Zjištění souřadnic středu úsečky: příklady, řešení. Souřadnice a vektory

V tomto článku začneme diskutovat o jedné „kouzelné hůlce“, která vám umožní zredukovat mnoho geometrických problémů na jednoduchou aritmetiku. Tato „hůl“ vám může výrazně usnadnit život, zvláště když si nejste jisti konstrukcí prostorových obrazců, řezů atd. To vše vyžaduje určitou představivost a praktické dovednosti. Metoda, kterou zde začneme uvažovat, vám umožní téměř úplně abstrahovat od všech druhů geometrických konstrukcí a úvah. Metoda se nazývá "souřadnicová metoda". V tomto článku se budeme zabývat následujícími otázkami:

1. Souřadnicová rovina
2. Body a vektory v rovině
3. Konstrukce vektoru ze dvou bodů
4. Délka vektoru (vzdálenost mezi dvěma body).
5. Souřadnice středu segmentu
6. Bodový součin vektorů
7. Úhel mezi dvěma vektory

Myslím, že jste již uhodli, proč se tak souřadnicová metoda nazývá? Správně, tento název dostal proto, že nepracuje s geometrickými objekty, ale s jejich číselnými charakteristikami (souřadnicemi). A samotná transformace, která nám umožňuje přejít od geometrie k algebře, spočívá v zavedení souřadnicového systému. Pokud byl původní obrazec plochý, pak jsou souřadnice dvourozměrné, a pokud je obrazec trojrozměrný, pak jsou souřadnice trojrozměrné. V tomto článku se budeme zabývat pouze dvourozměrným případem. A hlavním cílem článku je naučit vás používat některé základní techniky souřadnicové metody (ty se někdy ukáží jako užitečné při řešení úloh z planimetrie v části B jednotné státní zkoušky). Další dvě části na toto téma jsou věnovány diskuzi o metodách řešení problémů C2 (problém stereometrie).

Kde by bylo logické začít diskutovat o metodě souřadnic? Pravděpodobně z konceptu souřadnicového systému. Vzpomeňte si, kdy jste se s ní poprvé setkali. Zdá se mi, že v 7. třídě, když jste se učili například o existenci lineární funkce. Dovolte mi připomenout, že jste to postavili bod po bodu. Pamatuješ si? Zvolili jste libovolné číslo, dosadili jste ho do vzorce a spočítali ho tímto způsobem. Například if, then, if, then atd. Co jste nakonec dostali? A dostali jste body se souřadnicemi: a. Dále jste si nakreslili „kříž“ (souřadnicový systém), zvolili na něm měřítko (kolik buněk budete mít jako jednotkový segment) a označili jste na něm body, které jste získali, které jste pak spojili přímkou; čára je graf funkce.

Zde je několik bodů, které by vám měly být vysvětleny trochu podrobněji:

1. Z důvodu pohodlí si vyberete jeden segment, aby vše krásně a kompaktně zapadalo do výkresu.

2. Je akceptováno, že osa jde zleva doprava a osa jde zdola nahoru

3. Protínají se v pravých úhlech a bod jejich průsečíku se nazývá počátek. Označuje se písmenem.

4. Při zápisu souřadnic bodu např. vlevo v závorce je souřadnice bodu podél osy a vpravo podél osy. Zejména to jednoduše znamená, že v bodě

5. Abyste mohli určit libovolný bod na souřadnicové ose, musíte uvést jeho souřadnice (2 čísla)

6. Pro jakýkoli bod ležící na ose,

7. Pro jakýkoli bod ležící na ose,

8. Osa se nazývá osa x

9. Osa se nazývá osa y

Nyní uděláme další krok: označte dva body. Spojme tyto dva body úsečkou. A šipku dáme tak, jako bychom kreslili segment z bodu do bodu: to znamená, že náš segment nasměrujeme!

Pamatujete si, jak se nazývá další směrový segment? Přesně tak, říká se tomu vektor!

Takže když spojíme tečku s tečkou, a začátek bude bod A a konec bude bod B, pak dostaneme vektor. Tuhle stavbu jste v 8. třídě také dělal, pamatujete?

Ukazuje se, že vektory, stejně jako body, mohou být označeny dvěma čísly: tato čísla se nazývají vektorové souřadnice. Otázka: Myslíte si, že nám stačí znát souřadnice začátku a konce vektoru, abychom našli jeho souřadnice? Ukazuje se, že ano! A to se dělá velmi jednoduše:

Protože ve vektoru je bod začátkem a bod je koncem, vektor má následující souřadnice:

Například pokud, pak souřadnice vektoru

Nyní udělejme opak, najdeme souřadnice vektoru. Co k tomu musíme změnit? Ano, musíte prohodit začátek a konec: nyní bude začátek vektoru v bodě a konec bude v bodě. Pak:

Podívejte se pozorně, jaký je rozdíl mezi vektory a? Jejich jediným rozdílem jsou znaky v souřadnicích. Jsou protiklady. Tato skutečnost se obvykle píše takto:

Někdy, pokud není konkrétně uvedeno, který bod je začátek vektoru a který konec, pak se vektory neoznačují dvěma velkými písmeny, ale jedním malým písmenem, například: atd.

Teď trochu praxe a najděte souřadnice následujících vektorů:

Zkouška:

Nyní vyřešte trochu složitější problém:

Vektor se začátkem v bodě má co-or-di-na-you. Najděte abs-cis-su body.

Všechno stejné je docela prozaické: Nechť jsou souřadnice bodu. Pak

Systém jsem sestavil na základě definice toho, co jsou vektorové souřadnice. Potom má bod souřadnice. Zajímá nás úsečka. Pak

Odpovědět:

Co dalšího můžete s vektory dělat? Ano, téměř vše je stejné jako u běžných čísel (až na to, že nemůžete dělit, ale můžete násobit dvěma způsoby, z nichž jeden zde probereme o něco později)

1. Vektory se mohou vzájemně sčítat
2. Vektory lze od sebe odečítat
3. Vektory lze násobit (nebo dělit) libovolným nenulovým číslem
4. Vektory lze navzájem násobit

Všechny tyto operace mají velmi jasné geometrické znázornění. Například pravidlo trojúhelníku (nebo rovnoběžníku) pro sčítání a odčítání:

Vektor se natahuje, smršťuje nebo mění směr, když je vynásoben nebo dělen číslem:

Zde nás však bude zajímat otázka, co se stane se souřadnicemi.

1. Při sčítání (odečítání) dvou vektorů sčítáme (odečítáme) jejich souřadnice prvek po prvku. to je:

2. Při násobení (dělení) vektoru číslem se všechny jeho souřadnice vynásobí (vydělí) tímto číslem:

Například:

· Najděte množství co-or-di-nat století-k-ra.

Nejprve najdeme souřadnice každého z vektorů. Oba mají stejný počátek – počáteční bod. Jejich konce jsou různé. Pak, . Nyní vypočítejme souřadnice vektoru, pak se součet souřadnic výsledného vektoru rovná.

Odpovědět:

Nyní vyřešte následující problém sami:

· Najděte součet vektorových souřadnic

Kontrolujeme:

Podívejme se nyní na následující problém: na souřadnicové rovině máme dva body. Jak zjistit vzdálenost mezi nimi? Nechť je první bod a druhý. Označme vzdálenost mezi nimi pomocí. Udělejme pro přehlednost následující nákres:

Co jsem udělal? Nejprve jsem propojil body a také z bodu jsem nakreslil úsečku rovnoběžnou s osou a z bodu jsem nakreslil úsečku rovnoběžnou s osou. Protínaly se v určitém bodě a vytvořily pozoruhodnou postavu? Co je na ní tak zvláštního? Ano, vy i já víme o pravoúhlém trojúhelníku téměř vše. No, Pythagorova věta určitě. Požadovaný segment je přepona tohoto trojúhelníku a segmenty jsou nohy. Jaké jsou souřadnice bodu? Ano, lze je snadno najít z obrázku: Vzhledem k tomu, že segmenty jsou rovnoběžné s osami, respektive jejich délky lze snadno najít: označíme-li délky segmentů resp.

Nyní použijeme Pythagorovu větu. Známe délky nohou, najdeme přeponu:

Vzdálenost mezi dvěma body je tedy kořenem součtu čtverců rozdílů od souřadnic. Nebo - vzdálenost mezi dvěma body je délka segmentu, který je spojuje. Je snadné vidět, že vzdálenost mezi body nezávisí na směru. Pak:

Odtud vyvodíme tři závěry:

Pojďme si trochu procvičit výpočet vzdálenosti mezi dvěma body:

Například pokud, pak je vzdálenost mezi a rovna

Nebo půjdeme jinak: najdeme souřadnice vektoru

A zjistěte délku vektoru:

Jak vidíte, je to to samé!

Nyní si trochu procvičte:

Úkol: Najděte vzdálenost mezi označenými body:

Kontrolujeme:

Zde je několik dalších problémů s použitím stejného vzorce, i když znějí trochu jinak:

1. Najděte druhou mocninu délky očního víčka.

2. Najděte druhou mocninu délky očního víčka

Myslím, že jste si s nimi poradili bez problémů? Kontrolujeme:

1. A to je pro pozornost) Souřadnice vektorů jsme již našli dříve: . Pak má vektor souřadnice. Druhá mocnina jeho délky se bude rovnat:

2. Najděte souřadnice vektoru

Pak je čtverec jeho délky

Nic složitého, že? Jednoduchá aritmetika, nic víc.

Následující problémy nelze jednoznačně zařadit, jde spíše o obecnou erudici a schopnost kreslit jednoduché obrázky.

1. Najděte sinus úhlu z řezu spojujícího bod s osou úsečky.

A

Jak zde budeme postupovat? Musíme najít sinus úhlu mezi a osou. Kde můžeme hledat sinus? Přesně tak, v pravoúhlém trojúhelníku. Co tedy musíme udělat? Postavte tento trojúhelník!

Protože souřadnice bodu jsou a, pak je segment roven a segment. Musíme najít sinus úhlu. Dovolte mi připomenout, že sinus je poměr opačné strany k přeponě

Co nám zbývá dělat? Najděte přeponu. Můžete to udělat dvěma způsoby: pomocí Pythagorovy věty (nohy jsou známé!) nebo pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body (ve skutečnosti to samé jako první metoda!). Půjdu druhou cestou:

Odpovědět:

Další úkol se vám bude zdát ještě jednodušší. Je na souřadnicích bodu.

Úkol 2. Z bodu je per-pen-di-ku-lyar spuštěn na osu ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Udělejme nákres:

Základna kolmice je bod, ve kterém protíná osu x (osu), pro mě je to bod. Obrázek ukazuje, že má souřadnice: . Zajímá nás abscisa – tedy složka „x“. Je rovnocenná.

Odpovědět: .

Úkol 3. V podmínkách předchozí úlohy najděte součet vzdáleností od bodu k souřadnicovým osám.

Úloha je obecně elementární, pokud víte, jaká je vzdálenost od bodu k osám. Víš? Doufám, ale přesto připomínám:

Nakreslil jsem tedy ve svém nákresu těsně nahoře již jednu takovou kolmici? Na které ose je? K ose. A jaká je tedy jeho délka? Je rovnocenná. Nyní si sami nakreslete kolmici k ose a zjistěte její délku. Bude to rovné, ne? Pak se jejich součet rovná.

Odpovědět: .

Úkol 4. V podmínkách úlohy 2 najděte pořadnici bodu symetrického k bodu vzhledem k ose x.

Myslím, že je vám intuitivně jasné, co je symetrie? Má ji mnoho objektů: mnoho budov, stolů, letadel, mnoho geometrických obrazců: koule, válec, čtverec, kosočtverec atd. Zhruba řečeno, symetrii lze chápat takto: obrazec se skládá ze dvou (nebo více) stejných polovin. Tato symetrie se nazývá osová symetrie. Co je tedy osa? To je přesně ta čára, po které lze obrazec relativně vzato „rozřezat“ na stejné poloviny (na tomto obrázku je osa symetrie přímá):

Nyní se vraťme k našemu úkolu. Víme, že hledáme bod, který je symetrický podle osy. Pak je tato osa osou symetrie. To znamená, že potřebujeme označit bod tak, aby osa rozdělila segment na dvě stejné části. Zkuste si takový bod sami označit. Nyní porovnejte s mým řešením:

Vyšlo vám to stejně? Pokuta! Zajímá nás ordináta nalezeného bodu. Je to rovné

Odpovědět:

Nyní mi po několika sekundách přemýšlení řekněte, jaká bude úsečka bodu symetrického k bodu A vzhledem k pořadnici? Jaká je tvá odpověď? Správná odpověď: .

Obecně lze pravidlo napsat takto:

Bod symetrický k bodu vzhledem k ose úsečky má souřadnice:

Bod symetrický k bodu vzhledem k ose pořadnice má souřadnice:

No, teď je to úplně děsivé úkol: najít souřadnice bodu symetrického k bodu vzhledem k počátku. Nejprve přemýšlejte o sobě a pak se podívejte na můj výkres!

Odpovědět:

Nyní Problém s paralelogramem:

Úkol 5: Body se objeví ver-shi-na-mi par-ral-le-lo-gram-ma. Najděte nebo-di-na-tom místě.

Tento problém můžete vyřešit dvěma způsoby: logikou a souřadnicovou metodou. Nejprve použiji souřadnicovou metodu a pak vám řeknu, jak to můžete vyřešit jinak.

Je zcela jasné, že úsečka bodu je rovna. (leží na kolmici vedené od bodu k ose x). Musíme najít pořadnici. Využijme toho, že náš obrazec je rovnoběžník, to znamená. Pojďme zjistit délku segmentu pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body:

Spustíme kolmici spojující bod s osou. Průsečík označím písmenem.

Délka segmentu je stejná. (najděte si problém, kde jsme diskutovali o tomto bodu), pak najdeme délku segmentu pomocí Pythagorovy věty:

Délka segmentu se přesně shoduje s jeho pořadnicí.

Odpovědět: .

Jiné řešení (uvedu jen obrázek, který to ilustruje)

Průběh řešení:

1. Chování

2. Najděte souřadnice bodu a délku

3. Dokažte to.

Další problém s délkou segmentu:

Body se objeví v horní části trojúhelníku. Najděte délku jeho středové čáry rovnoběžně.

Pamatujete si, co je střední čára trojúhelníku? Pak je tento úkol pro vás základní. Pokud si nepamatujete, připomenu vám: střední čára trojúhelníku je čára, která spojuje středy protilehlých stran. Je rovnoběžná se základnou a rovná se její polovině.

Základem je segment. Její délku jsme museli hledat dříve, je rovná. Pak je délka střední čáry poloviční a stejná.

Odpovědět: .

Komentář: tento problém lze vyřešit jiným způsobem, ke kterému se vrátíme o něco později.

Mezitím je zde pro vás několik problémů, cvičte na nich, jsou velmi jednoduché, ale pomohou vám zlepšit se v používání souřadnicové metody!

1. Body jsou vrcholem tra-pe-tions. Najděte délku jeho střední čáry.

2. Body a vystoupení ver-shi-na-mi par-ral-le-lo-gram-ma. Najděte nebo-di-na-tom místě.

3. Najděte délku od řezu, spojující bod a

4. Najděte oblast za barevným obrazcem na rovině souřadnic.

5. Bodem prochází kružnice se středem v na-cha-le ko-or-di-nat. Najděte její ra-di-us.

6. Najdi-di-te ra-di-us kruhu, popiš-san-noy o pravý-úhel-no-ka, vrcholy něčeho mají co-nebo -di-na-jsi tak-zodpovědný

Řešení:

1. Je známo, že střední čára lichoběžníku se rovná polovině součtu jeho základen. Základ je stejný a základna. Pak

Odpovědět:

2. Nejjednodušší způsob, jak vyřešit tento problém, je poznamenat si to (pravidlo rovnoběžnosti). Výpočet souřadnic vektorů není obtížný: . Při přidávání vektorů se přidávají souřadnice. Pak má souřadnice. Bod má také tyto souřadnice, protože počátkem vektoru je bod se souřadnicemi. Zajímá nás ordinát. Je rovnocenná.

Odpovědět:

3. Okamžitě jednáme podle vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body:

Odpovědět:

4. Podívejte se na obrázek a řekněte mi, mezi kterými dvěma postavami je stínovaná oblast „vložená“? Je sevřený mezi dvěma čtverci. Potom se plocha požadovaného obrázku rovná ploše velkého čtverce mínus plocha malého. Strana malého čtverce je segment spojující body a Jeho délka je

Pak je plocha malého náměstí

Totéž uděláme s velkým čtvercem: jeho strana je segment spojující body a jeho délka je

Pak je plocha velkého náměstí

Najdeme oblast požadovaného obrázku pomocí vzorce:

Odpovědět:

5. Pokud má kružnice počátek jako svůj střed a prochází bodem, pak bude její poloměr přesně stejný jako délka úsečky (udělejte si nákres a pochopíte, proč je to zřejmé). Pojďme zjistit délku tohoto segmentu:

Odpovědět:

6. Je známo, že poloměr kružnice opsané obdélníku je roven polovině jeho úhlopříčky. Najděte délku kterékoli ze dvou úhlopříček (koneckonců v obdélníku jsou stejné!)

Odpovědět:

No, zvládli jste všechno? Nebylo moc těžké na to přijít, že? Platí zde pouze jedno pravidlo – umět si udělat vizuální obrázek a všechna data z něj jednoduše „přečíst“.

Zbývá nám velmi málo. Jsou zde doslova dva další body, které bych rád probral.

Pokusme se vyřešit tento jednoduchý problém. Nechť dva body a jsou dány. Najděte souřadnice středu segmentu. Řešení tohoto problému je následující: nechť je bod požadovaný střed, pak má souřadnice:

to je: souřadnice středu segmentu = aritmetický průměr odpovídajících souřadnic konců segmentu.

Toto pravidlo je velmi jednoduché a studentům obvykle nezpůsobuje potíže. Podívejme se, v jakých problémech a jak se používá:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Body se zdají být vrcholem světa. Najděte-di-te nebo-di-na-tu body za-re-se-che-niya jeho dia-go-na-ley.

3. Najděte-di-te abs-cis-su střed kruhu, popiš-san-noy o obdélníkovém-no-ka, vrcholy něčeho mají co-nebo-di-na-ty tak-zodpovědně-ale.

Řešení:

1. První problém je prostě klasika. Okamžitě přistoupíme k určení středu segmentu. Má souřadnice. Ordináta je rovna.

Odpovědět:

2. Je snadné vidět, že tento čtyřúhelník je rovnoběžník (dokonce kosočtverec!). Sami si to můžete dokázat výpočtem délek stran a jejich vzájemným porovnáním. Co vím o paralelogramech? Jeho úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem! To jo! Jaký je tedy průsečík úhlopříček? Toto je střed kterékoli z úhlopříček! Vyberu si zejména úhlopříčku. Pak má bod souřadnice. Pořadnice bodu je rovna.

Odpovědět:

3. S čím se shoduje střed kružnice opsané obdélníku? Shoduje se s průsečíkem jejích úhlopříček. Co víte o úhlopříčkách obdélníku? Jsou si rovny a průsečík je rozděluje na polovinu. Úkol byl zredukován na předchozí. Vezměme si například úhlopříčku. Pak jestliže je střed opsané kružnice, pak je střed. Hledám souřadnice: Úsečka se rovná.

Odpovědět:

Nyní si procvičte trochu sami, na každý problém vám dám odpovědi, abyste se mohli otestovat.

1. Najděte-di-te ra-di-us kruhu, popiš-san-noy o trojúhelníku-no-ka, vrcholy něčeho mají co-nebo-di -no misters

2. Najděte-di-te nebo-di-na-tom středu kruhu, popište-san-noy o trojúhelníku-no-ka, jehož vrcholy mají souřadnice

3. Jaký druh ra-di-u-sa by měl být kruh se středem v bodě, aby se dotýkal osy ab-ciss?

4. Najděte-di-ty nebo-di-na-tom bodě re-se-ce-ce osy a od-řez, spojte-bod a

Odpovědi:

Bylo vše úspěšné? Opravdu v to doufám! Nyní - poslední tlak. Nyní buďte obzvláště opatrní. Materiál, který nyní vysvětlím, přímo souvisí nejen s jednoduchými problémy na souřadnicové metodě z části B, ale nachází se také všude v Úloze C2.

Které ze svých slibů jsem ještě nedodržel? Pamatujete si, jaké operace s vektory jsem slíbil zavést a které jsem nakonec zavedl? Jsi si jistý, že jsem na nic nezapomněl? Zapomněl jsem! Zapomněl jsem vysvětlit, co znamená vektorové násobení.

Existují dva způsoby, jak vynásobit vektor vektorem. V závislosti na zvolené metodě získáme objekty různé povahy:

Křížový produkt je proveden poměrně chytře. Jak na to a proč je to potřeba, si probereme v dalším článku. A v tomto se zaměříme na skalární součin.

Existují dva způsoby, jak jej vypočítat:

Jak tušíte, výsledek by měl být stejný! Podívejme se tedy nejprve na první metodu:

Bodový produkt přes souřadnice

Najít: - obecně přijímaný zápis pro skalární součin

Vzorec pro výpočet je následující:

Tedy skalární součin = součet součinů vektorových souřadnic!

Příklad:

Najít-di-te

Řešení:

Pojďme najít souřadnice každého z vektorů:

Skalární součin vypočítáme pomocí vzorce:

Odpovědět:

Vidíte, absolutně nic složitého!

No a teď to zkuste sami:

· Najděte skalárního pro-iz-ve-de-nie staletí a

Zvládli jste to? Možná jste si všimli malého úlovku? Pojďme zkontrolovat:

Vektorové souřadnice, jako v předchozím problému! Odpovědět: .

Kromě souřadnicového existuje další způsob, jak vypočítat skalární součin, a to přes délky vektorů a kosinus úhlu mezi nimi:

Označuje úhel mezi vektory a.

To znamená, že skalární součin je roven součinu délek vektorů a kosinu úhlu mezi nimi.

Proč potřebujeme tento druhý vzorec, když máme ten první, který je mnohem jednodušší, alespoň v něm nejsou žádné kosinusy. A je potřeba, abychom z prvního a druhého vzorce vy a já mohli odvodit, jak najít úhel mezi vektory!

Let Pak si zapamatujte vzorec pro délku vektoru!

Pokud pak dosadím tato data do vzorce skalárního součinu, dostanu:

Ale jinak:

Tak co jsme ty a já dostali? Nyní máme vzorec, který nám umožňuje vypočítat úhel mezi dvěma vektory! Někdy se to také pro stručnost píše takto:

To znamená, že algoritmus pro výpočet úhlu mezi vektory je následující:

1. Vypočítejte skalární součin pomocí souřadnic
2. Najděte délky vektorů a vynásobte je
3. Vydělte výsledek z bodu 1 výsledkem z bodu 2

Pojďme si to procvičit na příkladech:

1. Najděte úhel mezi víčky a. Uveďte odpověď v grad-du-sah.

2. V podmínkách předchozí úlohy najděte kosinus mezi vektory

Udělejme to: Pomohu vám vyřešit první problém a pokuste se vyřešit druhý sami! Souhlasit? Pak začněme!

1. Tyto vektory jsou naši staří přátelé. Už jsme vypočítali jejich skalární součin a byl roven. Jejich souřadnice jsou: , . Pak zjistíme jejich délky:

Potom hledáme kosinus mezi vektory:

Jaký je kosinus úhlu? Tohle je roh.

Odpovědět:

No a teď si vyřešte druhý problém sami, a pak porovnejte! Dám jen velmi krátké řešení:

2. má souřadnice, má souřadnice.

Nechť je úhel mezi vektory a, potom

Odpovědět:

Je třeba poznamenat, že problémy přímo s vektory a souřadnicovou metodou v části B zkouškové práce jsou poměrně vzácné. Naprostou většinu problémů C2 však lze snadno vyřešit zavedením souřadnicového systému. Tento článek tedy můžete považovat za základ, na jehož základě vytvoříme docela chytré konstrukce, které budeme potřebovat k řešení složitých problémů.

SOUŘADNICE A VEKTORY. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Vy a já pokračujeme ve studiu souřadnicové metody. V poslední části jsme odvodili řadu důležitých vzorců, které vám umožňují:

1. Najděte vektorové souřadnice
2. Najděte délku vektoru (alternativně: vzdálenost mezi dvěma body)
3. Sčítání a odečítání vektorů. Vynásobte je reálným číslem
4. Najděte střed segmentu
5. Vypočítejte bodový součin vektorů
6. Najděte úhel mezi vektory

Do těchto 6 bodů se samozřejmě celá metoda souřadnic nevejde. Je základem vědy, jako je analytická geometrie, se kterou se seznámíte na univerzitě. Chci jen vybudovat základ, který vám umožní řešit problémy v jediném státě. zkouška. Zabývali jsme se úkoly části B. Nyní je čas posunout se na zcela novou úroveň! Tento článek bude věnován metodě řešení těch problémů C2, ve kterých by bylo rozumné přejít na souřadnicovou metodu. Tato přiměřenost je dána tím, co je třeba v problému najít a jaký údaj je uveden. Použil bych tedy metodu souřadnic, pokud jsou otázky:

1. Najděte úhel mezi dvěma rovinami
2. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou
3. Najděte úhel mezi dvěma přímkami
4. Najděte vzdálenost od bodu k rovině
5. Najděte vzdálenost od bodu k přímce
6. Najděte vzdálenost od přímky k rovině
7. Najděte vzdálenost mezi dvěma čarami

Pokud je údaj uvedený v zadání problému rotačním tělesem (koule, válec, kužel...)

Vhodné obrázky pro souřadnicovou metodu jsou:

1. Obdélníkový rovnoběžnostěn
2. Pyramida (trojúhelníková, čtyřúhelníková, šestihranná)

Také z mé zkušenosti je nevhodné používat souřadnicovou metodu pro:

1. Nalezení průřezových ploch
2. Výpočet objemů těles

Ihned je však třeba poznamenat, že tři „nepříznivé“ situace pro souřadnicovou metodu jsou v praxi poměrně vzácné. Ve většině úkolů se může stát vaším zachráncem, zvláště pokud nejste příliš zdatní v trojrozměrných konstrukcích (které mohou být někdy docela složité).

Jaká jsou všechna čísla, která jsem uvedl výše? Už nejsou ploché, jako například čtverec, trojúhelník, kruh, ale objemné! V souladu s tím musíme uvažovat ne dvourozměrný, ale trojrozměrný souřadnicový systém. Je to docela snadné sestrojit: jen kromě osy úsečky a pořadnice zavedeme další osu, aplikační osu. Obrázek schematicky ukazuje jejich vzájemnou polohu:

Všechny jsou vzájemně kolmé a protínají se v jednom bodě, který budeme nazývat počátek souřadnic. Stejně jako dříve budeme označovat osu úsečky, osu pořadnice - a zavedenou aplikační osu - .

Jestliže byl dříve každý bod v rovině charakterizován dvěma čísly - úsečkou a ordinátou, pak je každý bod v prostoru již popsán třemi čísly - úsečka, osa a aplikace. Například:

V souladu s tím je úsečka bodu rovna, pořadnice je , a aplikace je .

Někdy se úsečka bodu také nazývá projekce bodu na osu úsečky, pořadnice - průmět bodu na osu pořadnice a aplikace - průmět bodu na osu aplikace. Pokud je tedy zadán bod, pak bod se souřadnicemi:

se nazývá průmět bodu do roviny

se nazývá průmět bodu do roviny

Nabízí se přirozená otázka: jsou všechny vzorce odvozené pro dvourozměrný případ platné v prostoru? Odpověď je ano, jsou spravedliví a mají stejný vzhled. Pro malý detail. Myslím, že už jste uhodli, který to je. Do všech vzorců budeme muset přidat ještě jeden výraz zodpovědný za osu aplikace. A to.

1. Pokud jsou dány dva body: , pak:

• Souřadnice vektoru:
• Vzdálenost mezi dvěma body (nebo délka vektoru)
• Střed segmentu má souřadnice

2. Jsou-li dány dva vektory: a, pak:

• Jejich skalární součin se rovná:
• Kosinus úhlu mezi vektory je roven:

Prostor však není tak jednoduchý. Jak jste pochopili, přidání jedné další souřadnice zavádí významnou rozmanitost do spektra postav „žijících“ v tomto prostoru. A pro další vyprávění budu muset uvést nějaké, zhruba řečeno, „zobecnění“ přímky. Toto „zobecnění“ bude rovinou. Co víš o letadle? Zkuste si odpovědět na otázku, co je to letadlo? To je velmi těžké říct. Všichni si však intuitivně představujeme, jak to vypadá:

Zhruba řečeno, jde o druh nekonečného „listu“ uvízlého v prostoru. „Nekonečno“ by mělo být chápáno tak, že rovina se rozprostírá ve všech směrech, to znamená, že její plocha je rovna nekonečnu. Toto „praktické“ vysvětlení však nedává sebemenší představu o struktuře letadla. A právě ona o nás bude mít zájem.

Připomeňme si jeden ze základních axiomů geometrie:

• přímka prochází dvěma různými body v rovině a pouze jedním:

Nebo jeho analog ve vesmíru:

Samozřejmě si pamatujete, jak odvodit rovnici přímky ze dvou daných bodů; není to vůbec obtížné: pokud má první bod souřadnice: a druhý, pak rovnice přímky bude následující:

Vzal jsi to v 7. třídě. V prostoru vypadá rovnice přímky takto: dejte nám dva body se souřadnicemi: , pak rovnice přímky, která jimi prochází, má tvar:

Například přímka prochází body:

Jak by to mělo být chápáno? To by mělo být chápáno následovně: bod leží na přímce, pokud jeho souřadnice splňují následující systém:

Rovnice přímky nás moc zajímat nebude, ale je potřeba si dát pozor na velmi důležitý pojem směrový vektor přímky. - libovolný nenulový vektor ležící na dané přímce nebo rovnoběžně s ní.

Například oba vektory jsou směrové vektory přímky. Nechť je bod ležící na přímce a nechť je jeho směrový vektor. Potom lze rovnici přímky zapsat v následujícím tvaru:

Ještě jednou, rovnice přímky mě nebude moc zajímat, ale opravdu potřebuji, abyste si zapamatovali, co je směrový vektor! Znovu: toto je JAKÝKOLI nenulový vektor ležící na přímce nebo rovnoběžné s ní.

Ustoupit rovnice roviny na základě tří daných bodů již není tak triviální a na středoškolských kurzech se tato problematika obvykle neřeší. Ale marně! Tato technika je zásadní, když se při řešení složitých problémů uchýlíme k metodě souřadnic. Předpokládám však, že se chcete naučit něco nového? Navíc budete moci udělat dojem na svého učitele na univerzitě, když se ukáže, že již umíte používat techniku, která se obvykle studuje v kurzu analytické geometrie. Pojďme tedy začít.

Rovnice roviny se příliš neliší od rovnice přímky v rovině, konkrétně má tvar:

některá čísla (ne všechna se rovna nule), ale proměnné, například: atd. Jak vidíte, rovnice roviny se příliš neliší od rovnice přímky (lineární funkce). Pamatuješ si však, o čem jsme se hádali? Řekli jsme, že pokud máme tři body, které neleží na stejné přímce, pak z nich lze jednoznačně rekonstruovat rovnici roviny. Ale jak? Pokusím se ti to vysvětlit.

Protože rovnice roviny je:

A body patří do této roviny, pak při dosazení souřadnic každého bodu do rovnice roviny bychom měli získat správnou identitu:

Je tedy potřeba vyřešit tři rovnice s neznámými! Dilema! Vždy to však můžete předpokládat (k tomu je třeba dělit). Dostaneme tedy tři rovnice se třemi neznámými:

Takový systém však nevyřešíme, ale vypíšeme tajemný výraz, který z něj plyne:

Rovnice roviny procházející třemi danými body

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(pole)) \right| = 0\]

Stop! co to je? Nějaký velmi neobvyklý modul! Objekt, který vidíte před sebou, však nemá s modulem nic společného. Tento objekt se nazývá determinant třetího řádu. Od této chvíle, když se zabýváte metodou souřadnic v rovině, budete se velmi často setkávat se stejnými determinanty. Co je determinant třetího řádu? Kupodivu je to jen číslo. Zbývá pochopit, jaké konkrétní číslo s determinantem porovnáme.

Nejprve zapišme determinant třetího řádu v obecnější podobě:

Kde jsou nějaká čísla. Navíc prvním indexem rozumíme číslo řádku a indexem číslo sloupce. Například to znamená, že toto číslo je na průsečíku druhého řádku a třetího sloupce. Položme si následující otázku: jak přesně takový determinant vypočítáme? Tedy jaké konkrétní číslo k němu přirovnáme? Pro determinant třetího řádu existuje heuristické (vizuální) trojúhelníkové pravidlo, vypadá takto:

1. Součin prvků hlavní úhlopříčky (z levého horního rohu do pravého dolního rohu) součin prvků tvořících první trojúhelník „kolmý“ k hlavní úhlopříčce součin prvků tvořících druhý trojúhelník „kolmý“ k hlavní úhlopříčka
2. Součin prvků vedlejší úhlopříčky (od pravého horního rohu k levému dolnímu) součin prvků tvořících první trojúhelník „kolmý“ k vedlejší úhlopříčce součin prvků tvořících druhý trojúhelník „kolmý“ k sekundární úhlopříčka
3. Potom se determinant rovná rozdílu mezi hodnotami získanými v kroku a

Pokud to vše zapíšeme do čísel, dostaneme následující výraz:

V této podobě si však nemusíte pamatovat způsob výpočtu, stačí si v hlavě uchovat trojúhelníky a samotnou představu, co se k čemu sčítá a co se pak od čeho odečítá).

Ukažme si trojúhelníkovou metodu na příkladu:

1. Vypočítejte determinant:

Pojďme zjistit, co přidáme a co odečteme:

Podmínky, které přicházejí s plusem:

Toto je hlavní úhlopříčka: součin prvků se rovná

První trojúhelník, „kolmý k hlavní diagonále: součin prvků se rovná

Druhý trojúhelník, „kolmý k hlavní diagonále: součin prvků se rovná

Sečtěte tři čísla:

Termíny s mínusem

Toto je boční úhlopříčka: součin prvků se rovná

První trojúhelník, „kolmý k sekundární úhlopříčce: součin prvků se rovná

Druhý trojúhelník, „kolmý k vedlejší úhlopříčce: součin prvků se rovná

Sečtěte tři čísla:

Vše, co zbývá udělat, je odečíst součet „plusových“ členů od součtu „mínusových“ členů:

Tím pádem,

Jak vidíte, ve výpočtu determinantů třetího řádu není nic složitého ani nadpřirozeného. Je jen důležité pamatovat si na trojúhelníky a nedělat aritmetické chyby. Nyní si to zkuste spočítat sami:

Kontrolujeme:

1. První trojúhelník kolmý na hlavní úhlopříčku:
2. Druhý trojúhelník kolmý k hlavní diagonále:
3. Součet termínů s plusem:
4. První trojúhelník kolmý na vedlejší úhlopříčku:
5. Druhý trojúhelník kolmý na boční úhlopříčku:
6. Součet termínů s mínusem:
7. Součet termínů s plus mínus součet termínů s mínusem:

Zde je několik dalších determinantů, spočítejte si jejich hodnoty sami a porovnejte je s odpověďmi:

Odpovědi:

Dobře, všechno se shodovalo? Skvělé, pak můžete pokračovat! Pokud se vyskytnou potíže, pak moje rada je tato: na internetu existuje mnoho programů pro výpočet determinantu online. Vše, co potřebujete, je přijít s vlastním determinantem, spočítat si ho a poté porovnat s tím, co program vypočítá. A tak dále, dokud se výsledky nezačnou shodovat. Jsem si jistý, že tento okamžik na sebe nenechá dlouho čekat!

Nyní se vraťme k determinantu, který jsem napsal, když jsem mluvil o rovnici roviny procházející třemi danými body:

Vše, co potřebujete, je vypočítat jeho hodnotu přímo (pomocí trojúhelníkové metody) a nastavit výsledek na nulu. Přirozeně, protože se jedná o proměnné, dostanete nějaký výraz, který na nich závisí. Právě tento výraz bude rovnicí roviny procházející třemi danými body, které neleží na stejné přímce!

Ukažme si to na jednoduchém příkladu:

1. Sestrojte rovnici roviny procházející body

Sestavíme determinant pro tyto tři body:

Pojďme to zjednodušit:

Nyní to vypočítáme přímo pomocí pravidla trojúhelníku:

\[(\left| (\začátek(pole)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\konec(pole)) \ vpravo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Rovnice roviny procházející body je tedy:

Nyní zkuste vyřešit jeden problém sami a pak o něm budeme diskutovat:

2. Najděte rovnici roviny procházející body

No, pojďme diskutovat o řešení:

Vytvořme determinant:

A vypočítejte jeho hodnotu:

Pak má rovnice roviny tvar:

Nebo po zmenšení dostaneme:

Nyní dva úkoly pro sebeovládání:

1. Sestrojte rovnici roviny procházející třemi body:

Odpovědi:

Všechno se shodovalo? Opět, pokud existují určité potíže, pak moje rada je tato: vezměte si tři body z hlavy (s vysokou mírou pravděpodobnosti nebudou ležet na stejné přímce), postavte na nich rovinu. A pak se zkontrolujete online. Například na webu:

Pomocí determinantů však sestrojíme nejen rovnici roviny. Pamatujte, řekl jsem vám, že pro vektory není definován pouze bodový součin. Existuje také vektorový produkt a také smíšený produkt. A pokud je skalárním součinem dvou vektorů číslo, pak vektorovým součinem dvou vektorů bude vektor a tento vektor bude na dané vektory kolmý:

Navíc se jeho modul bude rovnat ploše rovnoběžníku postaveného na vektorech a. Tento vektor budeme potřebovat k výpočtu vzdálenosti od bodu k přímce. Jak můžeme vypočítat vektorový součin vektorů a jsou-li uvedeny jejich souřadnice? Na pomoc nám opět přichází determinant třetího řádu. Než však přejdu k algoritmu pro výpočet vektorového součinu, musím udělat malou odbočku.

Tato odbočka se týká základních vektorů.

Schematicky jsou znázorněny na obrázku:

Proč si myslíte, že se jim říká základní? Faktem je, že:

Nebo na obrázku:

Platnost tohoto vzorce je zřejmá, protože:

Vektorové kresby

Nyní mohu začít představovat křížový produkt:

Vektorový součin dvou vektorů je vektor, který se vypočítá podle následujícího pravidla:

Nyní uveďme několik příkladů výpočtu křížového součinu:

Příklad 1: Najděte křížový součin vektorů:

Řešení: Vytvořím determinant:

A počítám to:

Nyní od psaní přes základní vektory se vrátím k obvyklému vektorovému zápisu:

Tím pádem:

Teď to zkuste.

Připraveni? Kontrolujeme:

A tradičně dva úkoly pro ovládání:

1. Najděte vektorový součin následujících vektorů:
2. Najděte vektorový součin následujících vektorů:

Odpovědi:

Smíšený součin tří vektorů

Poslední konstrukcí, kterou budu potřebovat, je smíšený součin tří vektorů. Je to jako skalár číslo. Existují dva způsoby, jak to vypočítat. - prostřednictvím determinantu, - prostřednictvím smíšeného produktu.

Konkrétně nám budou dány tři vektory:

Potom smíšený součin tří vektorů, označený jako, lze vypočítat jako:

1. - to znamená, že smíšený součin je skalární součin vektoru a vektorový součin dvou dalších vektorů

Například smíšený produkt tří vektorů je:

Zkuste si to spočítat sami pomocí vektorového součinu a ujistěte se, že výsledky souhlasí!

A opět dva příklady nezávislých řešení:

Odpovědi:

Výběr souřadnicového systému

Nyní máme všechny nezbytné základy znalostí k řešení složitých úloh stereometrické geometrie. Než však přistoupíme přímo k příkladům a algoritmům pro jejich řešení, věřím, že bude užitečné pozastavit se nad následující otázkou: jak přesně vyberte souřadnicový systém pro konkrétní postavu. Ostatně právě volba vzájemné polohy souřadného systému a obrazce v prostoru nakonec určí, jak těžkopádné budou výpočty.

Dovolte mi připomenout, že v této části uvažujeme následující čísla:

1. Obdélníkový rovnoběžnostěn
2. Přímý hranol (trojúhelníkový, šestihranný...)
3. Pyramida (trojúhelníková, čtyřúhelníková)
4. Tetrahedron (stejný jako trojúhelníková pyramida)

Pro obdélníkový hranol nebo krychli vám doporučuji následující konstrukci:

To znamená, že postavím „do rohu“. Kostka a hranol jsou velmi dobré figury. U nich vždy snadno najdete souřadnice jeho vrcholů. Například, pokud (jak je znázorněno na obrázku)

pak souřadnice vrcholů jsou následující:

Samozřejmě si to nemusíte pamatovat, ale je vhodné pamatovat si, jak nejlépe umístit krychli nebo obdélníkový hranol.

Přímý hranol

Hranol je škodlivější obrazec. Může být umístěn v prostoru různými způsoby. Jako nejpřijatelnější se mi však zdá následující možnost:

Trojúhelníkový hranol:

To znamená, že jednu ze stran trojúhelníku položíme zcela na osu a jeden z vrcholů se shoduje s počátkem souřadnic.

Šestihranný hranol:

To znamená, že jeden z vrcholů se shoduje s počátkem a jedna ze stran leží na ose.

Čtyřúhelníkový a šestihranný jehlan:

Situace je podobná jako u krychle: dvě strany základny zarovnáme se souřadnicovými osami a jeden z vrcholů zarovnáme s počátkem souřadnic. Jediným drobným problémem bude vypočítat souřadnice bodu.

U šestibokého jehlanu - to samé jako u šestibokého hranolu. Hlavním úkolem bude opět najít souřadnice vrcholu.

Tetrahedron (trojúhelníková pyramida)

Situace je velmi podobná té, kterou jsem uvedl pro trojúhelníkový hranol: jeden vrchol se shoduje s počátkem, jedna strana leží na souřadnicové ose.

No, teď jsme konečně blízko k tomu, abychom začali řešit problémy. Z toho, co jsem řekl na samém začátku článku, můžete vyvodit následující závěr: většina problémů C2 je rozdělena do 2 kategorií: problémy s úhly a problémy se vzdáleností. Nejprve se podíváme na problémy hledání úhlu. Jsou zase rozděleny do následujících kategorií (jak se zvyšuje složitost):

Problémy s hledáním úhlů

1. Nalezení úhlu mezi dvěma přímkami
2. Zjištění úhlu mezi dvěma rovinami

Podívejme se na tyto problémy postupně: začněme nalezením úhlu mezi dvěma přímkami. Dobře, pamatujte, neřešili jsme už ty a já podobné příklady? Pamatujete, už jsme něco podobného měli... Hledali jsme úhel mezi dvěma vektory. Dovolte mi připomenout, pokud jsou dány dva vektory: a, úhel mezi nimi se zjistí ze vztahu:

Nyní je naším cílem najít úhel mezi dvěma přímkami. Podívejme se na „plochý obrázek“:

Kolik úhlů jsme získali, když se protnuly dvě přímky? Jen pár věcí. Pravda, pouze dva z nich si nejsou rovni, zatímco ostatní jsou k nim svislé (a tudíž se s nimi shodují). Jaký úhel bychom tedy měli považovat za úhel mezi dvěma přímkami: nebo? Zde platí pravidlo: úhel mezi dvěma přímkami není vždy větší než stupňů. To znamená, že ze dvou úhlů vybereme vždy úhel s nejmenší mírou stupně. To znamená, že na tomto obrázku je úhel mezi dvěma přímkami stejný. Abychom se pokaždé neobtěžovali hledáním nejmenšího ze dvou úhlů, mazaní matematici navrhli použít modul. Úhel mezi dvěma přímkami je tedy určen vzorcem:

Vy, jako pozorný čtenář, jste si měli položit otázku: kde přesně bereme tato čísla, která potřebujeme k výpočtu kosinusu úhlu? Odpověď: vezmeme je ze směrových vektorů čar! Algoritmus pro nalezení úhlu mezi dvěma přímkami je tedy následující:

1. Aplikujeme vzorec 1.

Nebo podrobněji:

1. Hledáme souřadnice směrového vektoru první přímky
2. Hledáme souřadnice směrového vektoru druhé přímky
3. Vypočítáme modul jejich skalárního součinu
4. Hledáme délku prvního vektoru
5. Hledáme délku druhého vektoru
6. Vynásobte výsledky bodu 4 výsledky bodu 5
7. Výsledek bodu 3 vydělíme výsledkem bodu 6. Dostaneme kosinus úhlu mezi úsečkami
8. Pokud nám tento výsledek umožňuje přesně vypočítat úhel, hledáme jej
9. Jinak píšeme přes arkus cosinus

No a teď je čas přejít k problémům: řešení prvních dvou předvedu podrobně, řešení dalšího uvedu ve stručné podobě a na poslední dva problémy pouze odpovím; všechny výpočty pro ně musíte provést sami.

úkoly:

1. V pravém tet-ra-ed-re najděte úhel mezi výškou tet-ra-ed-ra a střední stranou.

2. V pravém šestirohovém pi-ra-mi-de je sto os-no-va-nija stejných a boční hrany jsou stejné, najděte úhel mezi čarami a.

3. Délky všech hran pravého čtyřuhlového pi-ra-mi-dy jsou si navzájem rovné. Najděte úhel mezi přímkami a pokud z řezu - jste s daným pi-ra-mi-dy, bod je se-re-di-na jeho bo-co- druhých žebrech

4. Na hraně krychle je bod tak, že Najděte úhel mezi přímkami a

5. Bod - na hranách krychle Najděte úhel mezi přímkami a.

Ne náhodou jsem úkoly seřadil v tomto pořadí. I když jste se ještě nezačali orientovat v metodě souřadnic, analyzuji „nejproblematičtější“ postavy sám a nechám vás, abyste se zabývali nejjednodušší krychlí! Postupně se budete muset naučit pracovat se všemi figurkami, náročnost úkolů budu téma od tématu zvyšovat.

Začněme řešit problémy:

1. Nakreslete čtyřstěn, umístěte jej do souřadnicového systému, jak jsem navrhl dříve. Protože je čtyřstěn pravidelný, všechny jeho plochy (včetně základny) jsou pravidelné trojúhelníky. Protože nám není dána délka strany, mohu ji považovat za stejnou. Myslím, že chápete, že úhel nebude ve skutečnosti záviset na tom, jak moc je náš čtyřstěn „natažený“?. Nakreslím také výšku a medián v čtyřstěnu. Po cestě nakreslím její základnu (taky se nám bude hodit).

Potřebuji najít úhel mezi a. co my víme? Známe pouze souřadnici bodu. To znamená, že musíme najít souřadnice bodů. Nyní si myslíme: bod je průsečík nadmořských výšek (nebo os nebo mediánů) trojúhelníku. A bod je vyvýšený bod. Bod je uprostřed segmentu. Pak musíme konečně najít: souřadnice bodů: .

Začněme tím nejjednodušším: souřadnicemi bodu. Podívejte se na obrázek: Je jasné, že aplikace bodu je rovna nule (bod leží v rovině). Jeho pořadnice je stejná (protože je to medián). Je obtížnější najít její úsečku. To však lze snadno provést na základě Pythagorovy věty: Uvažujme trojúhelník. Jeho přepona je stejná a jedna z jejích větví je stejná Pak:

Nakonec máme: .

Nyní najdeme souřadnice bodu. Je jasné, že jeho aplikace je opět rovna nule a jeho pořadnice je stejná jako pořadnice bodu, tzn. Najdeme její úsečku. To se dělá docela triviálně, pokud si to pamatujete výšky rovnostranného trojúhelníku průsečíkem jsou rozděleny v poměru, počítáno od shora. Protože: , pak požadovaná úsečka bodu, která se rovná délce úsečky, je rovna: . Souřadnice bodu jsou tedy:

Najdeme souřadnice bodu. Je zřejmé, že jeho úsečka a pořadnice se shodují s úsečkou a pořadnicí bodu. A aplikace se rovná délce segmentu. - toto je jedna z nohou trojúhelníku. Přepona trojúhelníku je segment - noha. Hledá se z důvodů, které jsem zvýraznil tučně:

Bod je uprostřed segmentu. Pak si musíme zapamatovat vzorec pro souřadnice středu segmentu:

To je vše, nyní můžeme hledat souřadnice směrových vektorů:

Vše je připraveno: všechna data dosadíme do vzorce:

Tím pádem,

Odpovědět:

Takových „děsivých“ odpovědí byste se neměli bát: u úloh C2 je to běžná praxe. Spíš bych byl překvapen „krásnou“ odpovědí v této části. Také, jak jste si všimli, jsem se prakticky neuchýlil k ničemu jinému než k Pythagorově větě a vlastnosti výšek rovnostranného trojúhelníku. To znamená, že k vyřešení stereometrického problému jsem použil naprosté minimum stereometrie. Zisk v tomto je částečně „uhašen“ poměrně těžkopádnými výpočty. Ale jsou docela algoritmické!

2. Znázorněme pravidelný šestiboký jehlan spolu se souřadnicovým systémem a také jeho základnou:

Musíme najít úhel mezi čarami a. Naším úkolem tedy je najít souřadnice bodů: . Souřadnice posledních tří zjistíme pomocí malého nákresu a souřadnici vrcholu najdeme přes souřadnici bodu. Čeká nás spousta práce, ale musíme začít!

a) Souřadnice: je zřejmé, že její aplikace a pořadnice se rovnají nule. Najdeme úsečku. Chcete-li to provést, zvažte pravoúhlý trojúhelník. Bohužel v něm známe pouze přeponu, která se rovná. Pokusíme se najít nohu (protože je jasné, že dvojnásobná délka nohy nám dá úsečku bodu). Jak to můžeme hledat? Připomeňme si, jakou postavu máme na základně pyramidy? Toto je pravidelný šestiúhelník. Co to znamená? To znamená, že všechny strany a všechny úhly jsou stejné. Musíme najít jeden takový úhel. Nějaké nápady? Existuje mnoho nápadů, ale existuje vzorec:

Součet úhlů pravidelného n-úhelníku je .

Součet úhlů pravidelného šestiúhelníku je tedy roven stupňům. Pak je každý z úhlů roven:

Podívejme se znovu na obrázek. Je jasné, že úsečka je osou úhlu. Potom se úhel rovná stupňům. Pak:

Odkud tedy.

Má tedy souřadnice

b) Nyní již snadno zjistíme souřadnici bodu: .

c) Najděte souřadnice bodu. Protože její úsečka se shoduje s délkou segmentu, je rovna. Najít souřadnici také není příliš obtížné: pokud spojíme tečky a označíme průsečík přímky jako řekněme . (udělej si sám jednoduchou konstrukci). Potom je tedy pořadnice bodu B rovna součtu délek úseček. Podívejme se znovu na trojúhelník. Pak

Potom od Potom má bod souřadnice

d) Nyní najdeme souřadnice bodu. Zvažte obdélník a dokažte, že souřadnice bodu jsou tedy:

e) Zbývá najít souřadnice vrcholu. Je zřejmé, že jeho úsečka a pořadnice se shodují s úsečkou a pořadnicí bodu. Pojďme najít aplikaci. Od té doby. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník. Podle podmínek problému boční hrana. Toto je přepona mého trojúhelníku. Pak je výška pyramidy noha.

Pak má bod souřadnice:

No a je to, mám souřadnice všech bodů, které mě zajímají. Hledám souřadnice směrovacích vektorů přímek:

Hledáme úhel mezi těmito vektory:

Odpovědět:

Opět jsem při řešení tohoto problému nepoužil žádné sofistikované techniky kromě vzorce pro součet úhlů pravidelného n-úhelníku a také definici kosinu a sinu pravoúhlého trojúhelníku.

3. Protože nám opět nejsou dány délky hran v jehlanu, budu je považovat za rovné jedné. Protože jsou tedy VŠECHNY hrany, a nejen boční, navzájem stejné, pak na základně pyramidy a mě je čtverec a boční plochy jsou pravidelné trojúhelníky. Nakreslete takovou pyramidu, stejně jako její základnu na rovině, a poznamenejte si všechna data uvedená v textu úlohy:

Hledáme úhel mezi a. Když budu hledat souřadnice bodů, udělám velmi stručné výpočty. Budete je muset „rozluštit“:

b) - střed segmentu. Jeho souřadnice:

c) Délku úsečky zjistím pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku. Najdu to pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku.

Souřadnice:

d) - střed segmentu. Jeho souřadnice jsou

e) Souřadnice vektoru

f) Souřadnice vektoru

g) Hledám úhel:

Kostka je nejjednodušší obrázek. Určitě na to přijdeš sám. Odpovědi na problémy 4 a 5 jsou následující:

Zjištění úhlu mezi přímkou ​​a rovinou

No, čas jednoduchých hádanek je u konce! Nyní budou příklady ještě složitější. Abychom našli úhel mezi přímkou ​​a rovinou, budeme postupovat následovně:

1. Pomocí tří bodů sestrojíme rovnici roviny
   ,
   pomocí determinantu třetího řádu.
2. Pomocí dvou bodů hledáme souřadnice směrového vektoru přímky:
3. Pro výpočet úhlu mezi přímkou ​​a rovinou použijeme vzorec:

Jak vidíte, tento vzorec je velmi podobný tomu, který jsme použili k nalezení úhlů mezi dvěma přímkami. Struktura na pravé straně je prostě stejná a na levé nyní hledáme sinus, nikoli kosinus jako dříve. No a jedna ošklivá akce byla přidána - hledání rovnice letadla.

Neprokrastinujme příklady řešení:

1. Přímý hranol hlavní-ale-va-ni-em-jsme rovno-chudý trojúhelník. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou

2. V obdélníkovém par-ral-le-le-pi-pe-de ze západu Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou

3. V pravém šestirohém hranolu jsou všechny hrany stejné. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou.

4. V pravém trojúhelníkovém pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em známých žeber Najděte roh, ob-ra-zo-van -plochý na základně a rovný, procházející šedou žebra a

5. Délky všech hran pravého čtyřúhelníku pi-ra-mi-dy s vrcholem jsou si navzájem rovné. Najděte úhel mezi přímkou ​​a rovinou, pokud je bod na straně hrany pi-ra-mi-dy.

První dva problémy opět vyřeším podrobně, třetí krátce a poslední dva nechám na vás, abyste si je vyřešili sami. Kromě toho jste se již museli vypořádat s trojúhelníkovými a čtyřbokými jehlany, ale ještě ne s hranoly.

Řešení:

1. Znázorněme hranol i jeho základnu. Zkombinujme to se souřadnicovým systémem a poznamenejme si všechna data, která jsou uvedena v prohlášení o problému:

Omlouvám se za určité nedodržení proporcí, ale pro vyřešení problému to ve skutečnosti není tak důležité. Letadlo je prostě "zadní stěna" mého hranolu. Stačí jednoduše uhodnout, že rovnice takové roviny má tvar:

To však lze přímo ukázat:

Zvolme libovolné tři body na této rovině: například .

Vytvořme rovnici roviny:

Cvičení pro vás: vypočítejte si tento determinant sami. Povedlo se vám to? Pak rovnice roviny vypadá takto:

Nebo jednoduše

Tím pádem,

K vyřešení příkladu potřebuji najít souřadnice směrového vektoru přímky. Protože se bod shoduje s počátkem souřadnic, souřadnice vektoru se budou jednoduše shodovat se souřadnicemi bodu. Chcete-li to provést, nejprve najděte souřadnice bodu.

Chcete-li to provést, zvažte trojúhelník. Nakreslete výšku (také známou jako medián a os) z vrcholu. Protože pořadnice bodu je rovna. Abychom našli úsečku tohoto bodu, musíme vypočítat délku úsečky. Podle Pythagorovy věty máme:

Pak má bod souřadnice:

Tečka je „vyvýšená“ tečka:

Potom vektorové souřadnice jsou:

Odpovědět:

Jak vidíte, při řešení takových problémů není nic zásadně obtížného. Ve skutečnosti je tento proces ještě o něco zjednodušen „přímostí“ figury, jako je hranol. Nyní přejdeme k dalšímu příkladu:

2. Nakreslete rovnoběžnostěn, nakreslete do něj rovinu a přímku a také samostatně nakreslete jeho spodní základnu:

Nejprve najdeme rovnici roviny: Souřadnice tří bodů, které v ní leží:

(první dvě souřadnice jsou získány zřejmým způsobem a poslední souřadnici snadno najdete z obrázku z bodu). Potom sestavíme rovnici roviny:

Vypočítáme:

Hledáme souřadnice naváděcího vektoru: Je jasné, že jeho souřadnice se shodují se souřadnicemi bodu, že? Jak zjistit souřadnice? Toto jsou souřadnice bodu, zvýšené podél osy aplikace o jednu! . Poté hledáme požadovaný úhel:

Odpovědět:

3. Nakreslete pravidelný šestiboký jehlan a pak do něj nakreslete rovinu a přímku.

Zde je dokonce problematické nakreslit rovinu, nemluvě o řešení tohoto problému, ale souřadnicovou metodu to nezajímá! Jeho všestrannost je jeho hlavní výhodou!

Rovina prochází třemi body: . Hledáme jejich souřadnice:

1). Souřadnice posledních dvou bodů si zjistěte sami. K tomu budete muset vyřešit problém s šestihrannou pyramidou!

2) Sestrojíme rovnici roviny:

Hledáme souřadnice vektoru: . (Viz znovu problém s trojúhelníkovou pyramidou!)

3) Hledám úhel:

Odpovědět:

Jak vidíte, v těchto úkolech není nic nadpřirozeně obtížného. Jen je potřeba dávat velký pozor na kořeny. Odpovím pouze na poslední dva problémy:

Jak vidíte, technika řešení problémů je všude stejná: hlavním úkolem je najít souřadnice vrcholů a dosadit je do určitých vzorců. Stále musíme zvážit ještě jednu třídu problémů pro výpočet úhlů, a to:

Výpočet úhlů mezi dvěma rovinami

Algoritmus řešení bude následující:

1. Pomocí tří bodů hledáme rovnici první roviny:
2. Pomocí dalších tří bodů hledáme rovnici druhé roviny:
3. Aplikujeme vzorec:

Jak vidíte, vzorec je velmi podobný dvěma předchozím, s jejichž pomocí jsme hledali úhly mezi přímkami a mezi přímkou ​​a rovinou. Takže pro vás nebude těžké si to zapamatovat. Pojďme k analýze úkolů:

1. Strana základny pravého trojúhelníkového hranolu je stejná a úhlopříčka boční plochy je stejná. Najděte úhel mezi rovinou a rovinou osy hranolu.

2. V pravém čtyřrohu pi-ra-mi-de, jehož všechny hrany jsou stejné, najděte sinus úhlu mezi rovinou a rovinnou kostí, procházející bodem per-pen-di-ku- lyar-ale rovný.

3. V pravidelném čtyřrohém hranolu jsou strany základny stejné a boční hrany jsou stejné. Na okraji od-me-che-on je bod, takže. Najděte úhel mezi rovinami a

4. V pravém čtyřbokém hranolu jsou strany základny stejné a boční hrany jsou stejné. Na hraně od bodu je bod tak, že Najděte úhel mezi rovinami a.

5. V krychli najděte ko-sinus úhlu mezi rovinami a

Řešení problémů:

1. Nakreslím pravidelný (rovnostranný trojúhelník na základně) trojúhelníkový hranol a označím na něm roviny, které se objevují v zadání problému:

Potřebujeme najít rovnice dvou rovin: Rovnice základny je triviální: můžete sestavit odpovídající determinant pomocí tří bodů, ale rovnici sestavím hned:

Nyní najdeme rovnici Bod má souřadnice Bod - Protože je medián a výška trojúhelníku, lze ji snadno najít pomocí Pythagorovy věty v trojúhelníku. Pak má bod souřadnice: Pojďme najít aplikaci bodu, uvažujme pravoúhlý trojúhelník

Pak dostaneme následující souřadnice: Sestavíme rovnici roviny.

Vypočítáme úhel mezi rovinami:

Odpovědět:

2. Vytvoření výkresu:

Nejtěžší je pochopit, o jakou tajemnou rovinu se jedná, procházející kolmo bodem. No, hlavní věc je, co to je? Hlavní věc je pozornost! Ve skutečnosti je čára kolmá. Přímka je také kolmá. Potom bude rovina procházející těmito dvěma přímkami kolmá k přímce a mimochodem projde bodem. Tato rovina také prochází vrcholem pyramidy. Pak požadované letadlo - A letadlo nám již bylo dáno. Hledáme souřadnice bodů.

Přes bod najdeme souřadnici bodu. Z malého obrázku lze snadno odvodit, že souřadnice bodu budou následující: Co nyní zbývá najít k nalezení souřadnic vrcholu pyramidy? Musíte také vypočítat jeho výšku. To se provádí pomocí stejné Pythagorovy věty: nejprve to dokažte (triviálně z malých trojúhelníků tvořících čtverec na základně). Protože podle podmínek máme:

Nyní je vše připraveno: souřadnice vrcholu:

Sestavíme rovnici roviny:

Jste již odborníkem na výpočet determinantů. Bez problémů obdržíte:

Nebo jinak (pokud obě strany vynásobíme odmocninou ze dvou)

Nyní najdeme rovnici roviny:

(Nezapomněli jste, jak dostáváme rovnici roviny, že? Pokud nechápete, kde se vzala tato mínus, tak se vraťte k definici roviny! Prostě to před tím vždycky dopadlo moje letadlo patřilo k počátku souřadnic!)

Vypočítáme determinant:

(Můžete si všimnout, že rovnice roviny se shoduje s rovnicí přímky procházející body a! Přemýšlejte proč!)

Nyní spočítáme úhel:

Musíme najít sinus:

Odpovědět:

3. Záludná otázka: co je podle vás pravoúhlý hranol? Toto je jen rovnoběžnostěn, který dobře znáte! Pojďme si rovnou udělat kresbu! Základ ani nemusíte znázorňovat samostatně; zde je to málo platné:

Rovina, jak jsme již dříve poznamenali, je zapsána ve formě rovnice:

Nyní vytvoříme rovinu

Okamžitě vytvoříme rovnici roviny:

Hledá se úhel:

Nyní odpovědi na poslední dva problémy:

No, teď je čas dát si malou pauzu, protože ty a já jsme skvělí a odvedli jsme skvělou práci!

Souřadnice a vektory. Pokročilá úroveň

V tomto článku s vámi probereme další třídu problémů, které lze vyřešit pomocí souřadnicové metody: úlohy výpočtu vzdálenosti. Konkrétně budeme zvažovat následující případy:

1. Výpočet vzdálenosti mezi protínajícími se čarami.

Tyto úkoly jsem seřadil podle rostoucí obtížnosti. Ukazuje se, že je nejjednodušší najít vzdálenost od bodu k rovině a nejtěžší je najít vzdálenost mezi křižujícími se čarami. I když samozřejmě nic není nemožné! Neprotahujme a rovnou přistupme k první třídě problémů:

Výpočet vzdálenosti od bodu k rovině

Co potřebujeme k vyřešení tohoto problému?

1. Souřadnice bodu

Jakmile tedy obdržíme všechna potřebná data, použijeme vzorec:

Už byste měli vědět, jak sestrojujeme rovnici roviny z předchozích úloh, které jsem probíral v minulém díle. Pojďme rovnou k úkolům. Schéma je následující: 1, 2 - pomůžu vám rozhodnout se a podrobně 3, 4 - pouze odpověď, řešení provedete sami a porovnáte. Začněme!

úkoly:

1. Daná krychle. Délka hrany krychle je stejná. Najděte vzdálenost od se-re-di-na od řezu k rovině

2. Při správném čtyřuhlovém pi-ra-mi-ano je strana strany rovna základně. Najděte vzdálenost od bodu k rovině, kde - se-re-di-na okrajích.

3. V pravém trojúhelníkovém pi-ra-mi-de s os-no-va-ni-em je boční hrana rovna a sto-ro-na os-no-va- nia se rovná. Najděte vzdálenost od vrcholu k rovině.

4. V pravém šestibokém hranolu jsou všechny hrany stejné. Najděte vzdálenost od bodu k rovině.

Řešení:

1. Nakreslete krychli s jednoduchými hranami, sestrojte úsečku a rovinu, střed úsečky označte písmenem

.

Nejprve začněme tím snadným: najděte souřadnice bodu. Od té doby (pamatujte si souřadnice středu segmentu!)

Nyní sestavíme rovnici roviny pomocí tří bodů

\[\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(pole)) \right| = 0\]

Nyní mohu začít hledat vzdálenost:

2. Začneme opět výkresem, na který si vyznačíme všechny údaje!

U pyramidy by bylo užitečné nakreslit její základnu samostatně.

Ani to, že kreslím tlapkou jako kuře, nám nezabrání tento problém snadno vyřešit!

Nyní je snadné najít souřadnice bodu

Od souřadnic bodu tedy

2. Protože souřadnice bodu a jsou středem segmentu, pak

Bez problémů najdeme souřadnice dalších dvou bodů v rovině Vytvoříme rovnici pro rovinu a zjednodušíme ji:

\[\left| (\left| (\begin(pole)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(pole)) \right|) \right| = 0\]

Protože bod má souřadnice: , vypočítáme vzdálenost:

Odpověď (velmi vzácná!):

No, přišel jsi na to? Zdá se mi, že vše je zde stejně technické jako v příkladech, na které jsme se podívali v předchozí části. Jsem si tedy jistý, že pokud jste zvládli tento materiál, nebude pro vás obtížné vyřešit zbývající dva problémy. Dám vám jen odpovědi:

Výpočet vzdálenosti od přímky k rovině

Ve skutečnosti zde není nic nového. Jak mohou být přímka a rovina umístěny vůči sobě navzájem? Mají jedinou možnost: protínat se, nebo je přímka rovnoběžná s rovinou. Jaká je podle vás vzdálenost od přímky k rovině, se kterou se tato přímka protíná? Zdá se mi, že zde je jasné, že taková vzdálenost se rovná nule. Není to zajímavý případ.

Druhý případ je složitější: zde je vzdálenost již nenulová. Protože je však přímka rovnoběžná s rovinou, pak je každý bod přímky od této roviny stejně vzdálen:

Tím pádem:

To znamená, že můj úkol byl zredukován na předchozí: hledáme souřadnice libovolného bodu na přímce, hledáme rovnici roviny a počítáme vzdálenost od bodu k rovině. Ve skutečnosti jsou takové úkoly v jednotné státní zkoušce extrémně vzácné. Podařilo se mi najít pouze jeden problém a údaje v něm byly takové, že souřadnicová metoda na něj nebyla příliš použitelná!

Nyní přejděme k další, mnohem důležitější třídě problémů:

Výpočet vzdálenosti bodu od přímky

Co potřebujeme?

1. Souřadnice bodu, od kterého hledáme vzdálenost:

2. Souřadnice libovolného bodu ležícího na přímce

3. Souřadnice směrového vektoru přímky

Jaký vzorec používáme?

Co znamená jmenovatel tohoto zlomku, by vám mělo být jasné: jedná se o délku směrovacího vektoru přímky. Toto je velmi složitý čitatel! Výraz znamená modul (délku) vektorového součinu vektorů a Jak vypočítat vektorový součin jsme studovali v předchozí části práce. Osvěžte si své znalosti, budeme je nyní velmi potřebovat!

Algoritmus pro řešení problémů tedy bude následující:

1. Hledáme souřadnice bodu, od kterého hledáme vzdálenost:

2. Hledáme souřadnice libovolného bodu na přímce, ke kterému hledáme vzdálenost:

3. Sestrojte vektor

4. Sestrojte směrový vektor přímky

5. Vypočítejte vektorový součin

6. Hledáme délku výsledného vektoru:

7. Vypočítejte vzdálenost:

Čeká nás spousta práce a příklady budou poměrně složité! Takže nyní soustřeďte veškerou svou pozornost!

1. Vzhledem k pravému trojúhelníkovému pi-ra-mi-da s vrcholem. Sto-ro-na základě pi-ra-mi-dy se rovná, jste si rovni. Najděte vzdálenost od šedého okraje k přímce, kde jsou body a jsou šedé okraje a od veterináře.

2. Délky žeber a rovný-úhel-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da jsou odpovídajícím způsobem stejné a Najděte vzdálenost od vrcholu k přímce

3. V pravém šestibokém hranolu jsou všechny hrany stejné, abychom našli vzdálenost od bodu k přímce

Řešení:

1. Uděláme úhledný nákres, na kterém označíme všechny údaje:

Čeká nás spousta práce! Nejprve bych chtěl slovy popsat, co budeme hledat a v jakém pořadí:

1. Souřadnice bodů a

2. Souřadnice bodu

3. Souřadnice bodů a

4. Souřadnice vektorů a

5. Jejich křížový součin

6. Délka vektoru

7. Délka vektorového součinu

8. Vzdálenost od do

No, máme před sebou spoustu práce! Pojďme na to s vyhrnutými rukávy!

1. Abychom našli souřadnice výšky jehlanu, potřebujeme znát souřadnice bodu. Jeho aplikace je nula a jeho pořadnice je rovna jeho úsečce je rovna délce úsečky. Protože je výška rovnostranný trojúhelník, dělí se v poměru, počítáno od vrcholu, odtud. Nakonec jsme dostali souřadnice:

Souřadnice bodu

2. - střed segmentu

3. - střed segmentu

Střed segmentu

4.Souřadnice

Vektorové souřadnice

5. Vypočítejte vektorový součin:

6. Délka vektoru: nejsnazší způsob, jak nahradit, je, že úsečka je středová čára trojúhelníku, což znamená, že se rovná polovině základny. Tak.

7. Vypočítejte délku vektorového součinu:

8. Nakonec zjistíme vzdálenost:

Fuj, to je ono! Řeknu vám upřímně: řešení tohoto problému pomocí tradičních metod (prostřednictvím konstrukce) by bylo mnohem rychlejší. Ale tady jsem vše zredukoval na hotový algoritmus! Myslím, že je vám algoritmus řešení jasný? Proto vás požádám, abyste zbývající dva problémy vyřešili sami. Porovnáme odpovědi?

Znovu opakuji: je jednodušší (rychlejší) vyřešit tyto problémy pomocí konstrukcí, než se uchýlit k metodě souřadnic. Tuto metodu řešení jsem demonstroval pouze proto, abych vám ukázal univerzální metodu, která vám umožní „nic nedokončit“.

Nakonec zvažte poslední třídu problémů:

Výpočet vzdálenosti mezi protínajícími se čarami

Zde bude algoritmus pro řešení problémů podobný předchozímu. Co máme:

3. Libovolný vektor spojující body prvního a druhého řádku:

Jak zjistíme vzdálenost mezi řádky?

Vzorec je následující:

Čitatelem je modul smíšeného součinu (uvedli jsme jej v minulém díle) a jmenovatelem je stejně jako v předchozím vzorci (modul vektorového součinu směrových vektorů přímek, vzdálenost mezi kterými hledají).

Připomenu ti to

Pak vzorec pro vzdálenost lze přepsat jako:

Toto je determinant dělený determinantem! I když, abych byl upřímný, tady na vtipy nemám čas! Tento vzorec je ve skutečnosti velmi těžkopádný a vede k poměrně složitým výpočtům. Být tebou, uchýlil bych se k tomu jen jako poslední možnost!

Pokusme se vyřešit několik problémů pomocí výše uvedené metody:

1. V pravém trojúhelníkovém hranolu, jehož všechny hrany jsou stejné, najděte vzdálenost mezi přímkami a.

2. Je-li dán pravoúhlý trojúhelníkový hranol, všechny hrany základny se rovnají průřezu procházejícímu žebrem tělesa a žebra se-re-di-well jsou čtvercová. Najděte vzdálenost mezi přímkami a

Já rozhodnu o prvním a na základě toho se rozhodnete o druhém!

1. Nakreslím hranol a označím rovné čáry a

Souřadnice bodu C: pak

Souřadnice bodu

Vektorové souřadnice

Souřadnice bodu

Vektorové souřadnice

Vektorové souřadnice

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\začátek(pole)(*(20)(l))(\začátek(pole)(*(20)(c))0&1&0\konec(pole))\\(\začátek(pole)(*(20) (c))0&0&1\end(pole))\\(\začátek(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\konec(pole))\konec(pole)) \vpravo| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vypočítáme vektorový součin mezi vektory a

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(pole)(l)\begin(pole)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(pole)\\\begin(pole )(*(20)(c))0&0&1\end(pole)\\\začátek(pole)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(pole)\end(pole) \vpravo| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nyní spočítáme jeho délku:

Odpovědět:

Nyní se pokuste pečlivě dokončit druhý úkol. Odpověď na to bude: .

Souřadnice a vektory. Stručný popis a základní vzorce

Vektor je směrovaný segment. - začátek vektoru, - konec vektoru.
Vektor je označen nebo.

Absolutní hodnota vektor - délka segmentu představujícího vektor. Označeno jako.

Souřadnice vektoru:

,
kde jsou konce vektoru \displaystyle a .

Součet vektorů: .

Součin vektorů:

Bodový součin vektorů:

Skalární součin vektorů se rovná součinu jejich absolutních hodnot a kosinu úhlu mezi nimi:

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5%!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

Proč?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

Budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku -
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - Koupit učebnici - 899 RUR

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

Na závěr...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!

Velmi často v problému C2 potřebujete pracovat s body, které půlí segment. Souřadnice takových bodů lze snadno vypočítat, pokud jsou známy souřadnice konců segmentu.

Nechť je tedy segment definován jeho konci - body A = (x a; y a; za) a B = (x b; y b; z b). Souřadnice středu segmentu - označme ho bodem H - pak lze najít pomocí vzorce:

Jinými slovy, souřadnice středu segmentu jsou aritmetickým průměrem souřadnic jeho konců.

· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, že osy x, y a z směřují podél hran AB, AD a AA 1 a počátek se shoduje s bodem A. Bod K je střed okraje A 1 B 1 . Najděte souřadnice tohoto bodu.

Řešení. Protože bod K je středem segmentu A 1 B 1, jeho souřadnice se rovnají aritmetickému průměru souřadnic konců. Zapišme si souřadnice konců: A 1 = (0; 0; 1) a B 1 = (1; 0; 1). Nyní najdeme souřadnice bodu K:

Odpovědět: K = (0,5; 0; 1)

· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, aby osy x, y a z směřovaly podél hran AB, AD a AA 1 a počátek se shodoval s bodem A. Najděte souřadnice bodu L, ve kterém protínají úhlopříčky čtverce A 1 B 1 C 1 D 1 .

Řešení. Z průběhu planimetrie víme, že průsečík úhlopříček čtverce je stejně vzdálený od všech jeho vrcholů. Konkrétně A1L = C1L, tzn. bod L je středem úsečky A 1 C 1. Ale A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), takže máme:

Odpovědět: L = (0,5; 0,5; 1)

Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích

Je velmi vhodné naučit se řešit úlohy, které budou zvažovány plně automaticky, a vzorce memorovat, nemusíte si to ani schválně pamatovat, oni si to zapamatují sami =) To je velmi důležité, protože ostatní problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit další čas pojídáním pěšců . Horní knoflíky na košili si nemusíte zapínat, spoustu věcí znáte ze školy.

Prezentace materiálu bude mít paralelní průběh - jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce... uvidíte sami.

Níže uvedený článek se bude zabývat otázkami hledání souřadnic středu segmentu, pokud jsou souřadnice jeho krajních bodů k dispozici jako počáteční data. Než se však pustíme do studia této problematiky, uveďme si řadu definic.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1

Úsečka– přímka spojující dva libovolné body, nazývané konce úsečky. Jako příklad nechť to jsou body A a B a podle toho segment A B.

Pokud úsek A B pokračuje v obou směrech z bodů A a B, dostaneme přímku A B. Potom je úsečka A B součástí výsledné přímky, ohraničené body A a B. Úsek A B spojuje body A a B, které jsou jeho konci, a také množinu bodů ležících mezi nimi. Vezmeme-li například libovolný bod K ležící mezi body A a B, můžeme říci, že bod K leží na úsečce A B.

Definice 2

Délka sekce– vzdálenost mezi konci segmentu v daném měřítku (segment jednotky délky). Označme délku úsečky A B takto: A B .

Definice 3

Střed segmentu– bod ležící na úsečce a stejně vzdálený od jejích konců. Pokud je střed úsečky A B označen bodem C, pak rovnost platí: A C = C B

Počáteční údaje: souřadnicová přímka O x a neshodné body na ní: A a B. Tyto body odpovídají reálným číslům x A a x B. Bod C je středem segmentu A B: je nutné určit souřadnici x C.

Protože bod C je středem úsečky A B, bude rovnost pravdivá: | A C | = | C B | . Vzdálenost mezi body je určena modulem rozdílu jejich souřadnic, tzn.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Pak jsou možné dvě rovnosti: x C - x A = x B - x C a x C - x A = - (x B - x C)

Z první rovnosti odvodíme vzorec pro souřadnice bodu C: x C = x A + x B 2 (polovina součtu souřadnic konců úsečky).

Z druhé rovnosti dostáváme: x A = x B, což je nemožné, protože ve zdrojových datech - neshodné body. Tím pádem, vzorec pro určení souřadnic středu segmentu A B s konci A (x A) a B(xB):

Výsledný vzorec bude základem pro určení souřadnic středu segmentu v rovině nebo v prostoru.

Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém v rovině O x y, dva libovolné neshodné body s danými souřadnicemi A x A, y A a B x B, y B. Bod C je středem segmentu A B. Pro bod C je nutné určit souřadnice x C a y C.

Vezměme si pro analýzu případ, kdy se body A a B neshodují a neleží na stejné souřadnicové čáře nebo přímce kolmé k jedné z os. Ax, Ay; B x, B y a C x, C y - průměty bodů A, B a C na souřadnicové osy (přímky O x a O y).

Podle konstrukce jsou přímky A A x, B B x, C C x rovnoběžné; čáry jsou také vzájemně rovnoběžné. Spolu s tím, podle Thalesovy věty, z rovnosti A C = C B plynou rovnosti: A x C x = C x B x a A y C y = C y B y, a ty zase naznačují, že bod C x je střed segmentu A x B x a C y je střed segmentu A y B y. A pak, na základě vzorce získaného dříve, dostaneme:

x C = x A + x B2 a yC = yA + yB2

Stejné vzorce lze použít v případě, kdy body A a B leží na stejné souřadnicové přímce nebo přímce kolmé k jedné z os. Nebudeme provádět podrobnou analýzu tohoto případu, zvážíme jej pouze graficky:

Shrneme-li vše výše uvedené, souřadnice středu segmentu A B na rovině se souřadnicemi konců A (x A, y A) A B(xB, yB) jsou definovány jako:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Počáteční údaje: souřadnicový systém O x y z a dva libovolné body s danými souřadnicemi A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je nutné určit souřadnice bodu C, který je středem segmentu A B.

Ax, Ay, Az; B x , B y , B z a C x , C y , C z - průměty všech daných bodů na osy souřadného systému.

Podle Thalesovy věty platí následující rovnosti: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Proto body Cx, Cy, Cz jsou středy segmentů AxBx, AyBy, AzBz, v tomto pořadí. Pak, Pro určení souřadnic středu segmentu v prostoru jsou správné následující vzorce:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Výsledné vzorce jsou použitelné i v případech, kdy body A a B leží na jedné ze souřadnic; na přímce kolmé k jedné z os; v jedné souřadnicové rovině nebo v rovině kolmé k jedné ze souřadnicových rovin.

Určení souřadnic středu segmentu pomocí souřadnic poloměrových vektorů jeho konců

Vzorec pro zjištění souřadnic středu segmentu lze odvodit i podle algebraické interpretace vektorů.

Počáteční údaje: pravoúhlý kartézský souřadnicový systém O x y, body s danými souřadnicemi A (x A, y A) a B (x B, x B). Bod C je středem segmentu A B.

Podle geometrické definice působení na vektory bude platit následující rovnost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Bod C je v tomto případě průsečíkem úhlopříček rovnoběžníku sestrojeného na základě vektorů O A → a O B →, tzn. bod středu úhlopříček Souřadnice vektoru poloměru bodu se rovnají souřadnicím bodu, pak platí rovnosti: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Proveďme nějaké operace s vektory v souřadnicích a dostaneme:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Bod C má tedy souřadnice:

x A + x B2, yA + yB2

Analogicky je určen vzorec pro nalezení souřadnic středu segmentu v prostoru:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Příklady řešení úloh při hledání souřadnic středu úsečky

Mezi problémy, které zahrnují použití výše získaných vzorců, jsou ty, ve kterých je přímou otázkou vypočítat souřadnice středu segmentu, a ty, které zahrnují uvedení daných podmínek na tuto otázku: termín „medián“ se často používá, cílem je najít souřadnice jednoho z konců úsečky a běžné jsou i problémy symetrie, jejichž řešení by obecně po prostudování tohoto tématu také nemělo činit potíže. Podívejme se na typické příklady.

Příklad 1

Počáteční údaje: na rovině - body s danými souřadnicemi A (- 7, 3) a B (2, 4). Je nutné najít souřadnice středu segmentu A B.

Řešení

Označme střed úsečky A B bodem C. Jeho souřadnice budou určeny jako polovina součtu souřadnic konců segmentu, tzn. body A a B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odpovědět: souřadnice středu segmentu A B - 5 2, 7 2.

Příklad 2

Počáteční údaje: souřadnice trojúhelníku A B C jsou známy: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Je nutné najít délku mediánu A M.

Řešení

1. Podle podmínek problému je A M medián, což znamená, že M je středem segmentu B C . Nejprve najdeme souřadnice středu segmentu B C, tzn. M bodů:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Protože nyní známe souřadnice obou konců mediánu (body A a M), můžeme pomocí vzorce určit vzdálenost mezi body a vypočítat délku mediánu A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Odpovědět: 58

Příklad 3

Počáteční údaje: v pravoúhlém souřadnicovém systému trojrozměrného prostoru je dán rovnoběžnostěn A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Jsou uvedeny souřadnice bodu C 1 (1, 1, 0), dále je definován bod M, který je středem úhlopříčky B D 1 a má souřadnice M (4, 2, - 4). Je nutné vypočítat souřadnice bodu A.

Řešení

Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě, který je středem všech úhlopříček. Na základě tohoto tvrzení můžeme mít na paměti, že bod M, známý z podmínek úlohy, je středem úsečky A C 1. Na základě vzorce pro zjištění souřadnic středu úsečky v prostoru zjistíme souřadnice bodu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Odpovědět: souřadnice bodu A (7, 3, - 8).

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter