Co je nemožný trojúhelník? Prezentace o matematice „Nemožné je možné“

Pozdravy drazí čtenáři blogový web. Rustam Zakirov je v kontaktu a mám pro vás další článek, jehož tématem je jak nakreslit Penroseův trojúhelník. Dnes vám chci ukázat, jak snadné a jednoduché je nakreslit nemožný trojúhelník. Nakreslíme dva výkresy tohoto trojúhelníku, jeden bude pravidelný a druhý bude skutečný 3D výkres. A to vše bude překvapivě jednoduché. Můžete získat skutečný 3D výkres tohoto trojúhelníku. Pochybuji, že se vám to ještě někde ukáže, proto čtěte článek až do konce a velmi pozorně.

Pro naše kresby budeme jako vždy potřebovat: kus papíru jednoduché tužky(nejlépe jedna „střední“, „druhá měkká“) a několik barevných tužek nebo fixů.

Jak snadno nakreslit jakékoli 3D kresby.

Tento nemožný trojúhelník jsem vytáhl z tohoto obyčejného obrázku, který jsem jednoduše našel na internetu. Tady je.

A pak jsem to za pár minut s pomocí převedl do 3D . Tímto způsobem můžete převést téměř jakýkoli obrázek do 3D. Pokud se chcete učit stejným způsobem, klikněte sem.

A přejdeme k naší kresbě.

Nakreslete vzor pravidelného trojúhelníku.

KROK 1. Překládáme z obrazovky monitoru.

Chcete-li nakreslit trojúhelník, budete muset udělat následující. Vezmete svůj kus papíru, opřete ho o trojúhelník na obrazovce monitoru a jednoduše ho přeložíte.

A protože náš trojúhelník není nijak složitý, stačí do všech jeho rohů umístit pouze hlavní body.

A pak se podíváme na originál a spojíme tyto body pomocí pravítka. Mám to takhle.

Náš trojúhelník je připraven. Můžete to tak nechat, ale pojďme to ještě trochu ozdobit. Udělal jsem to pomocí barevných tužek. Poté, co jsme náš trojúhelník zcela ozdobili, znovu jej zcela obkreslíme jednoduchou měkkou tužkou.

V tomto okamžiku je náš obvyklý Penroseův trojúhelník zcela připraven a přecházíme na stejný trojúhelník.

Nakreslete 3D kresbu trojúhelníku.

KROK 1. Překládáme.

Postupujeme podle stejného schématu jako u pravidelný vzor. Dám vám hotový trojúhelník, již přeložený do 3D formátu. Tady je.

A ty to přeložíš. Vše děláme stejně jako u běžného vzoru. Vezmete svůj list papíru, opřete ho o obrazovku monitoru, list papíru prosvítá a hotový 3D výkres jednoduše přenesete na svůj list papíru.

Tohle se mi stalo.

Velikost trojúhelníku lze zvětšit nebo zmenšit. Chcete-li to provést, stačí změnit měřítko monitoru. Podržte klávesu Ctrl a otáčejte kolečkem myši.

Můžeme bezpečně říci, že náš 3D výkres je již připraven. Trvalo mi to asi 3 minuty. V zásadě zde můžeme bezpečně skončit, ale pojďme náš trojúhelník ještě ozdobit.

dozorce

učitel matematiky

1.Úvod………………………………………………..………3

2. Historické pozadí…………………………………………..…4

3. Hlavní část…………………………………………………………………..7

4. Důkaz nemožnosti Penroseova trojúhelníku......9

5. Závěry………………………………………………………………..…………………11

6. Literatura……………………………………………….…… 12

Relevantnost: Matematika je předmět studovaný od první do střední školy. Mnoho studentů to považuje za obtížné, nezajímavé a zbytečné. Pokud se ale podíváte za stránky učebnice, přečtete si další literaturu, matematické sofismy a paradoxy, vaše představa o matematice se změní a budete mít chuť studovat víc, než se studuje ve školním kurzu matematiky.

Cíl práce:

ukazují, že existence nemožných obrazců rozšiřuje obzory, rozvíjí prostorovou představivost a využívají ji nejen matematici, ale i umělci.

Úkoly :

1. Prostudujte si literaturu na toto téma.

2. Zvažte nemožné postavy, vytvořte model nemožného trojúhelníku, dokažte, že nemožný trojúhelník v rovině neexistuje.

3. Vytvořte rozvinutí nemožného trojúhelníku.

4. Zvažte příklady použití nemožného trojúhelníku ve výtvarném umění.

Úvod

Historicky hrála matematika důležitá role ve výtvarném umění, zejména v perspektivní malbě, která zahrnuje realistické zobrazení trojrozměrné scény na plochém plátně nebo listu papíru. Podle moderní pohledy, matematika a umění disciplíny velmi vzdálené od sebe, první je analytická, druhá emocionální. Matematika nehraje ve většině zaměstnání zřejmou roli soudobé umění a ve skutečnosti mnoho umělců perspektivu používá zřídka nebo dokonce nikdy. Existuje však mnoho umělců, kteří se zaměřují na matematiku. Těmto jedincům vydláždilo cestu několik významných osobností výtvarného umění.

Obecně neexistují žádná pravidla ani omezení pro používání různých témat v matematickém umění, jako jsou nemožné postavy, Möbiovy pásy, zkreslení nebo neobvyklé perspektivní systémy a fraktály.

Historie nemožných postav

Nemožné obrazce jsou určitým typem matematického paradoxu, který se skládá z pravidelných částí spojených v nepravidelném komplexu. Kdybychom se pokusili formulovat definici pojmu „nemožné předměty“, znělo by to pravděpodobně nějak takto – fyzicky možné postavy sestavené v nemožné podobě. Ale je mnohem příjemnější se na ně dívat a vytvářet definice.

S chybami v prostorové konstrukci se umělci setkávali i před tisíci lety. Ale švédský umělec Oscar Reutersvärd, který maloval v roce 1934, je právem považován za prvního, kdo zkonstruoval a analyzoval nemožné předměty. první nemožný trojúhelník, skládající se z devíti krychlí.

Reutersvaerdův trojúhelník

Anglický matematik a fyzik Roger Penrose, nezávislý na Reuters, znovu objevuje nemožný trojúhelník a v roce 1958 publikuje jeho obrázek v britském psychologickém časopise. Iluze používá „falešnou perspektivu“. Někdy se tato perspektiva nazývá čínská, protože podobná metoda kresby, kdy je hloubka kresby „nejednoznačná“, byla často nalezena v dílech čínských umělců.

Escher Falls

V roce 1961 Holanďan M. Escher, inspirovaný nemožným Penroseovým trojúhelníkem, vytvořil slavnou litografii „Vodopád“. Voda na obrázku nekonečně plyne, za vodním kolem míjí dále a končí zpět na výchozím místě. V podstatě se jedná o obraz perpetum mobile, ale jakýkoli pokus o skutečné vybudování této struktury je odsouzen k neúspěchu.

Další příklad nemožných čísel je uveden na výkresu „Moskva“, který zobrazuje neobvyklé schéma moskevského metra. Obraz nejprve vnímáme jako celek, ale když pohledem obkreslujeme jednotlivé linie, přesvědčíme se o nemožnosti jejich existence.

« Moskva", grafika (tuš, tužka), 50x70 cm, 2003.

Kresba „Tři šneci“ navazuje na tradici druhé slavné nemožné postavy – nemožné kostky (krabice).

"Tři šneci" Impossible Cube

Kombinaci různých objektů lze nalézt i v ne zcela seriózní kresbě „IQ“ (inteligenční kvocient). Je zajímavé, že někteří lidé nevnímají nemožné předměty, protože jejich mysl není schopna identifikovat ploché obrázky s trojrozměrnými předměty.

Donald Simanek naznačil, že porozumění vizuálním paradoxům je jedním z charakteristických znaků tohoto druhu kreativní potenciál, kterou mají ti nejlepší matematici, vědci a umělci. Mnoho děl s paradoxními předměty lze klasifikovat jako „intelektuální“ matematické hry». Moderní věda hovoří o 7rozměrném nebo 26rozměrném modelu světa. Takový svět lze modelovat pouze pomocí matematických vzorců, lidé si to prostě nedokážou představit. Tady se hodí nemožné figury.

Třetí populární nemožná postava je neuvěřitelné schodiště vytvořené Penrosem. Po ní budete průběžně buď stoupat (proti směru hodinových ručiček), nebo klesat (ve směru hodinových ručiček). Základem byl Penroseův model slavný obraz M. Escher "Nahoru a dolů" Neuvěřitelné schodiště Penrose

Nemožný trojzubec

"Ďáblova vidlička"

Existuje další skupina objektů, které nelze implementovat. Klasickou figurkou je nemožný trojzubec, neboli „ďábelská vidlička“. Pokud pozorně prostudujete obrázek, všimnete si, že tři zuby se postupně mění na dva na jedné základně, což vede ke konfliktu. Porovnáme počet zubů nahoře a dole a dojdeme k závěru, že objekt je nemožný. Pokud horní část trojzubce zavřeme rukou, uvidíme úplně skutečný obrázek- tři kulaté zuby. Pokud zavřete spodní část trojzubec, pak uvidíme i skutečný obrázek – dva obdélníkové zuby. Pokud však vezmeme v úvahu celou postavu jako celek, ukáže se, že tři kulaté zuby se postupně změní na dva obdélníkové.

Můžete tedy vidět, že popředí a pozadí této kresby jsou v rozporu. To znamená, že to, co bylo původně v popředí, jde zpět a pozadí (střední zub) jde dopředu. Kromě změny popředí a pozadí je na této kresbě ještě jeden efekt - ploché okraje horní části trojzubce se dole zaoblují.

Hlavní část.

Trojúhelník- figura skládající se ze 3 sousedících částí, která nepřijatelným spojením těchto částí vytváří iluzi matematicky nemožné struktury. Tato třípaprsková konstrukce se také nazývá jinak náměstí Penroses

Grafický princip této iluze vděčí za svou formulaci psychologovi a jeho synovi Rogerovi, fyzikovi. Náměstí Penruzov se skládá ze 3 barů čtvercový řez, umístěný ve 3 vzájemně kolmých směrech; každý se připojuje k dalšímu v pravém úhlu, to vše je umístěno v trojrozměrném prostoru. Zde je jednoduchý recept, jak nakreslit tuto izometrickou projekci Penroseova čtverce:

· Ořízněte rohy rovnostranného trojúhelníku podél čar rovnoběžných se stranami;

· Nakreslete rovnoběžky se stranami uvnitř oříznutého trojúhelníku;

· Znovu ořízněte rohy;

· Nakreslete uvnitř znovu rovnoběžky;

· Představte si v jednom z rohů kteroukoli ze dvou možných krychlí;

· Pokračujte „věcí“ ve tvaru L;

· Spusťte tento návrh v kruhu.

· Kdybychom zvolili jinou krychli, čtverec by byl „zkroucený“ opačným směrem .

Vývoj nemožného trojúhelníku.

Inflexní čára

Linie řezu

Jaké prvky se používají ke konstrukci nemožného trojúhelníku? Přesněji, z jakých prvků se nám zdá (přesně se zdá!) postaveno? Návrh je založen na obdélníkovém rohu, který se získá spojením dvou stejných obdélníkových tyčí v pravém úhlu. Jsou zapotřebí tři takové rohy, a tedy šest kusů tyčí. Tyto rohy musí být určitým způsobem vzájemně vizuálně „propojeny“ tak, aby tvořily uzavřený řetězec. To, co se stane, je nemožný trojúhelník.

Umístěte první roh do vodorovné roviny. Připevníme k němu druhý roh, který nasměrujeme jeden z jeho okrajů nahoru. Nakonec k tomuto druhému rohu připevníme třetí roh tak, aby jeho hrana byla rovnoběžná s původní vodorovnou rovinou. V tomto případě budou dva okraje prvního a třetího rohu rovnoběžné a nasměrované k sobě různé strany.

Nyní se zkusme podívat na postavu z různých bodů v prostoru (nebo vytvořit skutečný drátěný model). Představte si, jak to vypadá z jednoho bodu, z druhého, ze třetího... Když se bod pozorování změní (nebo - což je totéž - když se konstrukce otáčí v prostoru), bude se zdát, že oba „končí“ hrany našich rohů se vůči sobě pohybují. Není těžké zvolit polohu, ve které se budou spojovat (blízký roh se nám samozřejmě bude zdát tlustší než delší).

Ale pokud je vzdálenost mezi žebry mnohem menší než vzdálenost od rohů k bodu, ze kterého se díváme na naši strukturu, pak pro nás budou mít obě žebra stejnou tloušťku a vznikne myšlenka, že tato dvě žebra jsou vlastně pokračováním jeden druhého.

Mimochodem, pokud se současně podíváme na zobrazení struktury v zrcadle, neuvidíme tam uzavřený okruh.

A ze zvoleného pozorovacího bodu vidíme na vlastní oči zázrak, který se stal: je tam uzavřený řetězec tří rohů. Jen neměňte bod pozorování, aby se tato iluze (ve skutečnosti je to iluze!) nezhroutila. Nyní můžete nakreslit objekt, který můžete vidět, nebo umístit objektiv fotoaparátu do nalezeného bodu a získat fotografii nemožného objektu.

Jako první se o tento fenomén začali zajímat manželé Penrosovi. Využili možností, které se nabízejí při mapování trojrozměrného prostoru a trojrozměrných objektů do dvourozměrné roviny (tedy designu) a upozornili na určitou nejistotu designu - otevřenou strukturu tří rohů lze vnímán jako uzavřený okruh.

Jak již bylo zmíněno, jednoduchý model lze snadno vyrobit z drátu, což v zásadě vysvětluje pozorovaný efekt. Vezměte rovný kus drátu a rozdělte ho na tři stejné části. Poté ohněte vnější části tak, aby svíraly pravý úhel se střední částí, a otočte se vůči sobě o 900. Nyní otočte tuto postavu a sledujte ji jedním okem. V určité poloze se bude zdát, že je vytvořen z uzavřeného kusu drátu. Rozsvícením stolní lampy můžete pozorovat dopadající stín na stůl, který se také v určitém místě postavy v prostoru změní v trojúhelník.

Tento konstrukční znak lze však pozorovat v jiné situaci. Pokud vytvoříte prstenec z drátu a poté jej roztáhnete různými směry, získáte jednu otáčku válcové spirály. Tato smyčka je samozřejmě otevřená. Ale při promítání na rovinu můžete získat uzavřenou čáru.

Znovu jsme se přesvědčili, že z projekce do roviny, z kresby se trojrozměrná postava rekonstruuje nejednoznačně. To znamená, že projekce obsahuje určitou nejednoznačnost, podhodnocení, které vede ke vzniku „nemožného trojúhelníku“.

A můžeme říci, že „nemožný trojúhelník“ Penrosových, stejně jako mnoho jiných optických klamů, je na stejné úrovni jako logické paradoxy a hříčky.

Důkaz nemožnosti Penroseova trojúhelníku

Analýzou vlastností dvourozměrného obrazu trojrozměrných objektů v rovině jsme pochopili, jak vlastnosti tohoto zobrazení vedou k nemožnému trojúhelníku.

Je velmi snadné dokázat, že nemožný trojúhelník neexistuje, protože každý z jeho úhlů je správný a jejich součet je 2700 namísto „umístěných“ 1800.

Navíc, i když uvažujeme nemožný trojúhelník slepený z úhlů menších než 900, pak v tomto případě dokážeme, že nemožný trojúhelník neexistuje.

Uvažujme další trojúhelník, který se skládá z několika částí. Pokud jsou části, ze kterých se skládá, uspořádány jinak, dostanete úplně stejný trojúhelník, ale s jednou malou chybičkou. Bude chybět jeden čtvereček. Jak je tohle možné? Nebo je to stále iluze?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Nemožný trojúhelník" width="298" height="161">!}

Využití fenoménu vnímání

Existuje nějaký způsob, jak posílit efekt nemožnosti? Jsou některé předměty „nemožnější“ než jiné? A tady přicházejí na pomoc funkce. lidské vnímání. Psychologové zjistili, že oko začíná zkoumat předmět (obrázek) od levého dolního rohu, pak pohled sklouzne doprava do středu a klesne do pravého dolního rohu obrázku. Tato trajektorie může být způsobena tím, že naši předkové se při setkání s nepřítelem nejprve podívali na nejnebezpečnější pravá ruka a pak se pohled přesunul doleva, na obličej a postavu. Tím pádem, umělecké vnímání bude výrazně záviset na tom, jak je vytvořena kompozice obrázku. Tato vlastnost se jasně projevila ve středověku při výrobě tapisérií: jejich design byl zrcadlový obraz originál a dojem vyvolaný tapisériemi a originály se liší.

Tuto vlastnost lze s úspěchem využít při vytváření výtvorů s nemožnými předměty, zvyšování nebo snižování „stupně nemožnosti“. Vyhlídka na získání zajímavých skladeb pomocí počítačová technologie nebo z několika otočených obrazů (možná pomocí různé typy symetrie) jedna vůči druhé, vytvářející v divácích jiný dojem z předmětu a hlubší pochopení podstaty designu, nebo od takového, který se otáčí (neustále nebo trhaně) pomocí jednoduchého mechanismu v určitých úhlech.

Tento směr lze nazvat polygonální (polygonální). Na ilustracích jsou obrázky vzájemně otočené. Kompozice vznikla následovně: kresba na papíře, zhotovená tuší a tužkou, byla naskenována, převedena do digitální podoby a zpracována v grafickém editoru. Lze zaznamenat pravidelnost - otočený obrázek má větší „stupeň nemožnosti“ než původní. To lze snadno vysvětlit: umělec se v procesu práce podvědomě snaží vytvořit „správný“ obraz.

Závěr

Použití různých matematických obrazců a zákonů není omezeno na výše uvedené příklady. Pečlivým prostudováním všech uvedených čísel můžete najít další, které nejsou uvedeny v tomto článku. geometrická tělesa nebo vizuální výklad matematických zákonů.

Matematické výtvarné umění dnes vzkvétá a mnoho umělců vytváří obrazy v Escherově stylu a ve svém vlastním vlastní styl. Tito umělci pracují v různé směry, včetně sochařství, malby na rovné a trojrozměrné plochy, litografie a počítačová grafika. A nejoblíbenějšími tématy v matematickém umění zůstávají mnohostěny, nemožné postavy, Möbiovy pásy, zkreslené perspektivní systémy a fraktály.

Závěry:

1. Zvažování nemožných obrazců tedy rozvíjí naši prostorovou představivost, pomáhá nám „vystoupit“ z roviny do trojrozměrného prostoru, což nám pomůže při studiu stereometrie.

2. Modely nemožných obrazců pomáhají uvažovat projekce na rovinu.

3. Úvahy o matematických sofismech a paradoxech podněcují zájem o matematiku.

Při provádění této práce

1. Dozvěděl jsem se, jak, kdy, kde a kým byly poprvé považovány nemožné postavy, že takových postav je mnoho, umělci se neustále snaží tyto postavy zobrazovat.

2. Společně s tátou jsem vytvořil model nemožného trojúhelníku, zkoumal jeho průmět do roviny a viděl paradox tohoto obrazce.

3. Zkoumané reprodukce umělců zobrazujících tyto postavy

4. Moji spolužáci se zajímali o můj výzkum.

V budoucnu využiji nabyté znalosti v hodinách matematiky a zajímalo mě, zda existují další paradoxy?

LITERATURA

1. Kandidát technické vědy D. RAKOV Historie nemožných postav

2. Rutesward O. Nemožné postavy.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Webové stránky V. Alekseeva Illusions · 7 komentářů

4. J. Timothy Unrach. – Úžasné postavy.
(Nakladatelství AST LLC, Nakladatelství Astrel LLC, 2002, 168 s.)

5. . - Grafika.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: tato nekonečná girlanda. (Nakladatelství "Bakhrakh-M", 2001)

7. A. Konenko – Tajemství nemožných postav
(Omsk: Levsha, 199)

Penrosův trojúhelník- jedna z hlavních nemožných postav, známá také jako nemožný trojúhelník A tribar.

Penroseův trojúhelník (barevně)

Příběh

Tato postava se stala široce známou poté, co anglický matematik Roger Penrose v roce 1958 zveřejnil článek o nemožných číslech v British Journal of Psychology. Také v tomto článku byl nejvíce vyobrazen nemožný trojúhelník obecná forma- V ve formě tří nosníky navzájem spojené v pravém úhlu. Ovlivněn tímto článkem v holandský umělec Maurits Escher vytvořil jednu ze svých slavných litografií „Vodopád“.

3D tisk Penroseova trojúhelníku

Sochy

13metrová socha nemožného trojúhelníku vyrobená z hliníku byla postavena v roce 1999 v Perthu (Austrálie)

Stejná socha při změně pohledu

Jiné postavy

Ačkoli je docela možné sestavit analogy Penroseova trojúhelníku založené na pravidelných mnohoúhelnících, vizuální efekt z nich není tak působivý. S rostoucím počtem stran se objekt jednoduše jeví jako ohnutý nebo zkroucený.

viz také

• Tři králíci (anglicky) Tři zajíci)

Iluzionismus - v širokém smyslu je název pro filozofický postoj týkající se určitých jevů; za způsob uvažování o takových jevech; v užším slova smyslu - to je název pro několik konkrétních filozofické teorie.

The Cafe Wall Illusion je optická iluze vytvořená synergií. různé úrovně nervové mechanismy: neurony sítnice a neurony zrakové kůry.

Nemožná figura je jedním z typů optických klamů, figura, která se na první pohled jeví jako projekce obyčejného trojrozměrného předmětu, při jehož pečlivém zkoumání se stanou viditelnými protichůdná spojení prvků figury. Vytváří se iluze o nemožnosti existence takové postavy v trojrozměrném prostoru.

Impossible Cube je nemožná figura, kterou vynalezl Escher pro svou litografii Belvedere. Jedná se o dvourozměrný obrazec, který povrchně připomíná perspektivu trojrozměrné krychle, která je neslučitelná se skutečnou krychlí. Na litografii Belvedere drží chlapec sedící u paty budovy nemožnou kostku. U nohou mu leží kresba podobné Neckerovy kostky, zatímco samotná budova obsahuje stejné vlastnosti nemožné kostky.

Nemožná kostka si vypůjčuje nejednoznačnost Neckerovy kostky, ve které jsou hrany nakresleny jako úsečky a kterou lze interpretovat v jedné ze dvou různých trojrozměrných orientací.

Nemožná kostka se obvykle kreslí jako Neckerova kostka, ve které jsou hrany (segmenty) nahrazeny zdánlivě pevnými tyčemi.

V Escherově litografii odpovídají čtyři horní spoje tyčí a horní průsečík tyčí jedné ze dvou interpretací Neckerovy kostky, zatímco spodní čtyři spoje a spodní průnik odpovídají druhé interpretaci. Jiné varianty nemožné kostky kombinují tyto vlastnosti jinými způsoby. Například jedna z kostek na obrázku obsahuje všech osm spojení podle jedné interpretace Neckerovy kostky a oba průniky odpovídají jiné interpretaci.

Zdánlivá pevnost tyčí dává nemožné kostce větší vizuální nejednoznačnost než kostka Necker, u které je méně pravděpodobné, že bude vnímána jako nemožný objekt. Iluze hraje na interpretaci dvojrozměrné kresby lidským okem jako trojrozměrného objektu. Trojrozměrné předměty se mohou zdát nemožné, když se na ně díváte z určitého úhlu, a to buď řezáním předmětu na správném místě, nebo použitím změněné perspektivy, ale lidská zkušenost s pravoúhlými předměty ano. nemožné vnímání pravděpodobnější než iluze ve skutečnosti.

Jiní umělci, včetně Jose De Meye, také malovali díla s nemožnou kostkou.

Vymyšlená fotografie údajně nemožné krychle byla zveřejněna v červnu 1966 v časopise Scientific American, kde byla nazvána „Frimish Cage“. Nemožná kostka byla uvedena na rakouské poštovní známce.

Blivet, také známý jako poyut nebo ďábelské vidle, je nevysvětlitelná postava, optická iluze a nemožné číslo. Zdá se, že tři válcové tyče se promění ve dvě tyče.

Oscar Rutersvärd (obvyklé psaní příjmení v ruskojazyčné literatuře; správněji Reutersvärd), Švéd. Oscar Reutersvärd (29. listopadu 1915, Stockholm, Švédsko – 2. února 2002, Lund) – „otec nemožné postavy“, švédský umělec, který se specializoval na zobrazování nemožných postav, tedy těch, které lze zobrazit (dáno nevyhnutelné narušení perspektivy při reprezentaci 3-rozměrného prostoru na papíře), ale nelze je vytvořit. Jedna z jeho postav obdržela další vývoj jako „Penroseův trojúhelník“ (1934). Dílo Ruthersvarda lze srovnat s dílem Eschera, pokud však tento použil nemožné postavy jako „kostry“ pro obraz fantasy světy, pak se Rutersvärd zajímal pouze o figury jako takové. Během svého života Ruthersvard namaloval asi 2 500 postav izometrická projekce. Ruthersvardovy knihy vyšly v mnoha jazycích, včetně ruštiny.

Maurits Cornelis Escher (holandský: Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17. června 1898, Leeuwarden, Nizozemsko – 27. března 1972, nizozemsko. grafika, Nizozemsko) Známý především svými konceptuálními litografiemi, dřevorytinami a kovorytinami, v nichž mistrovsky prozkoumal plastické aspekty pojmů nekonečno a symetrie, stejně jako zvláštnosti psychologického vnímání složitých trojrozměrných objektů, je nejvýraznějším představitelem imp artu.

Nemožné je stále možné. A jasným potvrzením toho je nemožný Penroseův trojúhelník. Objeven v minulém století, stále se často vyskytuje v vědecká literatura. A bez ohledu na to, jak překvapivé to může znít, můžete si to dokonce vyrobit sami. A není vůbec těžké to udělat. Mnoho lidí, kteří rádi kreslí nebo skládají origami, to už dávno umí.

Význam Penroseova trojúhelníku

Pro tuto postavu existuje několik jmen. Někteří tomu říkají nemožný trojúhelník, jiní tomu říkají jednoduše tribar. Nejčastěji se však můžete setkat s definicí „Penroseův trojúhelník“.

Pod těmito definicemi rozumíme jednu z hlavních nemožných postav. Soudě podle názvu je nemožné získat takovou postavu ve skutečnosti. Ale v praxi se ukázalo, že to stále jde. Je to jen tvar, který bude mít, když se na to podíváte jistý bod ve správném úhlu. Ze všech ostatních stran je postava zcela reálná. Představuje tři hrany krychle. A vytvořit takový design je snadné.

Historie objevů

Penrosův trojúhelník objevil v roce 1934 švédský umělec Oscar Reutersvard. Figurka byla prezentována ve formě kostek sestavených dohromady. Později se tomuto umělci začalo říkat „otec nemožných postav“.

Možná by kresba agentury Reutersvard zůstala málo známá. Ale v roce 1954 napsal švédský matematik Roger Penrose článek o nemožných číslech. To byl druhý zrod trojúhelníku. Pravda, vědec to představil ve známější podobě. Spíše než krychle používal trámy. Tři nosníky byly navzájem spojeny pod úhlem 90 stupňů. Liší se také tím, že Reutersvard používal při kreslení paralelní perspektivu. A Penrose použil lineární perspektivu, která kresbu ještě více znemožnila. Takový trojúhelník byl publikován v roce 1958 v jednom z britských psychologických časopisů.

V roce 1961 vytvořil umělec Maurits Escher (Holandsko) jednu ze svých nejoblíbenějších litografií „Vodopád“. Vznikl pod dojmem, který vyvolal článek o nemožných figurách.

V osmdesátých letech minulého století byly kmeny a další nemožné postavy zobrazovány na státních poštovní známkyŠvédsko. Toto pokračovalo několik let.

Na konci minulého století (přesněji v roce 1999) vznikla v Austrálii hliníková socha znázorňující nemožný Penroseův trojúhelník. Dosahoval výšky 13 metrů. Podobné sochy, jen menších rozměrů, se nacházejí v jiných zemích.

Ve skutečnosti nemožné

Jak jste možná uhodli, Penroseův trojúhelník ve skutečnosti není trojúhelník v obvyklém smyslu. Představuje tři strany krychle. Ale pokud se podíváte z určitého úhlu, získáte iluzi trojúhelníku, protože 2 úhly se v rovině zcela shodují. Nejbližší a nejvzdálenější úhly od diváka jsou vizuálně kombinovány.

Pokud jste opatrní, můžete hádat, že tribar není nic jiného než iluze. Skutečnou podobu postavy může odhalit její stín. Ukazuje, že rohy ve skutečnosti nejsou spojeny. A samozřejmě se vše vyjasní, když figurku zvednete.

Vytvoření postavy vlastníma rukama

Penroseův trojúhelník si můžete sestavit sami. Například z papíru nebo lepenky. A diagramy s tím pomohou. Stačí je vytisknout a slepit. Na internetu jsou k dispozici dvě schémata. Jeden z nich je trochu jednodušší, druhý je obtížnější, ale oblíbenější. Oba jsou zobrazeny na obrázcích.

Zajímavým produktem, který si hosté určitě oblíbí, bude Penroseův trojúhelník. Rozhodně to nezůstane bez povšimnutí. Prvním krokem při jeho vytváření je příprava diagramu. Pomocí tiskárny se přenese na papír (karton). A pak je vše ještě jednodušší. Stačí ji po obvodu seříznout. Diagram již obsahuje všechny potřebné řádky. Bude pohodlnější pracovat se silnějším papírem. Pokud je diagram vytištěn na tenkém papíře, ale chcete něco tlustšího, polotovar se jednoduše aplikuje na vybraný materiál a vyřízne se podél obrysu. Aby se schéma neposouvalo, lze jej zajistit kancelářskými sponkami.

Dále je třeba určit čáry, podél kterých se bude obrobek ohýbat. Zpravidla je ve schématu znázorněn ohnutím součásti. Dále určíme místa, která je třeba nalepit. Jsou potaženy PVA lepidlem. Díl je spojen do jednoho obrazce.

Díl lze nalakovat. Nebo můžete zpočátku použít barevný karton.

Kreslení nemožné postavy

Lze také nakreslit Penroseův trojúhelník. Nejprve nakreslete jednoduchý čtverec na list papíru. Na jeho velikosti nezáleží. Se základnou na spodní straně čtverce je nakreslen trojúhelník. V jeho rozích jsou nakresleny malé obdélníky. Jejich strany budou muset být vymazány a ponechány pouze ty, které jsou společné s trojúhelníkem. Výsledkem by měl být trojúhelník se zkrácenými rohy.

Z levé strany horního dolního rohu je nakreslena přímka. Stejná čára, ale o něco kratší, je nakreslena z levého dolního rohu. Je nakreslena čára rovnoběžná se základnou trojúhelníku vycházející z pravého rohu. To má za následek druhý rozměr.

Podle principu druhého se kreslí třetí rozměr. Jedině v v tomto případě všechny přímky jsou založeny na úhlech obrázku nikoli v prvním, ale ve druhém rozměru.