuje najít oblast následovně:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto případě k nalezení oblasti budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.

Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získáme požadovanou oblast:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Příklad 5

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Řešení

Červenou čarou vyneseme čáru definovanou funkcí y = x. Čáru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modře a čáru y = 2 3 x - 3 černě.

Označme průsečíky.

Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrola: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Je řešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4

Najdeme průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je řešení rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnice nemá řešení

Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metoda č. 1

Představme si plochu požadovaného obrazce jako součet ploch jednotlivých obrazců.

Pak je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda č. 2

Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dvou dalších obrázků.

Poté vyřešíme rovnici přímky vzhledem k x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Oblast je tedy:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak vidíte, hodnoty jsou stejné.

Odpověď: S (G) = 11 3

Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme sestrojit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec k nalezení oblasti. V této části jsme zkoumali nejběžnější varianty úloh.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Jak vložit matematické vzorce na web?

Pokud někdy budete potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ten, který je popsán v článku: matematické vzorce lze snadno vložit na web ve formě obrázků, které automaticky generuje Wolfram Alpha . Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale už je morálně zastaralé.

Pokud na svém webu pravidelně používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji používat MathJax – speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.

Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své webové stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) stáhněte si skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob – složitější a časově náročnější – urychlí načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první metodu, protože je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a za pouhých 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.

Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo na stránce dokumentace:

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.

Jakýkoli fraktál je konstruován podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.

Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Výsledkem je sada skládající se ze zbývajících 20 menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, dostaneme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.

Začneme uvažovat o vlastním procesu výpočtu dvojného integrálu a seznámíme se s jeho geometrickým významem.

Dvojný integrál se numericky rovná ploše rovinného útvaru (oblast integrace). Toto je nejjednodušší forma dvojitého integrálu, kdy funkce dvou proměnných je rovna jedné: .

Nejprve se podívejme na problém v obecné podobě. Nyní budete docela překvapeni, jak je všechno ve skutečnosti jednoduché! Vypočítejme plochu ploché postavy ohraničenou čarami. Pro jistotu předpokládáme, že na segmentu . Plocha tohoto obrázku se číselně rovná:

Znázorněme oblast na výkresu:

Zvolme první způsob, jak oblast projet:

Tím pádem:

A hned důležitý technický trik: opakované integrály lze vypočítat samostatně. Nejprve vnitřní integrál, pak vnější integrál. Tuto metodu vřele doporučuji začátečníkům v oboru.

1) Vypočítejme vnitřní integrál a integrace se provede přes proměnnou „y“:

Nejjednodušší je zde neurčitý integrál a pak se používá banální Newton-Leibnizův vzorec, jen s tím rozdílem, že limity integrace nejsou čísla, ale funkce. Nejprve jsme dosadili horní mez do „y“ (antiderivační funkce), poté dolní mez

2) Výsledek získaný v prvním odstavci musí být dosazen do externího integrálu:

Kompaktnější znázornění celého řešení vypadá takto:

Výsledný vzorec je přesně pracovní vzorec pro výpočet plochy rovinného útvaru pomocí „obyčejného“ určitého integrálu! Podívejte se na lekci Výpočet plochy pomocí určitého integrálu, tam je to na každém kroku!

Tedy problém výpočtu plochy pomocí dvojitého integrálu ne moc odlišné z problému hledání oblasti pomocí určitého integrálu! Ve skutečnosti je to to samé!

Proto by neměly nastat žádné potíže! Nebudu se dívat na mnoho příkladů, protože ve skutečnosti jste se s tímto úkolem opakovaně setkali.

Příklad 9

Řešení: Znázorněme oblast na výkresu:

Zvolme následující pořadí procházení oblasti:

Zde a dále se nebudu zdržovat tím, jak oblast procházet, protože velmi podrobná vysvětlení byla uvedena v prvním odstavci.

Tím pádem:

Jak jsem již poznamenal, pro začátečníky je lepší počítat iterované integrály samostatně a já se budu držet stejné metody:

1) Nejprve se pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce zabýváme vnitřním integrálem:

2) Výsledek získaný v prvním kroku se dosadí do externího integrálu:

Bod 2 je vlastně nalezení plochy rovinného obrazce pomocí určitého integrálu.

Odpovědět:

To je tak hloupý a naivní úkol.

Zajímavý příklad nezávislého řešení:

Příklad 10

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami , ,

Přibližný příklad konečného řešení na konci lekce.

V příkladech 9-10 je mnohem výhodnější použít první způsob procházení oblasti, zvědaví čtenáři si mimochodem mohou změnit pořadí procházení a vypočítat plochy pomocí druhého způsobu. Pokud neuděláte chybu, pak přirozeně získáte stejné hodnoty plochy.

Ale v některých případech je druhý způsob procházení oblasti efektivnější a na konci kurzu mladého pitomce se podívejme na několik dalších příkladů na toto téma:

Příklad 11

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami,

Řešení: těšíme se na dvě paraboly s quirkem, které leží na jejich stranách. Není třeba se usmívat, podobné věci se ve vícenásobných integrálech vyskytují poměrně často.

Jaký je nejjednodušší způsob, jak vytvořit kresbu?

Představme si parabolu ve formě dvou funkcí:
– horní větev a – spodní větev.

Podobně si představte parabolu v podobě horní a dolní větví.

Dále bodové vykreslování pravidel grafů, což má za následek takový bizarní obrázek:

Vypočítáme plochu obrázku pomocí dvojitého integrálu podle vzorce:

Co se stane, když zvolíme první způsob procházení území? Nejprve bude nutné tuto oblast rozdělit na dvě části. A za druhé, uvidíme tento smutný obrázek: . Integrály samozřejmě nejsou na superkomplikované úrovni, ale... staré matematické přísloví říká: kdo má blízko ke kořenům, nepotřebuje test.

Proto z nedorozumění uvedeného v podmínce vyjádříme inverzní funkce:

Inverzní funkce v tomto příkladu mají tu výhodu, že specifikují celou parabolu najednou bez jakýchkoli listů, žaludů, větví a kořenů.

Podle druhé metody bude procházení oblasti následující:

Tím pádem:

Jak se říká, cítit ten rozdíl.

1) Zabýváme se vnitřním integrálem:

Výsledek dosadíme do vnějšího integrálu:

Integrace přes proměnnou „y“ by neměla být matoucí, pokud by tam bylo písmeno „zy“, bylo by skvělé přes ni integrovat. I když každý, kdo četl druhý odstavec lekce Jak vypočítat objem rotačního tělesa, již nezažívá sebemenší trapas s integrací metodou „Y“.

Věnujte také pozornost prvnímu kroku: integrand je sudý a interval integrace je symetrický k nule. Proto lze segment rozpůlit a výsledek lze zdvojnásobit. Tato technika je podrobně komentována v lekci Efektivní metody výpočtu určitého integrálu.

Co dodat…. Všechno!

Odpovědět:

Chcete-li otestovat svou integrační techniku, můžete zkusit vypočítat . Odpověď by měla být úplně stejná.

Příklad 12

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Zajímavostí je, že pokud zkusíte použít první způsob procházení plochy, figurka se již nebude muset dělit na dvě, ale na tři části! A podle toho dostaneme tři páry opakovaných integrálů. Někdy se to stane.

Mistrovská třída skončila a je čas přejít na velmistrovskou úroveň - Jak vypočítat dvojitý integrál? Příklady řešení. V druhém článku se pokusím nebýt tak šílený =)

Přeji ti úspěch!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2:Řešení: Pojďme si oblast znázornit na výkresu:

Zvolme následující pořadí procházení oblasti:

Tím pádem:
Pojďme k inverzním funkcím:


Tím pádem:
Odpovědět:

Příklad 4:Řešení: Pojďme k přímým funkcím:


Udělejme nákres:

Změňme pořadí procházení oblasti:

Odpovědět: