Řešení obtížného sudoku. Způsoby, jak vyřešit klasické sudoku

Dnes vás to tedy naučím řešit sudoku.

Pro názornost si uveďme konkrétní příklad a zvažte základní pravidla:

Pravidla pro řešení sudoku:

Řádek a sloupec jsem zvýraznil žlutě. První pravidlo každý řádek a každý sloupec může obsahovat čísla od 1 do 9 a nelze je opakovat. Zkrátka - 9 buněk, 9 čísel - proto nemohou být ve stejném sloupci 2 pětky, osmičky atd. Stejně tak pro struny.

Nyní jsem vybral čtverce - toto je druhé pravidlo. Každý čtverec může obsahovat čísla od 1 do 9 a neopakují se. (Stejné jako v řádcích a sloupcích). Čtverce jsou zvýrazněny tučnými čarami.

Odtud máme obecné pravidlo pro řešení sudoku: ani dovnitř linky, ani v sloupců ani dovnitř čtvercečísla by se neměla opakovat.

No, zkusme to teď vyřešit:

Zvýraznil jsem jednotky zeleně a ukázal směr, kterým se díváme. Nás totiž zajímá poslední horní čtverec. Můžete si všimnout, že ve 2. a 3. řadě tohoto čtverce nemohou být jednotky, jinak dojde k opakování. To znamená, že jednotka je nahoře:

Dva je snadné najít:

Nyní použijeme dva, které jsme právě našli:

Doufám, že vyhledávací algoritmus je jasný, takže odteď budu kreslit rychleji.

Podíváme se na 1. čtverec 3. řádku (níže):

Protože Zbývají nám 2 volné buňky, pak každá z nich může obsahovat jedno ze dvou čísel: (1 nebo 6):

To znamená, že ve sloupci, který jsem zvýraznil, už nemůže být ani 1, ani 6 – takže dáme 6 do horního čtverce.

Kvůli nedostatku času se zde zastavím. Opravdu doufám, že chápete logiku. Mimochodem, nevzal jsem si nejjednodušší příklad, ve kterém s největší pravděpodobností nebudou všechna řešení jasně viditelná najednou, a proto je lepší použít tužku. O 1 a 6 v dolním čtverci ještě nevíme, takže je nakreslíme tužkou - podobně budou 3 a 4 nakresleny tužkou v horním čtverci.

Když se trochu více zamyslíme, pomocí pravidel se zbavíme otázky, kde je 3 a kde 4:

Ano, mimochodem, pokud by se vám některý okamžik zdál nejasný, napište, vysvětlím podrobněji. Hodně štěstí při řešení sudoku.

SUDOKU je oblíbená logická hra, což je puzzle s čísly, které lze překonat pouze vytvářením logických závěrů. Ve jménu sudoku v překladu z japonštiny „su“ znamená „číslo“ a doku „doku“ znamená „stání sám“. Proto „SUDOKU“ zhruba přeloženo znamená „jednociferný“.

Název „Sudoku“ dalo této hádance japonské vydavatelství Nicoli v roce 1984. Sudoku je zkratka pro „Suuji wa dokushin ni kagiru“, což v japonštině znamená „číslo musí být jednotné“. Nakladatelství Nikoli přišlo nejen se zvučným názvem, ale také poprvé zavedlo symetrii do úkolů pro své hádanky. Název hlavolamu dala hlava Nicoli - Kaji Maki. Celý svět přijal toto nové japonské jméno, ale v Japonsku samotném se hlavolam nazývá „Nanpure“. Nicoli si ve své zemi zaregistrovala slovo „Sudoku“ jako ochrannou známku.

Historie vzniku sudoku

Indie je považována za kolébku šachů a Anglie za kolébku fotbalu. Hra Sudoku, která se rychle rozšířila do celého světa, nemá jako takovou vlast. Za prototyp sudoku lze považovat hlavolam „Magic Square“, který se objevil v Číně před 2000 lety.

Historie hry Sudoku sahá až ke jménu slavného švýcarského matematika, mechanika a fyzika Leonharda Eulera (1707 - 1783).

Dokumenty v jeho archivech ze 17. října 1776 obsahují poznámky o tom, jak vytvořit magický čtverec s určitým počtem buněk, zejména 9, 16, 25 a 36. V jiném dokumentu nazvaném "Vědecké zkoumání nových odrůd magického čtverce" “, Euler umístěný v buňkách jsou latinská písmena (latinský čtverec), později vyplnil buňky řeckými písmeny a nazval čtverec řecko-latinským. Při zkoumání různých verzí magického čtverce Euler upozornil na problém kombinování symbolů tak, aby se ani jeden neopakoval v žádném řádku nebo sloupci.

Sudoku ve své moderní podobě byly poprvé publikovány v roce 1979 v časopise Word Games. Autorem hlavolamu byl Harvard Garys z Indiany. Hádanka „Number Place“ (přeloženo do ruštiny jako „místo čísla“) - to lze považovat za jedno z prvních vydání moderního sudoku. Přidal 3x3 čtvercové bloky, což bylo důležité vylepšení, protože to udělalo hádanku zajímavější. Použil Eulerův princip latinského čtverce, aplikoval jej na matici 9x9 a přidal další omezení, čísla by se ve vnitřních čtvercích 3x3 neměla opakovat.

Myšlenka Sudoku tedy nepochází z Japonska, jak si mnoho lidí myslí, ale název hry je skutečně japonský.

V Japonsku byl tento hlavolam publikován Nicoly Inc., hlavním vydavatelem sbírek různých hlavolamů, v novinách Monthly Nicolist v dubnu 1984 pod názvem "Číslo lze použít pouze jednou." 12. listopadu 2004 noviny The Times poprvé na svých stránkách zveřejnily hlavolam Sudoku. Tato publikace se stala senzací, hádanka se rychle rozšířila po celé Británii, Austrálii a Novém Zélandu; získal popularitu v USA.

Variace sudoku

Co je tedy sudoku? V současné době existuje mnoho modernizací pro tento oblíbený typ hádanek, ale klasické sudoku je čtverec 9x9, rozdělený na podčtverce se stranami po 3 buňkách. Celkové hrací pole je tedy 81 buněk. V příloze mé práce uvedu různé druhy sudoku a řešení (pomohli mi je vyřešit moji rodiče).

Sudoku se liší úrovní obtížnosti v závislosti na velikosti čtverce:

• 1. Pro malé milovníky hádanek vyrobte sudoku s poli 2x2, 6x6 buněk.
• 2. Pro profesionály je tu sudoku 15x15 a 16x16 buněk

Sudoku přichází v různých úrovních:

• snadný
• průměrný
• obtížný
• velmi komplikované
• super komplex

Pravidla řešení

Sudoku mají pouze jedno pravidlo. Prázdné buňky je nutné vyplnit tak, aby se v každém řádku, v každém sloupci a v každém malém čtverci 3X3 každé číslo od 1 do 9 objevilo pouze jednou. Některé buňky v sudoku jsou již vyplněny čísly a zbytek stačí vyplnit. Čím více čísel je zpočátku, tím snazší je vyřešit hádanku. Mimochodem, správně složené sudoku má jediné řešení.

Řešení sudoku

Strategie řešení sudoku zahrnuje tři fáze:

• učení se umístění čísel v hádance
• předběžné uspořádání čísel
• analýza

Nejlepším řešením je napsat kandidátní čísla do levého horního rohu buňky. Poté můžete přesně vidět čísla, která by měla obsadit tuto buňku. Sudoku by se mělo hrát pomalu, protože je to relaxační hra. Některé hádanky lze vyřešit během několika minut, jiné však mohou trvat hodiny nebo v některých případech i dny.

Matematický základ. Počet možných kombinací v sudoku 9x9 je podle výpočtů Berthama Felgenhauera 6 670 903 752 021 072 936 960.

V tomto článku se podrobně podíváme na to, jak vyřešit složité sudoku na příkladu diagonálního sudoku.

Dostaneme podmínku číslo 437, která je znázorněna na obrázku 1. A hned první čtverec vás zaujme, je nejvíce nasycený otevřenými čísly. Chybí čísla 1, 3, 4, 9. Ale protože vodorovná čára a již obsahuje tři, je číslo tři umístěno na c1. Zbytek neumíme přesně umístit. Pojďme se tedy podívat, co dalšího máme. Například vertikála je 4 a zde může být číslo čtyři pouze na b4, kvůli přítomnosti čtyřky v pátém poli a na vodorovném c. Zbývající čísla prozatím nebudeme uvádět.

Všechny techniky a metody, které dále použijeme, platí pro řešení jednoduchého i složitého sudoku.

Co máme na vodorovném b? Tři jsou zde málo a může stát pouze na b8. (Ve druhém čtverci už tam je a na svislici 9). A pokud budeme dále pečlivě zkoumat vodorovnou čáru b, zjistíme, že máme skrytý singl - číslo 9 na buňce b9. Protože ostatní kandidáti (to jsou 1 a 5) nemohou stát na tomto náměstí!

Co můžeme dělat dál? Pokud vezmeme v úvahu čtverec pět. Zde mohou být čísla 3 a 5 buď na d5 nebo e6. To znamená, že u zbývajících čísel tyto buňky neuvažujeme, na základě toho zbylo jediné místo pro jedničku - buňka d6.

Výsledek našich akcí je znázorněn na obrázku 2. Díky naší analýze je řádek b zcela vyplněn. Jedna na b5, pět na b6. Co nám dává právo umístit 3 a 5 na páté pole!

Pokračujme v rozboru pátého čtverce. Chybí mu číslice 7, není na hlavních úhlopříčkách a nejzajímavější je na svislici 4. Právě díky této svislici můžeme s jistotou říci, že sedmička v pátém čtverci může být buď na f4 resp. e4. Protože vodorovné čáry c a d již obsahují sedm. A nemůže stát na e5 kvůli svislici 4. Dále se vraťme k hlavním horizontálám. A pak jsou hned umístěny sedmičky! Na i9 a f4.

Co jsme dostali, je vidět na obrázku 3. Dále budeme pokračovat v analýze hlavních úhlopříček. Pokud se podíváme na jedničku vycházející ze čtverce a1, pak jí chybí dvojka, která je umístěna pouze na h8. Na této úhlopříčce také chybí 1, 8 a 9. 1 lze umístit pouze na a1, dejte to rychle! Osmička však nemůže stát na d4, protože je již na vodorovném d. Uspořádáme - d4 -9, e5 -8.

Ale nyní můžeme zcela vyplnit pátý a první čtverec! To, co jsme získali, je znázorněno na obrázku 4.

Věnujte pozornost vertikální 3. Zde musíte umístit 1, 6, 7. Jednotka je umístěna pouze na f3 a na základě toho jsou umístěny ostatní - e3 -7, h3-6. Další v řadě máme svislou 9, protože její umístění je prostě báječné. d9-2, g9-6, h9-8.

Co když zkontrolujeme otevřené singly?! Například číslo tři je bezpečně umístěno na buňkách d2 a h5. I když další analýza singletonů nic nepřinese. Pak se otočíme ke zbývající úhlopříčce. Chybí jí 6, 2, 4. Číslo šest může být pouze na c7. Zbytek je snadné vyplnit.

Proč není vertikální 4 nastaveno na konec? Pojďme to napravit. s4-8.

Výsledek našeho výzkumu je na obrázku 5. Nyní vyplníme vodorovnou čáru c. s8-1, s5-9, s6-2. A to vše je založeno na přítomnosti těchto čísel v jiných vertikálách. Na základě horizontálního c je snadné vyplnit horizontální d. d1-6, d7-4. Poté se třetí čtverec zcela jednoduše vyplní. Druhé náměstí ale ještě není zaplněno, i když kandidáti jsou také jen dva – šest a sedm. Podél svislic pět a šest se ale nevyskytují, a proto je zatím necháme stranou.

Po analýze všech vertikál a horizontál jsme dospěli k závěru, že není možné jednoznačně určit jediné číslo. Přejděme proto k uvažování čtverců. Vraťme se k šestému čtverci. Chybí zde 5,6,8,9. Ale určitě můžeme umístit čísla 6 a 8 na buňky f7 a f8. Díky naší analýze je vyznačena celá vodorovná čára f! f1-9, f2-5. A zde vidíme, že čtvrtý čtverec je zcela zaplněn! e1-4, e2-2.

To, co jsme dostali, je vidět na obrázku 6. Nyní přejdeme k devítce. Tady máme jeden otevřený singl – jedničku na i7. Díky tomu můžeme dát jedničku do sedmého čtverce na g2. Osm na i2.

Použijte čísla od 1 do 9

Sudoku se hraje na hřišti, které se skládá z 9 x 9 buněk, s celkovým počtem 81 buněk. Uvnitř hracího pole je 9 "čtverců" (skládajících se z 3 x 3 buněk). Každý vodorovný řádek, svislý sloupec a čtverec (každý 9 čtverců) musí být vyplněn čísly 1-9, bez opakování čísel v řádku, sloupci nebo čtverci. Zní to složitě? Jak můžete vidět na obrázku níže, každá hrací deska Sudoku má několik buněk, které jsou již vyplněny. Čím více buněk je zpočátku zaplněno, tím jednodušší je hra. Čím méně buněk je zpočátku zaplněno, tím je hra obtížnější.

Neopakujte žádná čísla

Jak vidíte, v levém horním čtverci (zakroužkovaném modře) je již vyplněno 7 z 9 buněk. Jediná čísla, která v tomto čtverci chybí, jsou čísla 5 a 6. Když uvidíme, která čísla chybí v každém čtverci, řádku nebo sloupci, můžeme použít proces eliminace a deduktivního uvažování k rozhodnutí, která čísla by měla být v každém čtverci.

Například v levém horním čtverci víme, že k doplnění čtverce potřebujeme sečíst čísla 5 a 6, ale při pohledu na sousední řádky a čtverce zatím nemůžeme jasně určit, které číslo do které buňky přidat. To znamená, že musíme nyní přeskočit levý horní čtverec a místo toho se pokusit zaplnit mezery na některých jiných místech hracího pole.

Není třeba hádat

Sudoku je logická hra, takže není třeba hádat. Pokud nevíte, jaké číslo umístit na určité místo, pokračujte ve skenování dalších oblastí herního plánu, dokud neuvidíte možnost vložit požadované číslo. Nesnažte se ale nic "vynutit" - Sudoku odměňuje trpělivost, porozumění a řešení různých kombinací, nikoli slepé štěstí nebo hádání.

Použijte vylučovací metodu

Co děláme, když v Sudoku používáme „vylučovací metodu“? Zde je příklad. V této mřížce sudoku (zobrazené níže) chybí pouze několik čísel v levém svislém sloupci (zvýrazněno modře): 1, 5 a 6.

Jedním ze způsobů, jak zjistit, která čísla lze vložit do každého čtverečku, je použít "metodu eliminace", zkontrolovat, která další čísla jsou již v každém čtverci, protože čísla 1-9 nelze duplikovat v každém čtverci, řadě nebo sloupec.

V tomto případě si můžeme rychle všimnout, že v levém horním a levém středu je již 1 (jedničky jsou zakroužkovány červeně). To znamená, že ve sloupci zcela vlevo je pouze jedno místo, kam lze vložit číslo 1 (zakroužkováno zeleně). V Sudoku takto funguje vylučovací metoda – zjistíte, které buňky jsou prázdné, která čísla chybí, a následně vyloučíte čísla, která jsou již ve čtverci, sloupcích a řádcích přítomna. Podle toho doplňte do prázdných buněk chybějící čísla.

Pravidla sudoku jsou poměrně jednoduchá – ale hra je neuvěřitelně pestrá, s miliony možných kombinací čísel a širokou škálou úrovní obtížnosti. Ale vše je založeno na jednoduchých principech používání čísel 1-9, vyplňování prázdných míst pomocí deduktivního uvažování a nikdy neopakování čísel v každém čtverci, řádku nebo sloupci.

VKontakte Facebook Odnoklassniki

Pro ty, kteří rádi řeší sudoku sami a pomalu, může vzorec, který vám umožní rychle vypočítat odpovědi, připadat jako přiznání slabosti nebo podvádění.

Ale pro ty, kteří považují řešení sudoku za příliš velkou námahu, by to mohlo být doslova perfektní řešení.

Dva výzkumníci vyvinuli matematický algoritmus, který vám umožní vyřešit sudoku velmi rychle, bez hádání a couvání.

Výzkumníci komplexních sítí Zoltan Torozkay a Maria Erksi-Ravaz z University of Notre Dame také dokázali vysvětlit, proč jsou některé hlavolamy Sudoku obtížnější než jiné. Jedinou nevýhodou je, že potřebujete doktorát z matematiky, abyste pochopili, co nabízejí.

Dokážete vyřešit tuto hádanku? Vytvořil jej matematik Arto Incala a tvrdí se, že je nejtěžším sudoku na světě. Foto z nature.com

Torozkay a Erksi-Ravaz začali analyzovat sudoku jako součást svého výzkumu teorie optimalizace a výpočetní složitosti. Říká se, že většina nadšenců sudoku používá k řešení těchto problémů přístup „hrubé síly“ založený na technikách hádání. Fanoušci sudoku se tak vyzbrojí tužkou a zkoušejí všechny možné kombinace čísel, dokud nenajdou správnou odpověď. Tato metoda nevyhnutelně povede k úspěchu, ale je pracná a časově náročná.

Místo toho Torozkay a Erksi-Ravaz navrhli univerzální analogový algoritmus, který je zcela deterministický (nepoužívá dohady ani hrubou sílu) a vždy najde správné řešení problému, a to poměrně rychle.

Výzkumníci použili "deterministický analogový řešitel" k dokončení tohoto sudoku. Foto z nature.com

Výzkumníci také zjistili, že čas potřebný k vyřešení hádanky pomocí jejich analogového algoritmu koreloval s úrovní obtížnosti úkolu, jak ji posuzovali lidé. To je inspirovalo k vytvoření hodnotící stupnice pro obtížnost hádanky nebo problému.

Vytvořili stupnici od 1 do 4, kde 1 je „snadné“, 2 „středně obtížné“, 3 je „obtížné“ a 4 je „velmi obtížné“. Řešení hádanky s hodnocením 2 trvá v průměru 10krát déle než hádanky s hodnocením 1. Podle tohoto systému má nejtěžší dosud známá hádanka hodnocení 3,6; Složitější problémy sudoku zatím nejsou známy.

Teorie začíná mapováním pravděpodobností pro každý jednotlivý čtverec. Foto z nature.com

„Sudoku mě nezajímalo, dokud jsme nezačali pracovat na obecnější třídě uspokojivých booleovských problémů,“ říká Torozkai. - Vzhledem k tomu, že sudoku je součástí této třídy, ukázalo se, že latinský čtverec 9. řádu je pro nás dobrým testovacím polem, a tak jsem je poznal. Já a mnoho výzkumníků, kteří takové problémy studují, jsme fascinováni otázkou, jak daleko můžeme my lidé zajít při řešení sudoku, deterministicky, bez hrubé síly, což je náhodná volba, a pokud je odhad špatný, musíme jít o krok nebo několik kroků zpět a začněte znovu. Náš analogový rozhodovací model je deterministický: v dynamice neexistuje náhodný výběr ani návrat."

Teorie chaosu: Stupeň obtížnosti hádanek je zde znázorněn jako chaotická dynamika. Foto z nature.com

Torozkay a Erksi-Ravaz věří, že jejich analogový algoritmus má potenciál být aplikován na širokou škálu problémů v průmyslu, počítačové vědě a počítačové biologii.

Zkušenosti z výzkumu také učinily Torozkaie velkým fanouškem sudoku.

„Moje žena a já máme na svých iPhonech několik aplikací Sudoku a už jsme je museli hrát tisíckrát a soutěžíme o nejrychlejší čas na každé úrovni,“ říká. "Často intuitivně vidí kombinace vzorů, kterých si nevšimnu." Musím je dostat ven. Stává se pro mě nemožné vyřešit mnoho hádanek, které naše stupnice kategorizuje jako obtížné nebo velmi obtížné, aniž bych si zapsal pravděpodobnosti tužkou.“

Metodika Torozkaie a Erksi-Ravaze byla nejprve publikována v Nature Physics a později v Nature Scientific Reports.