Gaussova transformace. Opačná metoda Gaussovy metody

V tomto článku je metoda považována za metodu pro řešení soustav lineárních rovnic (SLAE). Metoda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napsat algoritmus řešení v obecné podobě a poté tam nahradit hodnoty z konkrétních příkladů. Na rozdíl od maticové metody nebo Cramerových vzorců lze při řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody pracovat i s těmi, které mají nekonečný počet řešení. Nebo ho nemají vůbec.

Co to znamená řešit pomocí Gaussovy metody?

Nejprve musíme napsat náš systém rovnic do Vypadá to takto. Vezměte si systém:

Koeficienty se zapisují ve formě tabulky a volné termíny se zapisují do samostatného sloupce vpravo. Sloupec s volnými výrazy je pro pohodlí oddělen. Matice, která tento sloupec obsahuje, se nazývá rozšířená.

Dále je třeba hlavní matici s koeficienty zredukovat na horní trojúhelníkový tvar. To je hlavní bod řešení soustavy pomocí Gaussovy metody. Jednoduše řečeno, po určitých manipulacích by matice měla vypadat tak, že její levá spodní část obsahuje pouze nuly:

Pokud pak novou matici napíšete znovu jako soustavu rovnic, všimnete si, že poslední řádek již obsahuje hodnotu jednoho z kořenů, která se pak dosadí do výše uvedené rovnice, najde se další kořen atd.

Toto je popis řešení Gaussovou metodou v nejobecnějších pojmech. Co se stane, když systém najednou nemá řešení? Nebo je jich nekonečně mnoho? Pro zodpovězení těchto a mnoha dalších otázek je nutné uvažovat samostatně všechny prvky použité při řešení Gaussovy metody.

Matice, jejich vlastnosti

V matrixu není žádný skrytý význam. Je to jednoduše pohodlný způsob, jak zaznamenat data pro následné operace s ním. Nemusí se jich bát ani školáci.

Matice je vždy obdélníková, protože je pohodlnější. I v Gaussově metodě, kde vše spočívá v sestrojení matice trojúhelníkového tvaru, se v zadání objeví obdélník, pouze s nulami v místě, kde nejsou žádná čísla. Nuly se nemusí psát, ale jsou implikované.

Matice má velikost. Jeho „šířka“ je počet řádků (m), „délka“ je počet sloupců (n). Pak velikost matice A (k jejich označení se obvykle používají velká latinská písmena) označíme jako A m×n. Pokud m=n, pak je tato matice čtvercová a m=n je její řád. Podle toho lze libovolný prvek matice A označit čísly řádků a sloupců: a xy ; x - číslo řádku, změny, y - číslo sloupce, změny.

B není hlavním bodem rozhodnutí. V zásadě lze všechny operace provádět přímo s rovnicemi samotnými, ale zápis bude mnohem těžkopádnější a bude se v něm mnohem snáze zmást.

Determinant

Matice má také determinant. To je velmi důležitá vlastnost. Není třeba nyní zjišťovat jeho význam, můžete jednoduše ukázat, jak se počítá, a pak říci, jaké vlastnosti matice určuje. Nejjednodušší způsob, jak najít determinant, je přes diagonály. V matici jsou zakresleny imaginární úhlopříčky; prvky umístěné na každém z nich se vynásobí a poté se přidají výsledné produkty: úhlopříčky se sklonem doprava - se znaménkem plus, se sklonem doleva - se znaménkem mínus.

Je nesmírně důležité poznamenat, že determinant lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici. U obdélníkové matice můžete udělat následující: vybrat nejmenší z počtu řádků a počtu sloupců (ať je to k) a pak náhodně označit k sloupců a k řádků v matici. Prvky v průsečíku vybraných sloupců a řádků vytvoří novou čtvercovou matici. Pokud je determinantem takové matice nenulové číslo, nazývá se menší bází původní obdélníkové matice.

Než začnete řešit soustavu rovnic pomocí Gaussovy metody, neuškodí vypočítat determinant. Pokud se ukáže, že je nula, pak můžeme okamžitě říci, že matice má buď nekonečný počet řešení, nebo žádné. V takovém smutném případě je třeba jít dále a zjistit hodnost matice.

Klasifikace systému

Existuje něco jako hodnost matice. Toto je maximální řád jejího nenulového determinantu (pokud si pamatujeme na základ menší, můžeme říci, že hodnost matice je řád základu menšího).

Na základě situace s hodností lze SLAE rozdělit na:

Kloub. U Ve společných systémech se hodnost hlavní matice (sestávající pouze z koeficientů) shoduje s hodností rozšířené matice (se sloupcem volných členů). Takové systémy mají řešení, ale ne nutně jedno, proto se navíc kloubové systémy dělí na:
- určitý- mít jediné řešení. V určitých systémech jsou hodnosti matice a počet neznámých (nebo počet sloupců, což je totéž) stejné;
- nedefinováno - s nekonečným počtem řešení. Hodnost matic v takových systémech je menší než počet neznámých.
Nekompatibilní. U V takových systémech se úrovně hlavní a rozšířené matice neshodují. Nekompatibilní systémy nemají řešení.

Gaussova metoda je dobrá, protože při řešení umožňuje získat buď jednoznačný důkaz nekonzistence systému (bez počítání determinantů velkých matic), nebo řešení v obecném tvaru pro systém s nekonečným počtem řešení.

Elementární transformace

Než přistoupíte přímo k řešení systému, můžete jej učinit méně těžkopádným a pohodlnějším pro výpočty. Toho je dosaženo pomocí elementárních transformací - tak, že jejich implementace nijak nezmění konečnou odpověď. Je třeba poznamenat, že některé z uvedených elementárních transformací jsou platné pouze pro matice, jejichž zdrojem byl SLAE. Zde je seznam těchto transformací:

Přeskupení linek. Je zřejmé, že pokud změníte pořadí rovnic v systémovém záznamu, řešení to nijak neovlivní. V důsledku toho lze řádky v matici tohoto systému také prohodit, samozřejmě nelze zapomenout na sloupec volných členů.
Násobení všech prvků řetězce určitým koeficientem. Velmi nápomocný! Lze jej použít ke zmenšení velkých čísel v matici nebo odstranění nul. Mnoho rozhodnutí se jako obvykle nezmění, ale další operace budou pohodlnější. Hlavní věc je, že koeficient není roven nule.
Odstranění řádků s proporcionálními faktory. To částečně vyplývá z předchozího odstavce. Pokud mají dva nebo více řádků v matici proporcionální koeficienty, pak když se jeden z řádků vynásobí/vydělí koeficientem proporcionality, získají se dva (nebo opět více) absolutně identické řádky a ty nadbytečné mohou být odstraněny. jen jeden.
Odstranění prázdného řádku. Pokud se při transformaci někde získá řádek, ve kterém jsou všechny prvky včetně volného členu nulové, pak lze takový řádek nazvat nulou a vyhodit z matice.
Přidání prvků jednoho řádku prvků druhého (v odpovídajících sloupcích), vynásobené určitým koeficientem. Nejnezřejmější a nejdůležitější proměna ze všech. Stojí za to se tomu věnovat podrobněji.

Přidání řetězce vynásobeného faktorem

Pro snazší pochopení je vhodné tento proces rozebrat krok za krokem. Z matice jsou převzaty dva řádky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Řekněme, že potřebujete přidat první k druhému, vynásobené koeficientem "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Poté se druhý řádek v matici nahradí novým a první zůstane nezměněn.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Je třeba poznamenat, že multiplikační koeficient lze zvolit tak, že v důsledku přidání dvou řádků je jeden z prvků nového řádku roven nule. V důsledku toho je možné získat rovnici v systému, kde bude o jednu neznámou méně. A pokud dostanete dvě takové rovnice, lze operaci provést znovu a získat rovnici, která bude obsahovat o dvě neznámé méně. A pokud pokaždé otočíte jeden koeficient ze všech řádků, které jsou pod původním, na nulu, pak můžete, jako po schodech, sestoupit až na úplný konec matice a získat rovnici s jednou neznámou. Tomu se říká řešení systému pomocí Gaussovy metody.

Obecně

Ať existuje systém. Má m rovnic a n neznámých kořenů. Můžete to napsat následovně:

Hlavní matice je sestavena ze systémových koeficientů. Do rozšířené matice je přidán sloupec volných výrazů a pro usnadnění oddělen čárou.

první řádek matice se vynásobí koeficientem k = (-a 21 /a 11);
první upravený řádek a druhý řádek matice jsou přidány;
místo druhého řádku se do matice vloží výsledek doplnění z předchozího odstavce;
nyní je první koeficient v novém druhém řádku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nyní se provádí stejná série transformací, jedná se pouze o první a třetí řádek. Podle toho je v každém kroku algoritmu prvek a 21 nahrazen prvkem 31. Poté se vše opakuje pro 41, ... a m1. Výsledkem je matice, kde první prvek v řádcích je nula. Nyní musíte zapomenout na řádek číslo jedna a provést stejný algoritmus, počínaje řádkem dva:

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druhý upravený řádek je přidán k „aktuálnímu“ řádku;
výsledek sčítání se dosadí do třetího, čtvrtého atd. řádků, přičemž první a druhý zůstanou nezměněny;
v řádcích matice jsou již první dva prvky rovny nule.

Algoritmus je nutné opakovat, dokud se neobjeví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že naposledy byl algoritmus proveden pouze pro nižší rovnici. Nyní matice vypadá jako trojúhelník nebo má stupňovitý tvar. Ve spodním řádku je rovnost a mn × x n = b m. Koeficient a volný člen jsou známy a jejich prostřednictvím se vyjadřuje kořen: x n = b m /a mn. Výsledný kořen dosadíme do horního řádku, abychom našli x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak dále analogicky: v každém dalším řádku je nový kořen a po dosažení „vrcholu“ systému můžete najít mnoho řešení. Bude to jediné.

Když neexistují žádná řešení

Pokud jsou v jednom z řádků matice všechny prvky kromě volného členu rovny nule, pak rovnice odpovídající tomuto řádku vypadá jako 0 = b. Nemá to řešení. A jelikož je taková rovnice v soustavě zahrnuta, pak je množina řešení celé soustavy prázdná, tedy degenerovaná.

Když existuje nekonečně mnoho řešení

Může se stát, že v dané trojúhelníkové matici nejsou žádné řádky s jedním koeficientovým prvkem rovnice a jedním volným členem. Existují pouze řádky, které by po přepsání vypadaly jako rovnice se dvěma nebo více proměnnými. To znamená, že systém má nekonečné množství řešení. V tomto případě lze odpověď podat formou obecného řešení. Jak to udělat?

Všechny proměnné v matici jsou rozděleny na základní a volné. Základní jsou ty, které stojí „na okraji“ řádků v krokové matici. Zbytek je zdarma. V obecném řešení se základní proměnné zapisují přes volné.

Pro usnadnění je matice nejprve přepsána zpět do systému rovnic. Pak v posledním z nich, kde přesně zbývá jen jedna základní proměnná, zůstane na jedné straně a vše ostatní se přenese na druhou. To se provádí pro každou rovnici s jednou základní proměnnou. Potom se ve zbývajících rovnicích, kde je to možné, místo základní proměnné dosadí výraz pro ni získaný. Pokud je výsledkem opět výraz obsahující pouze jednu základní proměnnou, je opět vyjádřena odtud a tak dále, dokud není každá základní proměnná zapsána jako výraz s volnými proměnnými. Toto je obecné řešení SLAE.

Můžete také najít základní řešení systému - zadat volným proměnným libovolné hodnoty a poté pro tento konkrétní případ vypočítat hodnoty základních proměnných. Existuje nekonečné množství konkrétních řešení, která lze poskytnout.

Řešení s konkrétními příklady

Zde je soustava rovnic.

Pro pohodlí je lepší okamžitě vytvořit jeho matici

Je známo, že při řešení Gaussovou metodou zůstane rovnice odpovídající prvnímu řádku na konci transformací nezměněna. Proto bude výhodnější, pokud bude levý horní prvek matice nejmenší - pak se první prvky zbývajících řádků po operacích změní na nulu. To znamená, že v sestavené matici bude výhodné umístit druhý řádek na místo prvního.

druhý řádek: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

třetí řádek: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Nyní, abyste nebyli zmateni, musíte napsat matici s mezivýsledky transformací.

Je zřejmé, že taková matice může být pohodlnější pro vnímání pomocí určitých operací. Můžete například odstranit všechny „mínusy“ z druhého řádku vynásobením každého prvku „-1“.

Za zmínku také stojí, že ve třetím řádku jsou všechny prvky násobky tří. Poté můžete řetězec zkrátit o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - současně, abyste odstranili záporné hodnoty).

Vypadá mnohem lépe. Nyní musíme nechat první řádek na pokoji a pracovat s druhým a třetím. Úkolem je přidat druhý řádek ke třetímu řádku, vynásobený takovým koeficientem, aby se prvek a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (pokud se při některých transformacích neukáže odpověď jako celé číslo, doporučuje se zachovat přesnost výpočtů ponechat „tak jak je“, ve formě obyčejných zlomků, a teprve poté, když obdržíme odpovědi, se rozhodnout, zda zaokrouhlit a převést na jinou formu záznamu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matice je znovu zapsána s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak vidíte, výsledná matice má již stupňovitou formu. Proto nejsou nutné další transformace systému pomocí Gaussovy metody. Zde můžete odstranit celkový koeficient "-1/7" ze třetího řádku.

Nyní je vše krásné. Zbývá pouze napsat matici znovu ve formě soustavy rovnic a vypočítat kořeny

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmus, kterým budou nyní nalezeny kořeny, se v Gaussově metodě nazývá zpětný pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

A první rovnice nám umožňuje najít x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývat takový systém společným, a dokonce určitým, tedy majícím jedinečné řešení. Odpověď je napsána v následujícím tvaru:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Příklad nejistého systému

Byla analyzována varianta řešení určitého systému pomocí Gaussovy metody, nyní je třeba uvažovat případ, kdy je systém nejistý, tj. lze pro něj nalézt nekonečně mnoho řešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotný vzhled systému je alarmující, protože počet neznámých je n = 5 a hodnost matice systému je již přesně menší než toto číslo, protože počet řádků je m = 4, tzn. největší řád determinant-čtverce je 4. To znamená, že existuje nekonečné množství řešení a je třeba hledat jeho obecný vzhled. Gaussova metoda pro lineární rovnice vám to umožňuje.

Nejprve se jako obvykle sestaví rozšířená matice.

Druhý řádek: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Ve třetím řádku je první prvek před transformacemi, takže se nemusíte ničeho dotýkat, musíte to nechat tak, jak je. Čtvrtý řádek: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvků prvního řádku každým z jejich koeficientů a jejich přidáním do požadovaných řádků získáme matici následujícího tvaru:

Jak vidíte, druhý, třetí a čtvrtý řádek se skládají z prvků vzájemně proporcionálních. Druhý a čtvrtý jsou obecně totožné, takže jeden z nich lze okamžitě odstranit a zbývající vynásobit koeficientem „-1“ a získat řádek číslo 3. A opět ze dvou stejných řádků jeden ponechat.

Výsledkem je taková matrice. Zatímco systém ještě není sepsán, je nutné zde určit základní proměnné - ty, které stojí na koeficientech a 11 = 1 a a 22 = 1, a volné - všechny ostatní.

Ve druhé rovnici je pouze jedna základní proměnná - x 2. To znamená, že ji lze odtud vyjádřit zápisem přes proměnné x 3 , x 4 , x 5 , které jsou volné.

Výsledný výraz dosadíme do první rovnice.

Výsledkem je rovnice, ve které je jedinou základní proměnnou x 1 . Udělejme s tím to samé jako s x 2.

Všechny základní proměnné, z nichž jsou dvě, jsou vyjádřeny třemi volnými, nyní můžeme odpověď napsat v obecném tvaru.

Můžete také zadat jedno z konkrétních řešení systému. Pro takové případy se jako hodnoty pro volné proměnné obvykle volí nuly. Pak bude odpověď:

16, 23, 0, 0, 0.

Příklad nekooperativního systému

Řešení nekompatibilních soustav rovnic Gaussovou metodou je nejrychlejší. Okamžitě končí, jakmile se v jedné z fází získá rovnice, která nemá řešení. To znamená, že fáze výpočtu kořenů, která je poměrně dlouhá a únavná, odpadá. Zvažuje se následující systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jako obvykle je matice sestavena:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je redukován na stupňovitou formu:

ki = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po první transformaci obsahuje třetí řádek rovnici tvaru

bez řešení. V důsledku toho je systém nekonzistentní a odpovědí bude prázdná množina.

Výhody a nevýhody metody

Pokud se rozhodnete, jakou metodu vyřešit SLAE na papíře perem, pak metoda, která byla popsána v tomto článku, vypadá nejatraktivněji. V elementárních transformacích je mnohem obtížnější se zmást, než když musíte ručně hledat determinant nebo nějakou záludnou inverzní matici. Pokud však používáte programy pro práci s daty tohoto typu, například tabulky, pak se ukazuje, že takové programy již obsahují algoritmy pro výpočet hlavních parametrů matic - determinant, vedlejší, inverzní atd. A pokud jste si jisti, že stroj tyto hodnoty vypočítá sám a nebude dělat chyby, je vhodnější použít maticovou metodu nebo Cramerovy vzorce, protože jejich aplikace začíná a končí výpočtem determinantů a inverzních matic .

aplikace

Vzhledem k tomu, že Gaussovo řešení je algoritmus a matice je ve skutečnosti dvourozměrné pole, lze jej použít v programování. Ale protože se článek staví jako návod „pro blbce“, je třeba říci, že nejjednodušším místem, kam metodu vložit, jsou tabulky, například Excel. Opět platí, že jakýkoli SLAE zadaný do tabulky ve formě matice bude Excelem považován za dvourozměrné pole. A pro operace s nimi existuje mnoho pěkných příkazů: sčítání (lze sčítat pouze matice stejné velikosti!), násobení číslem, násobení matic (také s určitými omezeními), hledání inverzních a transponovaných matic a hlavně , výpočet determinantu. Pokud je tato časově náročná úloha nahrazena jediným příkazem, je možné mnohem rychleji určit hodnost matice a tím zjistit její kompatibilitu nebo nekompatibilitu.

Co to znamená řešit pomocí Gaussovy metody?

Nejprve musíme napsat náš systém rovnic do Vypadá to takto. Vezměte si systém:

Matice, jejich vlastnosti

V matrixu není žádný skrytý význam. Je to jednoduše pohodlný způsob, jak zaznamenat data pro následné operace s ním. Nemusí se jich bát ani školáci.

B není hlavním bodem rozhodnutí. V zásadě lze všechny operace provádět přímo s rovnicemi samotnými, ale zápis bude mnohem těžkopádnější a bude se v něm mnohem snáze zmást.

Determinant

Klasifikace systému

Na základě situace s hodností lze SLAE rozdělit na:

Kloub. U Ve společných systémech se hodnost hlavní matice (sestávající pouze z koeficientů) shoduje s hodností rozšířené matice (se sloupcem volných členů). Takové systémy mají řešení, ale ne nutně jedno, proto se navíc kloubové systémy dělí na:
- určitý- mít jediné řešení. V určitých systémech jsou hodnosti matice a počet neznámých (nebo počet sloupců, což je totéž) stejné;
- nedefinováno - s nekonečným počtem řešení. Hodnost matic v takových systémech je menší než počet neznámých.
Nekompatibilní. U V takových systémech se úrovně hlavní a rozšířené matice neshodují. Nekompatibilní systémy nemají řešení.

Elementární transformace

Přeskupení linek. Je zřejmé, že pokud změníte pořadí rovnic v systémovém záznamu, řešení to nijak neovlivní. V důsledku toho lze řádky v matici tohoto systému také prohodit, samozřejmě nelze zapomenout na sloupec volných členů.
Násobení všech prvků řetězce určitým koeficientem. Velmi nápomocný! Lze jej použít ke zmenšení velkých čísel v matici nebo odstranění nul. Mnoho rozhodnutí se jako obvykle nezmění, ale další operace budou pohodlnější. Hlavní věc je, že koeficient není roven nule.
Odstranění řádků s proporcionálními faktory. To částečně vyplývá z předchozího odstavce. Pokud mají dva nebo více řádků v matici proporcionální koeficienty, pak když se jeden z řádků vynásobí/vydělí koeficientem proporcionality, získají se dva (nebo opět více) absolutně identické řádky a ty nadbytečné mohou být odstraněny. jen jeden.
Odstranění prázdného řádku. Pokud se při transformaci někde získá řádek, ve kterém jsou všechny prvky včetně volného členu nulové, pak lze takový řádek nazvat nulou a vyhodit z matice.
Přidání prvků jednoho řádku prvků druhého (v odpovídajících sloupcích), vynásobené určitým koeficientem. Nejnezřejmější a nejdůležitější proměna ze všech. Stojí za to se tomu věnovat podrobněji.

Přidání řetězce vynásobeného faktorem

Pro snazší pochopení je vhodné tento proces rozebrat krok za krokem. Z matice jsou převzaty dva řádky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Řekněme, že potřebujete přidat první k druhému, vynásobené koeficientem "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Poté se druhý řádek v matici nahradí novým a první zůstane nezměněn.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Obecně

Ať existuje systém. Má m rovnic a n neznámých kořenů. Můžete to napsat následovně:

Hlavní matice je sestavena ze systémových koeficientů. Do rozšířené matice je přidán sloupec volných výrazů a pro usnadnění oddělen čárou.

první řádek matice se vynásobí koeficientem k = (-a 21 /a 11);
první upravený řádek a druhý řádek matice jsou přidány;
místo druhého řádku se do matice vloží výsledek doplnění z předchozího odstavce;
nyní je první koeficient v novém druhém řádku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druhý upravený řádek je přidán k „aktuálnímu“ řádku;
výsledek sčítání se dosadí do třetího, čtvrtého atd. řádků, přičemž první a druhý zůstanou nezměněny;
v řádcích matice jsou již první dva prvky rovny nule.

Když neexistují žádná řešení

Když existuje nekonečně mnoho řešení

Řešení s konkrétními příklady

Zde je soustava rovnic.

Pro pohodlí je lepší okamžitě vytvořit jeho matici

druhý řádek: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

třetí řádek: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Nyní, abyste nebyli zmateni, musíte napsat matici s mezivýsledky transformací.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matice je znovu zapsána s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Nyní je vše krásné. Zbývá pouze napsat matici znovu ve formě soustavy rovnic a vypočítat kořeny

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmus, kterým budou nyní nalezeny kořeny, se v Gaussově metodě nazývá zpětný pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

A první rovnice nám umožňuje najít x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývat takový systém společným, a dokonce určitým, tedy majícím jedinečné řešení. Odpověď je napsána v následujícím tvaru:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Příklad nejistého systému

Byla analyzována varianta řešení určitého systému pomocí Gaussovy metody, nyní je třeba uvažovat případ, kdy je systém nejistý, tj. lze pro něj nalézt nekonečně mnoho řešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Nejprve se jako obvykle sestaví rozšířená matice.

Postupným vynásobením prvků prvního řádku každým z jejich koeficientů a jejich přidáním do požadovaných řádků získáme matici následujícího tvaru:

Ve druhé rovnici je pouze jedna základní proměnná - x 2. To znamená, že ji lze odtud vyjádřit zápisem přes proměnné x 3 , x 4 , x 5 , které jsou volné.

Výsledný výraz dosadíme do první rovnice.

Výsledkem je rovnice, ve které je jedinou základní proměnnou x 1 . Udělejme s tím to samé jako s x 2.

Všechny základní proměnné, z nichž jsou dvě, jsou vyjádřeny třemi volnými, nyní můžeme odpověď napsat v obecném tvaru.

Můžete také zadat jedno z konkrétních řešení systému. Pro takové případy se jako hodnoty pro volné proměnné obvykle volí nuly. Pak bude odpověď:

16, 23, 0, 0, 0.

Příklad nekooperativního systému

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jako obvykle je matice sestavena:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je redukován na stupňovitou formu:

ki = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po první transformaci obsahuje třetí řádek rovnici tvaru

bez řešení. V důsledku toho je systém nekonzistentní a odpovědí bude prázdná množina.

Výhody a nevýhody metody

aplikace

Jednou z univerzálních a účinných metod řešení lineárních algebraických systémů je Gaussova metoda , spočívající v postupném odstraňování neznámých.

Připomeňme, že se nazývají dva systémy ekvivalent (ekvivalent), pokud se množiny jejich řešení shodují. Jinými slovy, systémy jsou ekvivalentní, pokud každé řešení jednoho z nich je řešením druhého a naopak. Ekvivalentní systémy se získají, když elementární transformace rovnice soustavy:

násobení obou stran rovnice číslem jiným než nula;

přidání k nějaké rovnici odpovídající části jiné rovnice, vynásobené číslem jiným než nula;

přeskupení dvou rovnic.

Nechť je dána soustava rovnic

Proces řešení tohoto systému pomocí Gaussovy metody se skládá ze dvou etap. V první fázi (přímý pohyb) je systém pomocí elementárních transformací redukován na postupně , nebo trojúhelníkový a ve druhé fázi (reverzní) je sekvenční, počínaje posledním proměnným číslem, určování neznámých z výsledného krokového systému.

Předpokládejme, že koeficient tohoto systému
, jinak v systému lze první řádek prohodit s jakýmkoli jiným řádkem tak, že koeficient at byla jiná než nula.

Pojďme transformovat systém odstraněním neznámého ve všech rovnicích kromě první. Chcete-li to provést, vynásobte obě strany první rovnice číslem a přidejte člen po členu s druhou rovnicí systému. Poté vynásobte obě strany první rovnice číslem a přidejte ji do třetí rovnice soustavy. Pokračujeme-li v tomto procesu, získáme ekvivalentní systém

Tady
– nové hodnoty koeficientů a volných členů, které se získají po prvním kroku.

Podobně s ohledem na hlavní prvek
, vyloučit neznámé ze všech rovnic soustavy kromě první a druhé. Pokračujme v tomto procesu tak dlouho, jak je to možné, a jako výsledek dostaneme krokový systém

Kde ,
,…,– hlavní prvky systému
.

Pokud se v procesu redukce systému na stupňovitý tvar objeví rovnice, tj.
, jsou vyřazeny, protože jsou splněny jakoukoli sadou čísel
. Pokud v
Pokud se objeví rovnice ve tvaru, která nemá řešení, znamená to nekompatibilitu systému.

Při zpětném zdvihu je první neznámá vyjádřena z poslední rovnice transformovaného stupňovitého systému přes všechny ostatní neznámé
které se nazývají volný, uvolnit . Potom proměnný výraz z poslední rovnice soustavy se dosadí do předposlední rovnice a z ní se vyjádří proměnná
. Proměnné jsou definovány sekvenčně podobným způsobem
. Proměnné
, vyjádřené prostřednictvím volných proměnných, se nazývají základní (závislý). Výsledkem je obecné řešení soustavy lineárních rovnic.

Najít soukromé řešení systémy, volný neznámý
v obecném řešení jsou přiřazeny libovolné hodnoty a jsou vypočteny hodnoty proměnných
.

Technicky výhodnější je podrobit elementárním transformacím nikoli samotné systémové rovnice, ale rozšířenou matici systému

Gaussova metoda je univerzální metoda, která umožňuje řešit nejen čtvercové, ale i obdélníkové soustavy, ve kterých je počet neznámých
není roven počtu rovnic
.

Výhodou této metody je také to, že v procesu řešení současně zkoumáme kompatibilitu systému, protože s ohledem na rozšířenou matici
k postupné formě je snadné určit pořadí matice a rozšířená matice
a aplikovat Kronecker-Capelliho věta .

Příklad 2.1 Soustavu řešte Gaussovou metodou

Řešení. Počet rovnic
a počet neznámých
.

Vytvořme rozšířenou matici systému přiřazením koeficientů napravo od matice sloupec volných členů .

Představme si matrici na trojúhelníkový pohled; K tomu získáme „0“ pod prvky umístěnými na hlavní diagonále pomocí elementárních transformací.

Chcete-li získat "0" na druhé pozici prvního sloupce, vynásobte první řádek (-1) a přidejte jej do druhého řádku.

Tuto transformaci zapíšeme jako číslo (-1) proti prvnímu řádku a označíme jej šipkou směřující z prvního řádku na druhý řádek.

Chcete-li získat "0" na třetí pozici prvního sloupce, vynásobte první řádek (-3) a přidejte do třetího řádku; Ukažme tuto akci pomocí šipky jdoucí z prvního řádku na třetí.

Ve výsledné matici, zapsané jako druhé v řetězci matic, dostaneme „0“ ve druhém sloupci na třetí pozici. Abychom to udělali, vynásobili jsme druhý řádek (-4) a přidali ho ke třetímu. Ve výsledné matici vynásobte druhý řádek (-1) a vydělte třetí (-8). Všechny prvky této matice ležící pod diagonálními prvky jsou nuly.

Protože , systém je kolaborativní a definovaný.

Soustava rovnic odpovídající poslední matici má trojúhelníkový tvar:

Z poslední (třetí) rovnice
. Dosaďte do druhé rovnice a dostaňte
.

Pojďme nahradit
A
do první rovnice najdeme

.

Tato online kalkulačka najde řešení systému lineárních rovnic (SLE) pomocí Gaussovy metody. Je uvedeno podrobné řešení. Pro výpočet vyberte počet proměnných a počet rovnic. Poté zadejte data do buněk a klikněte na tlačítko "Vypočítat".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Zobrazení čísel:

Celá čísla a/nebo běžné zlomky
Celá čísla a/nebo desetinná místa

Počet míst za oddělovačem desetinných míst

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Pokyny pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná místa (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek musí být zadán ve tvaru a/b, kde a a b (b>0) jsou celá čísla nebo desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda přechodu od původní soustavy lineárních rovnic (pomocí ekvivalentních transformací) k soustavě, která je snáze řešitelná než původní soustava.

Ekvivalentní transformace soustavy lineárních rovnic jsou:

prohození dvou rovnic v systému,
vynásobení jakékoli rovnice v systému nenulovým reálným číslem,
přidat k jedné rovnici další rovnici vynásobenou libovolným číslem.

Zvažte systém lineárních rovnic:

(1)

Zapišme systém (1) v maticovém tvaru:

Sekera=b

(2)

(3)

A- nazývá se matice koeficientů systému, b− pravá strana omezení, X− vektor proměnných, které mají být nalezeny. Nechat pořadí ( A)=p.

Ekvivalentní transformace nemění hodnost matice koeficientů a hodnost rozšířené matice systému. Množina řešení soustavy se také při ekvivalentních transformacích nemění. Podstatou Gaussovy metody je redukce matice koeficientů A na diagonální nebo stupňovité.

Vytvořme rozšířenou matici systému:

V další fázi resetujeme všechny prvky sloupce 2 pod prvkem. Pokud je tento prvek nulový, pak se tento řádek zamění s řádkem ležícím pod tímto řádkem a majícím nenulový prvek ve druhém sloupci. Dále resetujte všechny prvky sloupce 2 pod úvodním prvkem A 22. Chcete-li to provést, přidejte řádky 3, ... m s řetězcem 2 vynásobeným − A 32 /A 22 , ..., −A m2/ A 22, resp. Pokračujeme-li v postupu, získáme matici diagonálního nebo stupňovitého tvaru. Nechť má výsledná rozšířená matice tvar:

(7)

Protože rangA=zazvonil(A|b), pak množina řešení (7) je ( n−p)− rozmanitost. Proto n−p neznámé lze volit libovolně. Zbývající neznámé ze systému (7) se vypočítají následovně. Z poslední rovnice vyjádříme X p přes zbývající proměnné a vložte do předchozích výrazů. Dále z předposlední rovnice vyjádříme X p−1 přes zbývající proměnné a vložit do předchozích výrazů atd. Podívejme se na Gaussovu metodu na konkrétních příkladech.

Příklady řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou

Příklad 1. Najděte obecné řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody:

Označme podle A ij prvky i-tý řádek a j sloupec.

A jedenáct . Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 s řádkem 1, vynásobené -2/3,-1/2:

Typ maticového záznamu: Sekera=b, Kde

Označme podle A ij prvky i-tý řádek a j sloupec.

Vynechme prvky 1. sloupce matice pod prvkem A jedenáct . Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 s řádkem 1, vynásobené -1/5,-6/5, v tomto pořadí:

Každý řádek matice vydělíme odpovídajícím vodicím prvkem (pokud vodicí prvek existuje):

Kde X 3 , X

Dosazením horních výrazů do nižších dostaneme řešení.

Pak může být vektorové řešení reprezentováno následovně:

Kde X 3 , X 4 jsou libovolná reálná čísla.

Carl Friedrich Gauss, největší matematik, dlouho váhal a vybíral mezi filozofií a matematikou. Možná to bylo právě toto myšlení, které mu umožnilo vytvořit tak znatelné „dědictví“ ve světové vědě. Zejména vytvořením "Gaussovy metody" ...

Články na tomto webu se téměř 4 roky zabývaly školní výchovou především z pohledu filozofie, principy (ne)porozumění vnášené do myslí dětí. Přichází čas na další specifika, příklady a metody... Věřím, že právě toto je přístup ke známému, matoucímu a Důležité oblasti života přináší lepší výsledky.

My lidé jsme navrženi tak, že bez ohledu na to, o čem mluvíme abstraktní myšlení, Ale porozumění Vždy děje prostřednictvím příkladů. Nejsou-li příklady, pak je nemožné pochopit principy... Stejně jako se nelze dostat na vrchol hory jinak, než projít celý svah od úpatí.

To samé se školou: zatím živé příběhy Nestačí, že ho instinktivně i nadále považujeme za místo, kde se děti učí rozumět.

Například výuka Gaussovy metody...

Gaussova metoda v 5. třídě školy

Hned udělám rezervaci: Gaussova metoda má mnohem širší uplatnění například při řešení soustav lineárních rovnic. Co si budeme povídat, odehrává se v 5. třídě. Tento začala Když pochopíte, které, je mnohem snazší porozumět „pokročilejším možnostem“. V tomto článku mluvíme o Gaussova metoda (metoda) pro nalezení součtu řady

Zde je příklad, který si můj nejmladší syn, který navštěvuje 5. třídu moskevského gymnázia, přinesl ze školy.

Školní ukázka Gaussovy metody

Učitel matematiky na interaktivní tabuli (moderní výukové metody) dětem předvedl prezentaci historie „stvoření metody“ od malého Gausse.

Učitelka zmlátila malého Karla (zastaralá metoda, která se dnes ve školách nepoužívá), protože on

místo postupného sčítání čísel od 1 do 100 najděte jejich součet všimlže dvojice čísel stejně vzdálených od okrajů aritmetické posloupnosti se sčítají ke stejnému číslu. například 100 a 1, 99 a 2. Po spočítání počtu takových párů malý Gauss téměř okamžitě vyřešil problém navržený učitelem. Za což byl před zraky užaslé veřejnosti popraven. Aby ostatní byli odrazeni od přemýšlení.

Co udělal malý Gauss? rozvinutý číselný smysl? Všiml jsem si nějakou funkcičíselná řada s konstantním krokem (aritmetická progrese). A přesně tohle později z něj udělal velkého vědce, kteří vědí, jak si všimnout, mající cit, instinkt porozumění.

To je důvod, proč je matematika cenná, rozvíjející se schopnost vidět konkrétně obecně - abstraktní myšlení. Proto většina rodičů a zaměstnavatelů instinktivně považovat matematiku za důležitou disciplínu ...

„Pak se musíte naučit matematiku, protože ta vám dá rozum do pořádku.
M.V.Lomonosov“.

Stoupenci těch, kteří budoucí géniové bičovali tyčemi, však z Methoda udělali něco opačného. Jak řekl můj nadřízený před 35 lety: "Otázka byla naučena." Nebo jak včera řekl můj nejmladší syn o Gaussově metodě: "Možná z toho nemá cenu dělat velkou vědu, co?"

Důsledky kreativity „vědců“ jsou patrné na úrovni současné školní matematiky, na úrovni její výuky a na chápání „královny věd“ většinou.

Nicméně pokračujme...

Metody vysvětlení Gaussovy metody v 5. ročníku školy

Učitel matematiky na moskevském gymnáziu, vysvětlující Gaussovu metodu podle Vilenkina, úkol zkomplikoval.

Co když rozdíl (krok) aritmetické progrese není jedno, ale jiné číslo? Například 20.

Problém, který dal žákům páté třídy:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Než se seznámíme s gymnaziální metodou, podívejme se na internet: jak to dělají učitelé a učitelé matematiky?...

Gaussova metoda: vysvětlení č. 1

Známý lektor na svém kanálu YOUTUBE uvádí následující důvody:

"Zapišme čísla od 1 do 100 takto:

nejprve řadu čísel od 1 do 50 a přesně pod ní další řadu čísel od 50 do 100, ale v opačném pořadí“

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Všimněte si prosím: součet každého páru čísel z horního a spodního řádku je stejný a rovná se 101! Spočítejte počet párů, je to 50 a vynásobte součet jednoho páru počtem párů! Voila: The odpověď je připravena!"

"Pokud jsi nerozuměl, nezlob se!" zopakoval učitel třikrát během výkladu. "Tuto metodu budeš používat v 9. třídě!"

Gaussova metoda: vysvětlení č. 2

Jiný tutor, méně známý (soudě podle počtu zobrazení), zaujímá více vědecký přístup a nabízí algoritmus řešení o 5 bodech, který musí být dokončen postupně.

Pro nezasvěcené je 5 jedno z Fibonacciho čísel tradičně považovaných za magické. 5-ti kroková metoda je vždy vědečtější než například 6-kroková metoda. ...A to není náhoda, s největší pravděpodobností je autor skrytým zastáncem Fibonacciho teorie

Vzhledem k aritmetickému postupu: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritmus pro nalezení součtu čísel v řadě pomocí Gaussovy metody:

Krok 1: přepište danou sekvenci čísel obráceně, přesně pod tím prvním.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Krok 2: vypočítejte součet dvojic čísel umístěných ve svislých řadách: 260.

Krok 3: Spočítejte, kolik takových dvojic je v číselné řadě. Chcete-li to provést, odečtěte minimum od maximálního počtu číselné řady a vydělte velikostí kroku: (256 - 4) / 6 = 42.

Zároveň je potřeba si pamatovat plus jedno pravidlo : k výslednému kvocientu musíme přidat jedničku: jinak dostaneme výsledek, který je o jednu menší než skutečný počet dvojic: 42 + 1 = 43.

Krok 4: Vynásobte součet jedné dvojice čísel počtem dvojic: 260 x 43 = 11 180

Krok 5: protože jsme vypočítali částku dvojice čísel, pak by se výsledná částka měla vydělit dvěma: 11 180 / 2 = 5590.

Toto je požadovaný součet aritmetického postupu od 4 do 256 s rozdílem 6!

Gaussova metoda: výklad v 5. třídě na moskevském gymnáziu

Zde je návod, jak vyřešit problém nalezení součtu řady:

20+40+60+ ... +460+480+500

v 5. třídě moskevského gymnázia, Vilenkinova učebnice (podle mého syna).

Po předvedení prezentace učitel matematiky ukázal několik příkladů pomocí Gaussovy metody a zadal třídě úkol najít součet čísel v řadě v krocích po 20.

To vyžadovalo následující:

Krok 1: nezapomeňte si zapsat všechna čísla v řadě do sešitu od 20 do 500 (v krocích po 20).

Krok 2: zapište po sobě jdoucí členy - dvojice čísel: první s posledním, druhý s předposledním atd. a vypočítat jejich výši.

Krok 3: vypočítejte „součet součtů“ a najděte součet celé řady.

Jak vidíte, jedná se o kompaktnější a účinnější techniku: číslo 3 je také členem Fibonacciho sekvence

Moje komentáře ke školní verzi Gaussovy metody

Velký matematik by si rozhodně zvolil filozofii, kdyby předvídal, v co jeho „metodu“ promění jeho následovníci. učitel němčiny, který Karla bičoval pruty. Viděl by symboliku, dialektickou spirálu a nehynoucí hloupost „učitelů“, snaží se změřit harmonii živého matematického myšlení s algebrou nedorozumění ....

Mimochodem: věděli jste. že naše školství má kořeny v německé škole 18. a 19. století?

Gauss si ale vybral matematiku.

Co je podstatou jeho metody?

V zjednodušení. V pozorování a uchopení jednoduché vzory čísel. V proměnit aritmetiku suché školy v zajímavá a vzrušující činnost aktivující v mozku touhu pokračovat, spíše než blokovat drahou mentální aktivitu.

Je možné použít některou z uvedených „modifikace Gaussovy metody“ k výpočtu součtu čísel aritmetické posloupnosti téměř okamžitě? Malý Karl by se podle „algoritmů“ zaručeně vyhnul výprasku, vypěstoval si odpor k matematice a v zárodku by potlačoval své tvůrčí pudy.

Proč lektor tak vytrvale radil páťákům „nebát se nepochopení“ metody a přesvědčoval je, že „takové“ problémy budou řešit už v 9. třídě? Psychologicky negramotné jednání. Byl to dobrý tah: "Uvidíme se již v 5. třídě můžeteřešte problémy, které dokončíte až za 4 roky! Jaký jsi skvělý chlapík!"

Pro použití Gaussovy metody stačí úroveň třídy 3, kdy normální děti už umí sčítat, násobit a dělit 2-3 ciferná čísla. Problémy vznikají kvůli neschopnosti dospělých učitelů, kteří jsou „mimo kontakt“ vysvětlit ty nejjednodušší věci normálním lidským jazykem, nemluvě o matematice... Nedokážou vzbuzovat zájem o matematiku a zcela odradit i ty, kteří jsou „ schopný."

Nebo, jak řekl můj syn: „udělat z toho velkou vědu“.

Jak (obecně) zjistíte, které číslo byste měli „rozšířit“ záznam čísel v metodě č. 1?

Co dělat, když se ukáže, že počet členů série je zvláštní?

Proč měnit v „Pravidlo plus 1“ něco, co by dítě mohlo jednoduše Učit se dokonce i v první třídě, kdybych si vyvinul „smysl pro čísla“ a nepamatoval si"počítat do deseti"?

A nakonec: kam se poděla NULA, geniální vynález, který je starý více než 2000 let a kterému se moderní učitelé matematiky vyhýbají?!

Gaussova metoda, moje vysvětlení

Moje žena a já jsme vysvětlili tuto „metodu“ našemu dítěti, zdá se, ještě před školou...

Jednoduchost místo složitosti nebo hra otázek a odpovědí

"Podívej, tady jsou čísla od 1 do 100. Co vidíš?"

Nejde o to, co přesně dítě vidí. Trik je přimět ho, aby se podíval.

"Jak je můžeš dát dohromady?" Syn si uvědomil, že takové otázky se nekladou „jen tak“ a je třeba se na otázku dívat „nějak jinak, jinak než obvykle“

Nevadí, když dítě hned vidí řešení, je to nepravděpodobné. Je důležité, aby on přestal se bát podívat, nebo jak já říkám: „přesunul úkol“. To je začátek cesty k porozumění

"Co je jednodušší: přidat například 5 a 6 nebo 5 a 95?" Vůdčí otázka... Ale jakýkoli výcvik spočívá v „vedení“ člověka k „odpovědi“ – jakýmkoli způsobem, který je pro něj přijatelný.

V této fázi již mohou vzniknout dohady o tom, jak „ušetřit“ na výpočtech.

Vše, co jsme udělali, bylo naznačení: „frontální, lineární“ metoda počítání není jediná možná. Pokud to dítě pochopí, později přijde na mnoho dalších takových metod, protože je to zajímavé!!! A rozhodně se vyhne „nepochopení“ matematiky a nebude se jí cítit znechuceně. Získal výhru!

Li objeveno dítěže sčítání dvojic čísel, které dávají dohromady sto, je pak hračka "aritmetický postup s rozdílem 1"- pro dítě dost ponurá a nezajímavá věc - najednou našel pro něj život . Pořádek se vynořil z chaosu a to vždy vyvolává nadšení: tak jsme stvořeni!

Otázka k zodpovězení: proč by po vhledu, který dítě získalo, mělo být znovu nuceno do rámce suchých algoritmů, které jsou v tomto případě také funkčně zbytečné?!

Proč nutit hloupé přepisy? pořadová čísla v sešitě: aby ani schopní neměli jedinou šanci na porozumění? Statisticky, samozřejmě, ale masové vzdělávání je zaměřeno na „statistiku“...

Kam se poděla nula?

A přesto je sčítání čísel, která dávají dohromady 100, pro mysl mnohem přijatelnější než ta, která dávají dohromady 101...

"Metoda Gaussovy školy" vyžaduje přesně toto: bezmyšlenkovitě složit dvojice čísel stejně vzdálené od středu progrese, Navzdory všemu.

Co když se podíváš?

Přesto je nula největším vynálezem lidstva, který je starý více než 2000 let. A učitelé matematiky ho dál ignorují.

Je mnohem jednodušší transformovat řadu čísel začínající 1 na řadu začínající 0. Součet se nezmění, že? Musíte přestat „myslet v učebnicích“ a začít hledat... A podívejte se, že dvojice se součtem 101 mohou být zcela nahrazeny dvojicemi se součtem 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Jak zrušit „pravidlo plus 1“?

Abych byl upřímný, poprvé jsem o takovém pravidle slyšel od onoho lektora YouTube...

Co mám dělat, když potřebuji určit počet členů řady?

Podívám se na sekvenci:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a až budete úplně unavení, přejděte k jednodušší řadě:

1, 2, 3, 4, 5

a já si myslím: když odečteš jedničku od 5, dostaneš 4, ale mám naprosto jasno Chápu 5 čísel! Proto musíte jeden přidat! Číselný smysl vyvinutý na základní škole naznačuje: i když existuje celý Google členů řady (od 10 do setiny), vzorec zůstane stejný.

Jaká jsou sakra pravidla?...

Abyste za pár nebo tři roky zaplnili veškerý prostor mezi čelem a zátylkem a přestali přemýšlet? Jak si vydělat na chleba a máslo? Koneckonců, pohybujeme se ve stejných řadách do éry digitální ekonomiky!

Více o Gaussově školní metodě: „Proč z toho dělat vědu?...“

Ne nadarmo jsem zveřejnil snímek obrazovky z notebooku mého syna...

"Co se stalo ve třídě?"

"No, hned jsem počítal, zvedl ruku, ale ona se nezeptala. Zatímco ostatní počítali, začal jsem dělat domácí úkoly v ruštině, abych neztrácel čas. Když pak ostatní dopsali (? ??), zavolala mě na tabuli. Řekl jsem odpověď."

"To je pravda, ukaž mi, jak jsi to vyřešil," řekl učitel. Ukázal jsem to. Řekla: "Špatně, musíte počítat, jak jsem ukázal!"

"Je dobře, že nedala špatnou známku. A donutila mě napsat jim do sešitu "průběh řešení" po svém. Proč z toho dělat velkou vědu?..."

Hlavní zločin učitele matematiky

Těžko potom ten incident Carl Gauss prožíval vysoký pocit úcty ke svému učiteli matematiky na škole. Ale kdyby věděl jak stoupenci toho učitele naruší samotnou podstatu metody... zařval by rozhořčením a prostřednictvím Světové organizace duševního vlastnictví WIPO dosáhl zákazu používání jeho dobrého jména ve školních učebnicích!..

V jaké hlavní chyba školního přístupu? Nebo, jak jsem to řekl, zločin školních učitelů matematiky na dětech?

Algoritmus nedorozumění

Co dělají školní metodici, z nichž drtivá většina neví, jak myslet?

Vytvářejí metody a algoritmy (viz). Tento obranná reakce, která chrání učitele před kritikou („Všechno se dělá podle...“) a děti před pochopením. A tedy - z touhy kritizovat učitele!(Druhý derivát byrokratické „moudrosti“, vědecký přístup k problému). Člověk, který nechápe význam, bude vinit spíše vlastní nepochopení, než hloupost školského systému.

To se děje: rodiče obviňují své děti a učitelé... dělají totéž pro děti, které „nerozumějí matematice!“

Jsi chytrý?

Co udělal malý Karel?

Zcela nekonvenční přístup k formulovému úkolu. To je podstata Jeho přístupu. Tento hlavní věc, která by se měla ve škole učit, je myslet ne učebnicemi, ale hlavou. Samozřejmě nechybí ani instrumentální složka, kterou lze použít... při hledání jednodušší a efektivnější metody počítání.

Gaussova metoda podle Vilenkina

Ve škole se učí, že Gaussova metoda je

v párech najít součet čísel stejně vzdálených od okrajů číselné řady, určitě začíná od okrajů!

zjistit počet takových párů atd.

Co, pokud je počet prvků řady lichý, jako v problému, který byl přidělen mému synovi?...

"Háček" je v tomto případě měli byste v sérii najít „extra“ číslo a přidejte jej k součtu dvojic. V našem příkladu je toto číslo 260.

Jak zjistit? Kopírování všech dvojic čísel do sešitu!(To je důvod, proč učitel přiměl děti, aby dělaly tuto hloupou práci, když se snažily učit „kreativitu“ pomocí Gaussovy metody... A proto je taková „metoda“ prakticky nepoužitelná pro velké datové řady, A proto je ne Gaussova metoda.)

Trocha kreativity ve školní rutině...

Syn jednal jinak.

Nejprve poznamenal, že je jednodušší vynásobit číslo 500, nikoli 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Pak vypočítal: počet kroků se ukázal jako lichý: 500 / 20 = 25.

Poté přidal na začátek série NULU (ačkoli bylo možné vyřadit poslední termín série, což by také zajistilo paritu) a přidal čísla, která dala celkem 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 kroků je 13 párů „pětistovky“: 13 x 500 = 6500..

Pokud jsme vyřadili poslední termín série, pak bude párů 12, ale neměli bychom zapomenout přičíst k výsledku výpočtů „vyřazených“ pět set. Pak: (12 x 500) + 500 = 6500!

Není to těžké, že?

Ale v praxi je to ještě snazší, což vám umožní vyčlenit 2-3 minuty na dálkový průzkum v ruštině, zatímco zbytek se „počítá“. Navíc zachovává počet kroků metody: 5, což neumožňuje vytýkat přístup jako nevědecký.

Je zřejmé, že tento přístup je jednodušší, rychlejší a univerzálnější ve stylu Metody. Ale... učitel nejen nepochválil, ale ještě mě donutil přepsat to „správným způsobem“ (viz screenshot). To znamená, že se zoufale pokusila udusit tvůrčí impuls a schopnost porozumět matematice v kořenech! Zřejmě proto, aby mohla být později přijata jako vychovatelka... Napadla nesprávnou osobu...

Vše, co jsem tak zdlouhavě a zdlouhavě popisovala, se dá normálnímu dítěti vysvětlit maximálně za půl hodiny. Spolu s příklady.

A to tak, že na to nikdy nezapomene.

A bude krok k pochopení...nejen matematici.

Přiznejte se: kolikrát v životě jste přidali pomocí Gaussovy metody? A nikdy jsem to neudělal!

Ale instinkt porozumění, která se vyvíjí (nebo zaniká) v procesu studia matematických metod ve škole... Ach!.. To je opravdu nenahraditelná věc!

Zejména v době všeobecné digitalizace, do které jsme pod přísným vedením strany a vlády v tichosti vstoupili.

Pár slov na obranu učitelů...

Je nespravedlivé a nesprávné skládat veškerou odpovědnost za tento styl výuky pouze na učitele školy. Systém je v platnosti.

Nějaký učitelé chápou absurditu toho, co se děje, ale co dělat? Zákon o vzdělávání, federální státní vzdělávací standardy, metody, učební plány... Vše se musí dělat „v souladu a na základě“ a vše musí být zdokumentováno. Ustup stranou – stál ve frontě na vyhození. Nebuďme pokrytci: platy moskevských učitelů jsou velmi dobré... Pokud vás vyhodí, kam jít?...

Proto tato stránka ne o vzdělání. Je o individuální vzdělávání, jediný možný způsob, jak se dostat z davu generace Z ...