Jak vyřešit rovnici, pokud je diskriminant nulový. Hledání diskriminantu, vzorec, srovnání s nulou
Doufám, že po prostudování tohoto článku se naučíte, jak najít kořeny úplné kvadratické rovnice.
Pomocí diskriminantu se řeší pouze úplné kvadratické rovnice, k řešení neúplných kvadratických rovnic se používají jiné metody, které najdete v článku „Řešení neúplných kvadratických rovnic“.
Které kvadratické rovnice se nazývají úplné? Tento rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c se nerovnají nule. Abychom mohli vyřešit úplnou kvadratickou rovnici, musíme vypočítat diskriminant D.
D = b 2 – 4ac.
Podle hodnoty diskriminantu zapíšeme odpověď.
Pokud je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.
Pokud je diskriminant nulový, pak x = (-b)/2a. Když je diskriminant kladné číslo (D > 0),
potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.
Například. Vyřešte rovnici x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpověď: 2.
Vyřešte rovnici 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpověď: žádné kořeny.
Vyřešte rovnici 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpověď: – 3,5; 1.
Představme si tedy řešení úplných kvadratických rovnic pomocí diagramu na obrázku 1.
Pomocí těchto vzorců můžete vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici. Jen je potřeba si dávat pozor rovnice byla zapsána jako polynom standardního tvaru
A x 2 + bx + c, jinak můžete udělat chybu. Například při psaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 se můžete mylně rozhodnout, že
a = 1, b = 3 a c = 2. Potom
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a pak má rovnice dva kořeny. A to není pravda. (Viz řešení příkladu 2 výše).
Pokud tedy rovnice není zapsána jako polynom standardního tvaru, musí být nejprve úplná kvadratická rovnice zapsána jako polynom standardního tvaru (monomial s největším exponentem by měl být na prvním místě, tzn. A x 2 , pak s méně – bx a poté volný člen S.
Při řešení redukované kvadratické rovnice a kvadratické rovnice se sudým koeficientem ve druhém členu můžete použít jiné vzorce. Pojďme se s těmito vzorci seznámit. Pokud v úplné kvadratické rovnici má druhý člen sudý koeficient (b = 2k), můžete rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 2.
Úplná kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud koeficient at x 2 se rovná jedné a rovnice má tvar x 2 + px + q = 0. Takovou rovnici je možné dát k řešení, nebo ji získat vydělením všech koeficientů rovnice koeficientem A, stojící na x 2 .
Obrázek 3 ukazuje schéma řešení zmenšeného čtverce 
rovnic. Podívejme se na příklad použití vzorců probíraných v tomto článku.
Příklad. Vyřešte rovnici
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3
Můžete si všimnout, že koeficient x v této rovnici je sudé číslo, to znamená b = 6 nebo b = 2k, odkud k = 3. Pak zkusme rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3. Když si všimneme, že všechny koeficienty v této kvadratické rovnici jsou dělitelné 3 a provedeme dělení, dostaneme redukovanou kvadratickou rovnici x 2 + 2x – 2 = 0 Vyřešte tuto rovnici pomocí vzorců pro redukovanou kvadratickou rovnici 
rovnice obrázek 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3.
Jak vidíte, při řešení této rovnice pomocí různých vzorců jsme dostali stejnou odpověď. Proto po důkladném zvládnutí vzorců znázorněných na diagramu na obrázku 1 budete vždy schopni vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Diskriminant umožňuje vyřešit jakoukoli kvadratickou rovnici pomocí obecného vzorce, který má následující tvar:
Diskriminační vzorec závisí na stupni polynomu. Výše uvedený vzorec je vhodný pro řešení kvadratických rovnic následujícího tvaru:
Diskriminant má následující vlastnosti, které potřebujete vědět:
* "D" je 0, když má polynom více kořenů (stejné kořeny);
* "D" je symetrický polynom s ohledem na kořeny polynomu a je proto ve svých koeficientech polynom; navíc koeficienty tohoto polynomu jsou celá čísla bez ohledu na rozšíření, ve kterém jsou kořeny brány.
Řekněme, že máme kvadratickou rovnici následujícího tvaru:
1 rovnice
Podle vzorce máme:
Od \ má rovnice 2 kořeny. Pojďme si je definovat:
Kde mohu vyřešit rovnici pomocí diskriminačního online řešitele?
Rovnici můžete vyřešit na našem webu https://site. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Můžete se také podívat na video návod a zjistit, jak rovnici vyřešit na našem webu. A pokud máte nějaké dotazy, můžete se jich zeptat v naší skupině VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Přidejte se k naší skupině, vždy vám rádi pomůžeme.
První úroveň
Kvadratické rovnice. Komplexní průvodce (2019)
V termínu „kvadratická rovnice“ je klíčové slovo „kvadratická“. To znamená, že rovnice musí nutně obsahovat proměnnou (totéž x) na druhou a nemělo by existovat xes na třetí (nebo větší) mocninu.
Řešení mnoha rovnic spočívá v řešení kvadratických rovnic.
Naučme se určit, že se jedná o kvadratickou rovnici a ne o nějakou jinou rovnici.
Příklad 1
Zbavme se jmenovatele a vynásobme každý člen rovnice
Přesuňme vše na levou stranu a uspořádejme členy sestupně podle mocnin X
Nyní můžeme s jistotou říci, že tato rovnice je kvadratická!
Příklad 2
Vynásobte levou a pravou stranu:
Tato rovnice, ačkoliv v ní původně byla, není kvadratická!
Příklad 3
Vše vynásobme:
děsivé? Čtvrtý a druhý stupeň... Pokud však provedeme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchou kvadratickou rovnici:
Příklad 4.
Zdá se, že tam je, ale pojďme se na to podívat blíže. Přesuneme vše na levou stranu:
Vidíte, je to zmenšené – a teď je to jednoduchá lineární rovnice!
Nyní zkuste sami určit, které z následujících rovnic jsou kvadratické a které ne:
Příklady:
Odpovědi:
- náměstí;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- náměstí.
Matematici konvenčně rozdělují všechny kvadratické rovnice do následujících typů:
- Kompletní kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficienty a stejně jako volný člen c nerovnají nule (jako v příkladu). Kromě toho mezi úplnými kvadratickými rovnicemi existují daný- jedná se o rovnice, ve kterých je koeficient (rovnice z příkladu 1 nejen kompletní, ale i redukovaný!)
- Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
Jsou neúplné, protože v nich chybí nějaký prvek. Ale rovnice musí vždy obsahovat x na druhou!!! Jinak to už nebude kvadratická rovnice, ale nějaká jiná rovnice.
Proč přišli s takovým rozdělením? Zdálo by se, že existuje X na druhou, a dobře. Toto rozdělení je určeno metodami řešení. Podívejme se na každou z nich podrobněji.
Řešení neúplných kvadratických rovnic
Nejprve se zaměřme na řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou mnohem jednodušší!
Existují typy neúplných kvadratických rovnic:
- , v této rovnici je koeficient roven.
- , v této rovnici je volný člen roven.
- , v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
1. i. Protože víme, jak vzít druhou odmocninu, vyjádřeme se z této rovnice
Výraz může být negativní nebo pozitivní. Druhé číslo nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo, takže: pokud, pak rovnice nemá řešení.
A pokud, pak dostaneme dva kořeny. Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc je, že musíte vědět a vždy si pamatovat, že to nemůže být méně.
Zkusme vyřešit nějaké příklady.
Příklad 5:
Vyřešte rovnici
Nyní zbývá pouze vytáhnout kořen z levé a pravé strany. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny?
Odpovědět:
Nikdy nezapomínejte na kořeny se záporným znaménkem!!!
Příklad 6:
Vyřešte rovnici
Odpovědět:
Příklad 7:
Vyřešte rovnici
Ach! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny!
Pro takové rovnice, které nemají kořeny, přišli matematici se speciální ikonou - (prázdná množina). A odpověď lze napsat takto:
Odpovědět:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme nevytáhli kořen.
Příklad 8:
Vyřešte rovnici
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Tím pádem,
Tato rovnice má dva kořeny.
Odpovědět:
Nejjednodušší typ neúplných kvadratických rovnic (ačkoli jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Zde se obejdeme bez příkladů.
Řešení úplných kvadratických rovnic
Připomínáme, že úplná kvadratická rovnice je rovnice tvaru rovnice kde
Řešení úplných kvadratických rovnic je trochu obtížnější (jen trochu) než tyto.
Pamatovat si, Libovolnou kvadratickou rovnici lze vyřešit pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Ostatní metody vám pomohou to udělat rychleji, ale pokud máte problémy s kvadratickými rovnicemi, nejprve si osvojte řešení pomocí diskriminantu.
1. Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu.
Řešení kvadratických rovnic pomocí této metody je velmi jednoduché, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců.
Pokud, pak rovnice má kořen. Musíte věnovat zvláštní pozornost kroku. Diskriminant () nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak se vzorec v kroku zmenší na. Rovnice tedy bude mít pouze kořen.
- Pokud, pak nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Vraťme se k našim rovnicím a podívejme se na některé příklady.
Příklad 9:
Vyřešte rovnici
Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má dva kořeny.
Krok 3
Odpovědět:
Příklad 10:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má jeden kořen.
Odpovědět:
Příklad 11:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2.
Najdeme diskriminační:
To znamená, že nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu. Neexistují žádné kořeny rovnice.
Nyní víme, jak takové odpovědi správně zapsat.
Odpovědět:žádné kořeny
2. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.
Pokud si pamatujete, existuje typ rovnice, který se nazývá redukovaný (když koeficient a je roven):
Takové rovnice lze velmi snadno vyřešit pomocí Vietovy věty:
Součet kořenů daný kvadratická rovnice se rovná a součin kořenů se rovná.
Příklad 12:
Vyřešte rovnici
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože .
Součet kořenů rovnice je roven, tzn. dostaneme první rovnici:
A produkt se rovná:
Pojďme složit a vyřešit systém:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Odpovědět: ; .
Příklad 13:
Vyřešte rovnici
Odpovědět:
Příklad 14:
Vyřešte rovnici
Rovnice je dána, což znamená:
Odpovědět:
KVADRATICKÉ ROVNICE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ
Co je to kvadratická rovnice?
Jinými slovy, kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde - neznámá, - nějaká čísla a.
Číslo se nazývá nejvyšší resp první koeficient kvadratická rovnice, - druhý koeficient, A - volný člen.
Proč? Protože pokud se rovnice okamžitě stane lineární, protože zmizí.
V tomto případě a může být rovno nule. V této židli se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny termíny na svém místě, to znamená, že rovnice je kompletní.
Řešení různých typů kvadratických rovnic
Metody řešení neúplných kvadratických rovnic:
Nejprve se podívejme na metody řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou jednodušší.
Můžeme rozlišit následující typy rovnic:
I., v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
II. , v této rovnici je koeficient roven.
III. , v této rovnici je volný člen roven.
Nyní se podívejme na řešení každého z těchto podtypů.
Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Druhé číslo nemůže být záporné, protože když vynásobíte dvě záporná nebo dvě kladná čísla, výsledkem bude vždy kladné číslo. Proto:
jestliže, pak rovnice nemá řešení;
máme-li dva kořeny
Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc k zapamatování je, že to nemůže být méně.
Příklady:
Řešení:
Odpovědět:
Nikdy nezapomeňte na kořeny se záporným znaménkem!
Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny.
Abychom stručně zapsali, že problém nemá řešení, použijeme ikonu prázdné sady.
Odpovědět:
Takže tato rovnice má dva kořeny: a.
Odpovědět:
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To znamená, že rovnice má řešení, když:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny: a.
Příklad:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rozložme levou stranu rovnice a najdeme kořeny:
Odpovědět:
Metody řešení úplných kvadratických rovnic:
1. Diskriminační
Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je snadné, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců. Pamatujte, že každá kvadratická rovnice může být vyřešena pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Všimli jste si kořene z diskriminantu ve vzorci pro odmocniny? Ale diskriminant může být negativní. Co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost kroku 2. Diskriminant nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak má rovnice kořeny:
- Pokud, pak má rovnice stejné kořeny a ve skutečnosti jeden kořen:
Takové kořeny se nazývají dvojité kořeny.
- Pokud, pak kořen diskriminantu není extrahován. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Proč jsou možné různé počty kořenů? Vraťme se ke geometrickému významu kvadratické rovnice. Grafem funkce je parabola:
Ve speciálním případě, kterým je kvadratická rovnice, . To znamená, že kořeny kvadratické rovnice jsou průsečíky s osou úsečky (osa). Parabola nemusí osu protínat vůbec, nebo ji může protínat v jednom (když vrchol paraboly leží na ose) nebo dvou bodech.
Kromě toho je koeficient zodpovědný za směr větví paraboly. Jestliže, pak větve paraboly směřují nahoru a jestliže, pak dolů.
Příklady:
Řešení:
Odpovědět:
Odpovědět: .
Odpovědět:
To znamená, že neexistují žádná řešení.
Odpovědět: .
2. Vietova věta
Je velmi snadné použít Vietovu větu: stačí vybrat dvojici čísel, jejichž součin se rovná volnému členu rovnice a součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem.
Je důležité si uvědomit, že Vietův teorém lze použít pouze v redukované kvadratické rovnice ().
Podívejme se na několik příkladů:
Příklad č. 1:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože . Další koeficienty: ; .
Součet kořenů rovnice je:
A produkt se rovná:
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a zkontrolujeme, zda se jejich součet rovná:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Tak a jsou kořeny naší rovnice.
Odpovědět: ; .
Příklad č. 2:
Řešení:
Vyberme dvojice čísel, které dávají v součinu, a pak zkontrolujte, zda se jejich součet rovná:
a: dávají celkem.
a: dávají celkem. K získání stačí jednoduše změnit znaky předpokládaných kořenů: a koneckonců i produkt.
Odpovědět:
Příklad č. 3:
Řešení:
Volný člen rovnice je záporný, a proto je součin kořenů záporné číslo. To je možné pouze v případě, že jeden z kořenů je záporný a druhý kladný. Součet kořenů je tedy roven rozdíly jejich modulů.
Vyberme dvojice čísel, které dávají součin a jejichž rozdíl je roven:
a: jejich rozdíl je stejný - nesedí;
a: - nevhodné;
a: - nevhodné;
a: - vhodné. Nezbývá než si připomenout, že jeden z kořenů je negativní. Protože jejich součet se musí rovnat, odmocnina s menším modulem musí být záporná: . Kontrolujeme:
Odpovědět:
Příklad č. 4:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Volný člen je záporný, a proto je součin kořenů záporný. A to je možné pouze tehdy, když je jeden kořen rovnice záporný a druhý kladný.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a pak určíme, které kořeny by měly mít záporné znaménko:
Je zřejmé, že pouze kořeny a jsou vhodné pro první podmínku:
Odpovědět:
Příklad č. 5:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Součet kořenů je záporný, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je záporný. Ale protože jejich produkt je pozitivní, znamená to, že oba kořeny mají znaménko mínus.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin je roven:
Je zřejmé, že kořeny jsou čísla a.
Odpovědět:
Souhlasíte, je velmi výhodné přijít s kořeny ústně, namísto počítání tohoto ošklivého diskriminantu. Snažte se co nejčastěji používat Vietovu větu.
Ale Vietův teorém je potřebný, aby se usnadnilo a urychlilo hledání kořenů. Abyste z jeho používání měli užitek, musíte akce zautomatizovat. A k tomu vyřešte dalších pět příkladů. Ale nepodvádějte: nemůžete použít diskriminant! Pouze Vietův teorém:
Řešení úkolů pro samostatnou práci:
Úkol 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Podle Vietovy věty:
Jako obvykle začínáme výběr kouskem:
Nevhodné, protože množství;
: částka je přesně to, co potřebujete.
Odpovědět: ; .
Úkol 2.
A opět naše oblíbená Vieta věta: součet se musí rovnat a součin se musí rovnat.
Ale protože to musí být ne, ale, měníme znaménka kořenů: a (celkem).
Odpovědět: ; .
Úkol 3.
Hmm... Kde to je?
Musíte přesunout všechny termíny do jedné části:
Součet kořenů se rovná součinu.
Dobře, přestaň! Rovnice není dána. Ale Vietův teorém je použitelný pouze v daných rovnicích. Takže nejprve musíte dát rovnici. Pokud neumíte vést, vzdejte se této myšlenky a vyřešte ji jiným způsobem (například diskriminantem). Dovolte mi, abych vám připomněl, že zadat kvadratickou rovnici znamená, že se vedoucí koeficient rovná:
Skvělý. Potom se součet kořenů rovná a součin.
Zde je výběr stejně snadný jako loupání hrušek: koneckonců je to prvočíslo (omlouvám se za tautologii).
Odpovědět: ; .
Úkol 4.
Volný člen je záporný. Co je na tom zvláštního? A faktem je, že kořeny budou mít různá znamení. A nyní, během výběru, nekontrolujeme součet kořenů, ale rozdíl v jejich modulech: tento rozdíl je roven, ale součin.
Kořeny se tedy rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Vietův teorém nám říká, že součet kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, tzn. To znamená, že menší kořen bude mít mínus: a od.
Odpovědět: ; .
Úkol 5.
Co byste měli udělat jako první? Přesně tak, dej rovnici:
Opět: vybereme faktory čísla a jejich rozdíl by se měl rovnat:
Kořeny se rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Který? Jejich součet by se měl rovnat, což znamená, že mínus bude mít větší odmocninu.
Odpovědět: ; .
Dovolte mi to shrnout:
- Vietův teorém se používá pouze v uvedených kvadratických rovnicích.
- Pomocí Vietovy věty můžete najít kořeny výběrem, ústně.
- Pokud rovnice není dána nebo není nalezena vhodná dvojice faktorů volného členu, pak neexistují celé kořeny a je třeba to řešit jiným způsobem (například přes diskriminant).
3. Metoda výběru celého čtverce
Pokud jsou všechny členy obsahující neznámou reprezentovány ve formě členů ze zkrácených vzorců pro násobení - druhé mocniny součtu nebo rozdílu - pak po nahrazení proměnných může být rovnice prezentována ve formě neúplné kvadratické rovnice typu.
Například:
Příklad 1:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpovědět:
Příklad 2:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpovědět:
Obecně bude transformace vypadat takto:
Z toho vyplývá: .
Nepřipomíná vám to nic? To je diskriminační věc! Přesně tak jsme dostali diskriminační vzorec.
KVADRATICKÉ ROVNICE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
Kvadratická rovnice- jedná se o rovnici tvaru, kde - neznámá, - koeficienty kvadratické rovnice, - volný člen.
Kompletní kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficienty nerovnají nule.
Redukovaná kvadratická rovnice- rovnice, ve které je koeficient, tj.: .
Neúplná kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
- pokud je koeficient, rovnice vypadá takto: ,
- pokud existuje volný člen, rovnice má tvar: ,
- jestliže a, rovnice vypadá takto: .
1. Algoritmus pro řešení neúplných kvadratických rovnic
1.1. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjádřeme neznámé: ,
2) Zkontrolujte znaménko výrazu:
- jestliže, pak rovnice nemá řešení,
- jestliže, pak má rovnice dva kořeny.
1.2. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjmeme společný faktor ze závorek: ,
2) Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Rovnice má tedy dva kořeny:
1.3. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: .
2. Algoritmus pro řešení úplných kvadratických rovnic ve tvaru kde
2.1. Řešení pomocí diskriminantu
1) Uveďme rovnici do standardního tvaru: ,
2) Vypočítejme diskriminant pomocí vzorce: , který udává počet kořenů rovnice:
3) Najděte kořeny rovnice:
- jestliže, pak rovnice má kořeny, které najdeme podle vzorce:
- jestliže, pak má rovnice kořen, který se najde podle vzorce:
- jestliže, pak rovnice nemá kořeny.
2.2. Řešení pomocí Vietovy věty
Součet kořenů redukované kvadratické rovnice (rovnice tvaru kde) je roven a součin kořenů je roven, tzn. , A.
2.3. Řešení metodou výběru úplného čtverce
Vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. Jsou zvažovány případy skutečných, vícenásobných a komplexních kořenů. Rozložení kvadratického trinomu. Geometrická interpretace. Příklady určování kořenů a faktoringu.
Základní vzorce
Zvažte kvadratickou rovnici:
(1)
.
Kořeny kvadratické rovnice(1) se určují podle vzorců:
;
.
Tyto vzorce lze kombinovat takto:
.
Když jsou známy kořeny kvadratické rovnice, pak lze polynom druhého stupně reprezentovat jako součin faktorů (faktorováno):
.
Dále předpokládáme, že jde o reálná čísla.
Uvažujme diskriminant kvadratické rovnice:
.
Pokud je diskriminant kladný, pak má kvadratická rovnice (1) dva různé reálné kořeny:
;
.
Pak rozklad kvadratického trinomu má tvar:
.
Pokud je diskriminant roven nule, pak má kvadratická rovnice (1) dva násobné (stejné) reálné kořeny:
.
Faktorizace:
.
Pokud je diskriminant záporný, pak má kvadratická rovnice (1) dva komplexně sdružené kořeny:
;
.
Zde je pomyslná jednotka, ;
a jsou skutečné a imaginární části kořenů:
;
.
Pak
.
Grafická interpretace
Pokud vykreslíte funkci
,
což je parabola, pak průsečíky grafu s osou budou kořeny rovnice
.
V , graf protíná osu x (osu) ve dvou bodech.
Když se graf dotkne osy x v jednom bodě.
Když , graf neprotíná osu x.
Níže jsou uvedeny příklady takových grafů.
Užitečné vzorce související s kvadratickou rovnicí
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice
Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):
,
Kde
;
.
Takže jsme dostali vzorec pro polynom druhého stupně ve tvaru:
.
To ukazuje, že rovnice
provedeno v
A .
To je a jsou kořeny kvadratické rovnice
.
Příklady určení kořenů kvadratické rovnice
Příklad 1
(1.1)
.
Řešení
.
Porovnáním s naší rovnicí (1.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Protože je diskriminant kladný, má rovnice dva reálné kořeny:
;
;
.
Odtud získáme rozklad kvadratického trinomu:
.
Graf funkce y = 2 x 2 + 7 x + 3 protíná osu x ve dvou bodech.
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Protíná osu úsečky (osa) ve dvou bodech:
A .
Tyto body jsou kořeny původní rovnice (1.1).
Odpovědět
;
;
.
Příklad 2
Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(2.1)
.
Řešení
Napišme kvadratickou rovnici v obecném tvaru:
.
Porovnáním s původní rovnicí (2.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Protože diskriminant je nula, rovnice má dva násobné (stejné) kořeny:
;
.
Pak rozklad trojčlenu má tvar:
.
Graf funkce y = x 2–4 x + 4 se v jednom bodě dotýká osy x.
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Dotýká se osy x (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem původní rovnice (2.1). Protože tento kořen je zahrnut dvakrát:
,
pak se takový kořen obvykle nazývá násobek. To znamená, že věří, že existují dva stejné kořeny:
.
Odpovědět
;
.
Příklad 3
Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(3.1)
.
Řešení
Napišme kvadratickou rovnici v obecném tvaru:
(1)
.
Přepišme původní rovnici (3.1):
.
Porovnáním s (1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Najdeme diskriminační:
.
Diskriminant je záporný, . Proto neexistují žádné skutečné kořeny.
Můžete najít složité kořeny:
;
;
.
Pak
.
Graf funkce neprotíná osu x. Neexistují žádné skutečné kořeny.
Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Neprotíná osu x (osu). Proto neexistují žádné skutečné kořeny.
Odpovědět
Neexistují žádné skutečné kořeny. Komplexní kořeny:
;
;
.
Diskriminant je pojem s mnoha hodnotami. V tomto článku budeme hovořit o diskriminantu polynomu, který umožňuje určit, zda má daný polynom platná řešení. Vzorec pro kvadratický polynom se nachází ve školním kurzu algebry a analýzy. Jak najít diskriminanta? Co je potřeba k vyřešení rovnice?
Nazývá se kvadratický polynom nebo rovnice druhého stupně i * w ^ 2 + j * w + k se rovná 0, kde „i“ a „j“ jsou první a druhý koeficient, „k“ je konstanta, někdy nazývaná „odmítavý výraz“ a „w“ je proměnná. Jeho kořeny budou všechny hodnoty proměnné, při které se promění v identitu. Takovou rovnost lze přepsat jako součin i, (w - w1) a (w - w2) rovný 0. V tomto případě je zřejmé, že pokud se koeficient „i“ nestane nulou, pak funkce na levá strana se stane nulou pouze v případě, že x nabývá hodnoty w1 nebo w2. Tyto hodnoty jsou výsledkem nastavení polynomu na nulu.
K nalezení hodnoty proměnné, při které kvadratický polynom zaniká, se používá pomocná konstrukce postavená na jejích koeficientech a nazývaná diskriminant. Tento návrh se vypočítá podle vzorce D se rovná j * j - 4 * i * k. Proč se používá?
- Říká, zda existují platné výsledky.
- Pomáhá je vypočítat.
Jak tato hodnota ukazuje přítomnost skutečných kořenů:
- Je-li kladné, lze v oblasti reálných čísel nalézt dva kořeny.
- Pokud je diskriminant nulový, pak jsou obě řešení stejná. Dá se říci, že existuje jediné řešení, a to z oboru reálných čísel.
- Pokud je diskriminant menší než nula, pak polynom nemá žádné skutečné kořeny.
Možnosti kalkulace pro zajištění materiálu
Pro součet (7 * w^2; 3 * w; 1) rovný 0 Vypočítáme D pomocí vzorce 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dostaneme -19. Diskriminační hodnota pod nulou znamená, že na skutečném řádku nejsou žádné výsledky.
Pokud vezmeme v úvahu 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentní 0, pak se D vypočítá jako (-3) na druhou mínus součin čísel (4; 2; 1) a rovná se 9 - 8, tedy 1. Kladná hodnota označuje dva výsledky na reálné čáře.
Pokud vezmeme součet (w ^ 2; 2 * w; 1) a přirovnáme jej k 0, D se vypočítá jako dvě druhé mocniny mínus součin čísel (4; 1; 1). Tento výraz se zjednoduší na 4 - 4 a půjde na nulu. Ukazuje se, že výsledky jsou stejné. Pokud se na tento vzorec podíváte pozorně, bude jasné, že se jedná o „úplný čtverec“. To znamená, že rovnost lze přepsat ve tvaru (w + 1) ^ 2 = 0. Ukázalo se, že výsledek v tomto problému je „-1“. V situaci, kdy se D rovná 0, lze levou stranu rovnosti vždy sbalit pomocí vzorce „druhá mocnina součtu“.
Použití diskriminantu při výpočtu kořenů
Tato pomocná konstrukce nejen ukazuje počet reálných řešení, ale pomáhá je také najít. Obecný výpočetní vzorec pro rovnici druhého stupně je:
w = (-j +/- d) / (2 * i), kde d je diskriminant k mocnině 1/2.
Řekněme, že diskriminant je pod nulou, pak d je imaginární a výsledky jsou imaginární.
D je nula, pak d rovno D k mocnině 1/2 je také nula. Řešení: -j / (2 * i). Opět uvážíme-li 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, najdeme výsledky ekvivalentní -2 / (2 * 1) = -1.
Předpokládejme, že D > 0, pak d je reálné číslo a odpověď se zde rozdělí na dvě části: w1 = (-j + d) / (2 * i) a w2 = (-j - d) / (2 * i ). Oba výsledky budou platné. Podívejme se na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Zde jsou diskriminanty a d jedničky. Ukazuje se, že w1 se rovná (3 + 1) děleno (2 * 2) nebo 1 a w2 je rovno (3 - 1) děleno 2 * 2 nebo 1/2.
Výsledek přirovnání kvadratického výrazu k nule se vypočítá podle algoritmu:
- Určení počtu platných řešení.
- Výpočet d = D^(1/2).
- Nalezení výsledku podle vzorce (-j +/- d) / (2 * i).
- Dosazení získaného výsledku do původní rovnosti pro ověření.
Některé speciální případy
V závislosti na koeficientech může být řešení poněkud zjednodušeno. Je zřejmé, že pokud je koeficient proměnné k druhé mocnině nulový, získá se lineární rovnost. Když je koeficient proměnné k první mocnině nulový, jsou možné dvě možnosti:
- polynom je rozšířen na rozdíl druhých mocnin, když je volný člen záporný;
- pro kladnou konstantu nelze nalézt žádná skutečná řešení.
Pokud je volný člen nula, pak kořeny budou (0; -j)
Existují ale i další speciální případy, které hledání řešení zjednodušují.
Snížená rovnice druhého stupně
Dané se říká takový kvadratický trinom, kde koeficient vedoucího členu je jedna. Pro tuto situaci platí Vietův teorém, který říká, že součet kořenů se rovná koeficientu proměnné k první mocnině, násobeném -1, a součin odpovídá konstantě „k“.
Proto se w1 + w2 rovná -j a w1 * w2 se rovná k, pokud je první koeficient jedna. Pro ověření správnosti této reprezentace můžete z prvního vzorce vyjádřit w2 = -j - w1 a dosadit ho do druhé rovnosti w1 * (-j - w1) = k. Výsledkem je původní rovnost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Je důležité poznamenat, že i * w ^ 2 + j * w + k = 0 lze dosáhnout dělením „i“. Výsledek bude: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kde j1 se rovná j/i a k1 se rovná k/i.
Podívejme se na již vyřešené 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 s výsledky w1 = 1 a w2 = 1/2. Musíme to rozdělit na polovinu, ve výsledku w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Zkontrolujme, že pro nalezené výsledky platí podmínky věty: 1 + 1/2 = 3/ 2 a 1 x 1/2 = 1/2.
Dokonce i druhý faktor
Pokud je faktor proměnné k první mocnině (j) dělitelný 2, pak bude možné vzorec zjednodušit a hledat řešení přes čtvrtinu diskriminantu D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. vyjde w = (-j +/- d/2) / i, kde d/2 = D/4 na mocninu 1/2.
Pokud i = 1 a koeficient j je sudý, pak řešení bude součinem -1 a poloviny koeficientu proměnné w plus/minus odmocnina druhé mocniny této poloviny mínus konstanta „k“. Vzorec: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Vyšší diskriminační řád
Diskriminant trinomu druhého stupně diskutovaný výše je nejčastěji používaným speciálním případem. V obecném případě je diskriminant polynomu násobené čtverce rozdílů kořenů tohoto polynomu. Diskriminant rovný nule tedy indikuje přítomnost alespoň dvou vícenásobných řešení.
Uvažujme i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Předpokládejme, že diskriminant přesahuje nulu. To znamená, že v oblasti reálných čísel jsou tři kořeny. V nule existuje více řešení. Pokud D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Video
Naše video vám podrobně řekne o výpočtu diskriminantu.
Nedostali jste odpověď na svou otázku? Navrhněte autorům téma.
