Jak zjistit celkovou pravděpodobnost. Vzorce teorie pravděpodobnosti a příklady řešení problémů

Pojďme se tedy bavit o tématu, které zajímá spoustu lidí. V tomto článku odpovím na otázku, jak vypočítat pravděpodobnost události. Uvedu vzorce pro takový výpočet a několik příkladů, aby bylo jasnější, jak se to dělá.

Co je pravděpodobnost

Začněme tím, že pravděpodobnost, že k té či oné události dojde, je určitá míra důvěry v případný výskyt nějakého výsledku. Pro tento výpočet byl vyvinut vzorec celkové pravděpodobnosti, který umožňuje určit, zda událost, která vás zajímá, nastane či nikoliv, a to prostřednictvím tzv. podmíněné pravděpodobnosti. Tento vzorec vypadá takto: P = n/m, písmena se mohou měnit, ale to nemá vliv na samotnou podstatu.

Příklady pravděpodobnosti

Na jednoduchém příkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme jej. Řekněme, že máte určitou událost (P), ať je to hod kostkou, tedy rovnostranná kostka. A musíme spočítat, jaká je pravděpodobnost, že na tom získáme 2 body. K tomu potřebujete počet kladných událostí (n), v našem případě ztrátu 2 bodů za celkový počet událostí (m). Hod 2 body může nastat pouze v jednom případě, pokud jsou na kostce 2 body, protože jinak bude součet větší, z toho plyne, že n = 1. Dále spočítáme počet hodů libovolných dalších čísel na kostce. kostky, na 1 kostku - to jsou 1, 2, 3, 4, 5 a 6, je tedy 6 příznivých případů, tedy m = 6. Nyní pomocí vzorce provedeme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zjistíme, že hod 2 body na kostce je 1/6, to znamená, že pravděpodobnost události je velmi nízká.

Podívejme se také na příklad s použitím barevných kuliček, které jsou v krabici: 50 bílých, 40 černých a 30 zelených. Musíte určit, jaká je pravděpodobnost vytažení zelené koule. A tak, protože je 30 kuliček této barvy, to znamená, že může být pouze 30 kladných událostí (n = 30), počet všech událostí je 120, m = 120 (na základě celkového počtu všech kuliček), pomocí vzorce vypočítáme, že pravděpodobnost vytažení zeleného míče se bude rovnat P = 30/120 = 0,25, tedy 25 % ze 100. Stejným způsobem můžete vypočítat pravděpodobnost vytažení míče jiná barva (černá to bude 33 %, bílá 42 %).

Pravděpodobnost je míra (relativní míra, kvantitativní posouzení) možnosti výskytu nějaké události. Když důvody pro to, aby nějaká možná událost skutečně nastala, převažují nad opačnými důvody, pak se tato událost nazývá pravděpodobná, in v opačném případě- nepravděpodobné nebo neuvěřitelné. Převaha pozitivních důvodů nad negativními a naopak může být v různé míře, v důsledku čehož může být pravděpodobnost (a nepravděpodobnost) větší či menší. Pravděpodobnost je proto často posuzována na kvalitativní úrovni, zejména v případech, kdy je více či méně přesné kvantitativní posouzení nemožné nebo extrémně obtížné. Jsou možné různé gradace „úrovní“ pravděpodobnosti.
Studium pravděpodobnosti z matematického hlediska tvoří speciální disciplínu - teorii pravděpodobnosti. V teorii pravděpodobnosti a matematické statistice je pojem pravděpodobnost formalizován jako numerická charakteristika události – míra pravděpodobnosti (nebo její hodnota) – míra na množině událostí (podmnožiny množiny elementárních událostí), nabývající hodnot od
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Význam
(\displaystyle 1)
Odpovídá spolehlivé události. Nemožná událost má pravděpodobnost 0 (opak obecně neplatí vždy). Pokud je pravděpodobnost výskytu události
(\displaystyle p)
Pak se pravděpodobnost jeho nenaplnění rovná
(\displaystyle 1-p)
Zejména pravděpodobnost
(\displaystyle 1/2)
Znamená stejnou pravděpodobnost výskytu a neexistence události.
Klasická definice pravděpodobnosti je založena na konceptu stejné pravděpodobnosti výsledků. Pravděpodobnost je poměr počtu výsledků příznivých pro danou událost k celkovému počtu stejně možných výsledků. Například pravděpodobnost získání hlav nebo ocasů při náhodném hodu mincí je 1/2, pokud se předpokládá, že nastanou pouze tyto dvě možnosti a že jsou stejně možné. Tuto klasickou „definici“ pravděpodobnosti lze zobecnit na případ nekonečného počtu pravděpodobnosti možné hodnoty- například, pokud nějaká událost může nastat se stejnou pravděpodobností v jakémkoli bodě (počet bodů je nekonečný) nějaké omezené oblasti prostoru (roviny), pak pravděpodobnost, že k ní dojde v nějaké části tohoto platná oblast rovna poměru objemu (plochy) této části k objemu (ploche) oblasti všech možných bodů.
Empirická „definice“ pravděpodobnosti je vztažena k četnosti události, vychází ze skutečnosti, že při dostatečně velkém počtu pokusů by četnost měla směřovat k objektivní míře možnosti této události. V moderní prezentaci teorie pravděpodobnosti je pravděpodobnost definována axiomaticky, jako zvláštní případ abstraktní teorie míry množin. Spojovacím článkem mezi abstraktní mírou a pravděpodobností, která vyjadřuje míru možnosti výskytu události, je však právě frekvence jejího pozorování.
Pravděpodobnostní popis určitých jevů se rozšířil v moderní věda, zejména v ekonometrii, statistické fyzice makroskopických (termodynamických) systémů, kde se ani v případě klasického deterministického popisu pohybu částic nezdá deterministický popis celého systému částic prakticky možný a vhodný. V kvantové fyzice mají popsané procesy samy pravděpodobnostní povahu.

Chceš vědět co matematické šance na úspěch vaší sázky? Pak jsou tu pro vás dva dobré zprávy. Za prvé: pro výpočet schopnosti překračovat hranice nemusíte provádět složité výpočty a utrácet velký početčas. Stačí použít jednoduché vzorce, s nimiž práce zabere pár minut. Zadruhé: po přečtení tohoto článku si můžete snadno spočítat pravděpodobnost, že některá z vašich transakcí projde.

Chcete-li správně určit schopnost běžeckého lyžování, musíte provést tři kroky:

Vypočítejte procento pravděpodobnosti výsledku události podle kanceláře sázkové kanceláře;
Spočítejte si pravděpodobnost pomocí statistických údajů sami;
Zjistěte hodnotu sázky při zohlednění obou pravděpodobností.

Podívejme se podrobně na každý z kroků, a to nejen pomocí vzorců, ale také příkladů.

Rychlý průchod

Výpočet pravděpodobnosti zahrnuté v kurzech bookmakera

Prvním krokem je zjistit, s jakou pravděpodobností sám bookmaker odhaduje šance na konkrétní výsledek. Je jasné, že bookmakeři nenastavují kurzy jen tak. K tomu použijeme následující vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravděpodobnost výsledku podle kanceláře bookmakera;

K – kurz bookmakera na výsledek.

Řekněme, že kurz na vítězství londýnského Arsenalu v zápase s Bayernem Mnichov je 4. To znamená, že pravděpodobnost jeho vítězství je bookmakerem hodnocena jako (1/4)*100%=25%. Nebo hraje Djokovič proti Youzhny. Multiplikátor pro vítězství Nováka je 1,2, jeho šance jsou (1/1,2)*100%=83%.

Sázková kancelář tak sama vyhodnocuje šance na úspěch každého hráče a týmu. Po dokončení prvního kroku přejdeme k druhému.

Výpočet pravděpodobnosti události hráčem

Druhým bodem našeho plánu je vlastní posouzení pravděpodobnosti události. Vzhledem k tomu, že nemůžeme matematicky zohlednit takové parametry, jako je motivace a herní tón, použijeme zjednodušený model a použijeme pouze statistiky z předchozích setkání. Pro výpočet statistické pravděpodobnosti výsledku použijeme vzorec:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravděpodobnost události podle hráče;

UM – počet úspěšných zápasů, ve kterých k takové události došlo;

M – celkový počet zápasů.

Aby to bylo jasnější, uveďme příklady. Andy Murray a Rafael Nadal mezi sebou odehráli 14 zápasů. V 6 z nich to bylo méně než 21 her, v 8 bylo celkem více. Potřebujete zjistit pravděpodobnost, že příští zápas bude odehrán s vyšším součtem: (8/14)*100=57%. Valencie odehrála proti Atléticu na Mestalle 74 zápasů, ve kterých vybojovala 29 vítězství. Pravděpodobnost vítězství ve Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to vše se dozvídáme jen díky statistikám předchozích her! Pro nový tým nebo hráče samozřejmě nebude možné takovou pravděpodobnost vypočítat, proto je tato sázková strategie vhodná pouze pro zápasy, ve kterých se soupeři setkají vícekrát. Nyní víme, jak určit sázkovou kancelář a naše vlastní pravděpodobnosti výsledků, a máme veškeré znalosti, abychom mohli přejít k poslednímu kroku.

Určení hodnoty sázky

Hodnota (hodnota) sázky a průchodnost mají přímou souvislost: čím vyšší hodnota, tím vyšší šance na projetí. Hodnota se vypočítá následovně:

V=PA*K-100 %,

kde V je hodnota;

P I – pravděpodobnost výsledku dle sázejícího;

K – kurz bookmakera na výsledek.

Řekněme, že chceme vsadit na vítězství Milána v zápase proti Římu a spočítáme, že pravděpodobnost výhry „červeno-černých“ je 45 %. Sázková kancelář nám na tento výsledek nabízí kurz 2,5. Byla by taková sázka hodnotná? Provádíme výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvělé, máme cennou sázku s dobrými šancemi na přihrávku.

Vezměme si jiný případ. Maria Šarapovová hraje proti Petře Kvitové. Chceme pro Marii uzavřít dohodu o výhře, jejíž pravděpodobnost je podle našich propočtů 60 %. Bookmakeři pro tento výsledek nabízejí multiplikátor 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Jak vidíte, tato sázka nemá žádnou hodnotu a je třeba se jí vyhnout.

S vědomím, že pravděpodobnost lze změřit, zkusme ji vyjádřit v číslech. Existují tři možné způsoby.

Rýže. 1.1. Měření pravděpodobnosti

PRAVDĚPODOBNOST URČENÁ SYMETRIÍ

Existují situace, ve kterých jsou možné výsledky stejně pravděpodobné. Například při jednorázovém hození mince, pokud je mince standardní, je pravděpodobnost výskytu „hlav“ nebo „ocasů“ stejná, tzn. P("hlavy") = P("ocasy"). Protože jsou možné pouze dva výsledky, pak P(“hlavy”) + P(”ocasy”) = 1, tedy P(”hlavy”) = P(”ocasy”) = 0,5.

V experimentech, kde mají výsledky stejné šance na výskyt, se pravděpodobnost události E, P (E) rovná:

Příklad 1.1. Mince se hodí třikrát. Jaká je pravděpodobnost dvou hlav a jednoho ocasu?

Za prvé, pojďme najít všechny možné výsledky: Abychom se ujistili, že všechno možné možnosti našli jsme, použijme stromový diagram (viz kapitola 1, oddíl 1.3.1).

Existuje tedy 8 stejně možných výsledků, proto je jejich pravděpodobnost 1/8. Došlo k události E – dvě hlavy a ocasy – tři. Proto:

Příklad 1.2. Standard kostky dvakrát hozen. Jaká je pravděpodobnost, že skóre je 9 nebo více?

Pojďme najít všechny možné výsledky.

Tabulka 1.2. Celkový počet bodů získaný dvojitým hodem kostkou

Takže v 10 z 36 možných výsledků je součet bodů 9, tedy:

EMPIRICKY STANOVENÁ PRAVDĚPODOBNOST

Příklad s mincí ze stolu. 1.1 jasně ilustruje mechanismus určování pravděpodobnosti.

Vzhledem k celkovému počtu úspěšných experimentů se pravděpodobnost požadovaného výsledku vypočítá takto:

Poměr je relativní četnost výskytu určitého výsledku během dostatečně dlouhého experimentu. Pravděpodobnost se vypočítá buď na základě dat provedeného experimentu, na základě minulých dat.

Příklad 1.3. Z pěti set testovaných elektrických lamp jich 415 pracovalo více než 1000 hodin. Na základě údajů z tohoto experimentu můžeme dojít k závěru, že pravděpodobnost normálního provozu lampy tohoto typu po dobu delší než 1000 hodin je:

Poznámka. Testování je destruktivní povahy, takže ne všechny lampy lze testovat. Pokud by byla testována pouze jedna lampa, pravděpodobnost by byla 1 nebo 0 (tj. zda může vydržet 1000 hodin nebo ne). Proto je nutné experiment opakovat.

Příklad 1.4. V tabulce V tabulce 1.3 jsou uvedeny údaje o délce služby mužů pracujících v podniku:

Tabulka 1.3. Pracovní zkušenosti mužů

Jaká je pravděpodobnost, že další osoba najatá společností bude pracovat alespoň dva roky:

Řešení.

Z tabulky vyplývá, že 38 ze 100 zaměstnanců pracuje ve firmě déle než dva roky. Empirická pravděpodobnost, že další zaměstnanec zůstane ve společnosti déle než dva roky, je:

Zároveň předpokládáme, že nový zaměstnanec je „typický a pracovní podmínky se nemění.

SUBJEKTIVNÍ POSOUZENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

V podnikání často nastávají situace, kdy neexistuje žádná symetrie a neexistují ani experimentální data. Stanovení pravděpodobnosti příznivého výsledku pod vlivem názorů a zkušeností výzkumníka je proto subjektivní.

Příklad 1.5.

1. Investiční expert odhaduje, že pravděpodobnost zisku v prvních dvou letech je 0,6.

2. Prognóza marketingového manažera: pravděpodobnost prodeje 1000 kusů produktu v prvním měsíci po jeho uvedení na trh je 0,4.

Teorie pravděpodobnosti je poměrně rozsáhlé nezávislé odvětví matematiky. Ve školním kurzu se teorie pravděpodobnosti probírá velmi povrchně, ale v Jednotné státní zkoušce a Státní zkoušce jsou problémy na toto téma. Řešení úloh školního kurzu však není tak těžké (alespoň co se aritmetických operací týče) - zde není potřeba počítat derivace, brát integrály a řešit složité goniometrické transformace - hlavní je umět zacházet s prvočísly a zlomky.

Teorie pravděpodobnosti - základní pojmy

Hlavními pojmy teorie pravděpodobnosti jsou test, výsledek a náhodná událost. Test z teorie pravděpodobnosti je experiment – házení mincí, tažení karty, losování – to vše jsou testy. Výsledek testu, jak už asi tušíte, se nazývá výsledek.

Co je to náhodná událost? V teorii pravděpodobnosti se předpokládá, že test se provádí více než jednou a existuje mnoho výsledků. Náhodná událost je soubor výsledků pokusu. Pokud si například hodíte mincí, mohou se stát dvě náhodné události – hlavy nebo ocasy.

Nezaměňujte pojmy výsledek a náhodná událost. Výsledek je výsledkem jednoho pokusu. Náhodná událost je soubor možných výsledků. Mimochodem, existuje takový termín jako nemožná událost. Například událost „hození čísla 8“ na standardní kostce je nemožná.

Jak zjistit pravděpodobnost?

Všichni zhruba rozumíme tomu, co je pravděpodobnost, a poměrně často toto slovo používáme ve své slovní zásobě. Kromě toho můžeme dokonce vyvodit nějaké závěry ohledně pravděpodobnosti konkrétní události, například pokud je za oknem sníh, můžeme s největší pravděpodobností říci, že není léto. Jak však můžeme tento předpoklad číselně vyjádřit?

Abychom zavedli vzorec pro nalezení pravděpodobnosti, zavedeme ještě jeden pojem – příznivý výsledek, tedy výsledek, který je příznivý pro konkrétní událost. Definice je samozřejmě dost nejednoznačná, ale podle podmínek problému je vždy jasné, který výsledek je příznivý.

Například: Ve třídě je 25 lidí, tři z nich jsou Káťa. Učitel pověří Olyu povinností a ta potřebuje partnera. Jaká je pravděpodobnost, že se Káťa stane vaší partnerkou?

V v tomto příkladu příznivý výsledek - partnerka Katya. Tento problém vyřešíme o něco později. Nejprve však pomocí dodatečné definice zavedeme vzorec pro zjištění pravděpodobnosti.

P = A/N, kde P je pravděpodobnost, A je číslo příznivé výsledky, N je celkový počet výsledků.

Všechny školní problémy se točí kolem tohoto jediného vzorce a hlavní problém obvykle spočívá v hledání výsledků. Někdy je snadné je najít, někdy ne tolik.

Jak řešit pravděpodobnostní problémy?

Problém 1

Nyní tedy vyřešme výše uvedený problém.

Počet příznivých výsledků (učitel vybere Káťu) jsou tři, protože ve třídě jsou tři Káťy, a celkový počet je 24 (25-1, protože Olya již byla vybrána). Pak je pravděpodobnost: P = 3/24=1/8=0,125. Pravděpodobnost, že Olyiným partnerem bude Katya, je tedy 12,5%. Není to těžké, že? Podívejme se na něco trochu složitějšího.

Problém 2

Mince byla hozena dvakrát, jaká je pravděpodobnost získání jedné hlavy a jednoho ocasu?

Podívejme se tedy na obecné výsledky. Jak mohou přistát mince – hlavy/hlavy, ocasy/ocasy, hlavy/ocasy, ocasy/hlavy? To znamená, že celkový počet výsledků je 4. Kolik příznivých výsledků? Dva - hlavy/ocasy a ocasy/hlavy. Pravděpodobnost získání kombinace hlav/ocasů je tedy:

P = 2/4 = 0,5 nebo 50 procent.

Nyní se podívejme na tento problém. Máša má v kapse 6 mincí: dvě s nominální hodnotou 5 rublů a čtyři s nominální hodnotou 10 rublů. Máša přesunula 3 mince do jiné kapsy. Jaká je pravděpodobnost, že 5rublové mince skončí v různých kapsách?

Pro zjednodušení označme mince čísly - 1,2 - pětirublové mince, 3,4,5,6 - desetirublové mince. Jak tedy mohou být mince ve vaší kapse? K dispozici je celkem 20 kombinací:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na první pohled se může zdát, že některé kombinace chybí, například 231, ale v našem případě jsou kombinace 123, 231 a 321 ekvivalentní.

Nyní spočítáme, kolik příznivých výsledků máme. Za ně vezmeme ty kombinace, které obsahují buď číslo 1 nebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Je jich 12. pravděpodobnost se rovná:

P = 12/20 = 0,6 nebo 60 %.

Zde prezentované úlohy pravděpodobnosti jsou docela jednoduché, ale nemyslete si, že pravděpodobnost je jednoduchým odvětvím matematiky. Pokud se rozhodnete pokračovat ve studiu na vysoké škole (s výjimkou humanitních), určitě vás čekají hodiny vyšší matematiky, ve kterých se seznámíte se složitějšími pojmy této teorie a úkoly tam budou mnohem obtížnější .