วิธีค้นหาความน่าจะเป็นโดยรวม สูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวอย่างการแก้ปัญหา

เรามาพูดถึงหัวข้อที่เป็นที่สนใจของผู้คนจำนวนมากกันดีกว่า ในบทความนี้ ฉันจะตอบคำถามว่าจะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างไร ฉันจะให้สูตรสำหรับการคำนวณและตัวอย่างต่างๆ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าทำอย่างไร

ความน่าจะเป็นคืออะไร

เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้หรือเหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นคือความเชื่อมั่นจำนวนหนึ่งในผลลัพธ์บางอย่างที่เกิดขึ้นในที่สุด สำหรับการคำนวณนี้ มีการพัฒนาสูตรความน่าจะเป็นรวมที่ช่วยให้คุณระบุได้ว่าเหตุการณ์ที่คุณสนใจจะเกิดขึ้นหรือไม่ โดยผ่านสิ่งที่เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข. สูตรนี้มีลักษณะดังนี้: P = n/m ตัวอักษรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อสาระสำคัญ

ตัวอย่างความน่าจะเป็น

ใช้ตัวอย่างง่ายๆ มาวิเคราะห์สูตรนี้และนำไปใช้กัน สมมติว่าคุณมีเหตุการณ์หนึ่ง (P) ปล่อยให้เป็นการโยนลูกเต๋า นั่นคือ การตายด้านเท่ากันหมด และเราต้องคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 แต้มเป็นเท่าไหร่. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องมีจำนวนเหตุการณ์เชิงบวก (n) ในกรณีของเรา - เสีย 2 คะแนนสำหรับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด (m) การทอย 2 แต้มจะเกิดขึ้นได้ในกรณีเดียวเท่านั้น ถ้ามี 2 แต้มบนลูกเต๋า เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมจะมากกว่านั้นจึงตามมาว่า n = 1 ต่อไปเราจะนับจำนวนทอยของตัวเลขอื่นๆ บน ลูกเต๋าต่อ 1 ลูกเต๋า - เหล่านี้คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ดังนั้นจึงมี 6 กรณีที่ดีนั่นคือ m = 6 ตอนนี้เมื่อใช้สูตรเราทำการคำนวณอย่างง่าย ๆ P = 1/ 6 และเราพบว่าการทอยลูกเต๋า 2 แต้มคือ 1/6 นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นต่ำมาก

ลองดูตัวอย่างการใช้ลูกบอลสีที่อยู่ในกล่อง: สีขาว 50 ลูก สีดำ 40 ลูก และสีเขียว 30 ลูก คุณต้องพิจารณาว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีเขียวคือเท่าใด ดังนั้น เนื่องจากมีลูกบอลสีนี้ 30 ลูก กล่าวคือ สามารถมีเหตุการณ์เชิงบวกได้เพียง 30 เหตุการณ์ (n = 30) จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดคือ 120, m = 120 (ขึ้นอยู่กับจำนวนรวมของลูกบอลทั้งหมด) โดยใช้สูตรที่เราคำนวณว่าความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลสีเขียวจะเท่ากับ P = 30/120 = 0.25 นั่นคือ 25% ของ 100 ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลที่มีขนาด a สีที่แตกต่าง (สีดำจะเป็น 33%, สีขาว 42%)

• ความน่าจะเป็นคือระดับ (การวัดเชิงสัมพันธ์ การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ในการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้เรียกว่าความน่าจะเป็น มิฉะนั้น- ไม่น่าเป็นไปได้หรือเหลือเชื่อ ความเหนือกว่าของเหตุผลเชิงบวกมากกว่าเหตุผลเชิงลบ และในทางกลับกัน อาจมีระดับที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) อาจมากหรือน้อยก็ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมักถูกประเมินในระดับคุณภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำไม่มากก็น้อยเป็นไปไม่ได้หรือยากมาก สามารถไล่ระดับ "ระดับ" ของความน่าจะเป็นได้หลากหลาย

  การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ถือเป็นวินัยพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของความน่าจะเป็นถูกกำหนดให้เป็นลักษณะตัวเลขของเหตุการณ์อย่างเป็นทางการ - การวัดความน่าจะเป็น (หรือมูลค่าของมัน) - การวัดชุดของเหตุการณ์ (ชุดย่อยของชุดของเหตุการณ์เบื้องต้น) การรับค่า ​​จาก

  (\รูปแบบการแสดงผล 0)

  (\รูปแบบการแสดงผล 1)

  ความหมาย

  (\รูปแบบการแสดงผล 1)

  สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความน่าจะเป็นเป็น 0 (โดยทั่วไปแล้วการสนทนาจะไม่เป็นจริงเสมอไป) หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ

  (\displaystyle p)

  แล้วความน่าจะเป็นของการไม่เกิดขึ้นจะเท่ากับ

  (\displaystyle 1-p)

  โดยเฉพาะความน่าจะเป็น

  (\displaystyle 1/2)

  หมายถึงความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันในการเกิดและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์

  คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดของความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันของผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยในการสุ่มเหรียญคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่ามีเพียงความเป็นไปได้สองอย่างนี้เท่านั้นที่เกิดขึ้นและเป็นไปได้เท่ากัน “คำจำกัดความ” แบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นนี้สามารถสรุปได้ในกรณีของจำนวนอนันต์ ค่าที่เป็นไปได้- ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์บางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน ณ จุดใดๆ (จำนวนจุดไม่มีที่สิ้นสุด) ของพื้นที่บางส่วน (ระนาบ) ที่จำกัด ความน่าจะเป็นที่มันจะเกิดขึ้นในบางส่วนของนี้ พื้นที่ที่ถูกต้องเท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของขอบเขตของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  “คำจำกัดความ” เชิงประจักษ์ของความน่าจะเป็นสัมพันธ์กับความถี่ของเหตุการณ์ โดยขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ความถี่ควรมีแนวโน้มไปสู่ระดับวัตถุประสงค์ของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้ ในการนำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ ความน่าจะเป็นถูกกำหนดตามสัจพจน์ เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีนามธรรมของหน่วยวัดที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ความเชื่อมโยงระหว่างการวัดเชิงนามธรรมและความน่าจะเป็นซึ่งแสดงถึงระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์นั้น อยู่ที่ความถี่ของการสังเกตอย่างแม่นยำ

  คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างได้แพร่หลายเข้ามา วิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเศรษฐมิติ ฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้แต่ในกรณีของคำอธิบายเชิงกำหนดแบบดั้งเดิมของการเคลื่อนที่ของอนุภาค คำอธิบายเชิงกำหนดของระบบอนุภาคทั้งหมดก็ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติและเหมาะสม ในฟิสิกส์ควอนตัม กระบวนการที่อธิบายไว้มีความน่าจะเป็นในธรรมชาติ

คุณต้องการที่จะรู้ว่าอะไร อัตราต่อรองทางคณิตศาสตร์กับความสำเร็จของการเดิมพันของคุณ? แล้วมีสองสำหรับคุณ ข่าวดี. ประการแรก: ในการคำนวณความสามารถข้ามประเทศ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณและใช้จ่ายที่ซับซ้อน จำนวนมากเวลา. การใช้สูตรง่ายๆ ก็เพียงพอแล้วซึ่งจะใช้เวลาสองสามนาทีในการทำงาน ประการที่สอง: หลังจากอ่านบทความนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ธุรกรรมใดๆ ของคุณผ่านได้อย่างง่ายดาย

ในการพิจารณาความสามารถข้ามประเทศอย่างถูกต้อง คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน:

• คำนวณเปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามสำนักงานเจ้ามือรับแทง
• คำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลทางสถิติด้วยตัวเอง
• ค้นหามูลค่าของการเดิมพัน โดยคำนึงถึงความน่าจะเป็นทั้งสองอย่าง

มาดูรายละเอียดแต่ละขั้นตอนกัน ไม่ใช่แค่ใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอย่างด้วย

ผ่านอย่างรวดเร็ว

การคำนวณความน่าจะเป็นที่รวมอยู่ในอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง

ขั้นตอนแรกคือการหาความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงเองประเมินโอกาสของผลลัพธ์นั้น ๆ เป็นที่ชัดเจนว่าเจ้ามือรับแทงไม่ได้กำหนดอัตราต่อรองเช่นนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

ปบี=(1/K)*100%,

โดยที่ P B คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามสำนักงานของเจ้ามือรับแทง

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าอัตราต่อรองสำหรับชัยชนะของลอนดอนอาร์เซนอลในการแข่งขันกับบาเยิร์นมิวนิคคือ 4 ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือรับแทงจะประเมินความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็น (1/4)*100%=25% หรือยอโควิชเล่นกับยูซนี่ ตัวคูณสำหรับชัยชนะของ Novak คือ 1.2 โอกาสของเขาคือ (1/1.2)*100%=83%

นี่คือวิธีที่เจ้ามือรับแทงประเมินโอกาสในการประสบความสำเร็จของผู้เล่นและทีมแต่ละคน เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกแล้วเราก็ไปยังขั้นตอนที่สอง

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยผู้เล่น

ประเด็นที่สองของแผนของเราคือการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยตัวเราเอง เนื่องจากเราไม่สามารถคำนึงถึงพารามิเตอร์ต่างๆ เช่น แรงจูงใจและโทนของเกมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราจะใช้แบบจำลองที่เรียบง่ายและใช้เฉพาะสถิติจากการประชุมครั้งก่อนๆ ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางสถิติของผลลัพธ์ เราใช้สูตร:

ปและ=(อืม/ม)*100%,

ที่ไหนปและ– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามผู้เล่น;

UM – จำนวนการแข่งขันที่ประสบความสำเร็จซึ่งมีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น

M – จำนวนการแข่งขันทั้งหมด

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเราขอยกตัวอย่าง แอนดี เมอร์เรย์ และราฟาเอล นาดาล ลงเล่น 14 นัดระหว่างกัน ใน 6 เกมนั้นมีทั้งหมดน้อยกว่า 21 เกม และใน 8 เกมนั้นมากกว่านั้น คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่นัดถัดไปจะเล่นด้วยผลรวมที่สูงกว่า: (8/14)*100=57% บาเลนเซียลงเล่น 74 นัดกับแอตเลติโกที่เมสตายา ซึ่งพวกเขาเก็บชัยชนะได้ 29 นัด ความน่าจะเป็นที่บาเลนเซียจะชนะ: (29/74)*100%=39%.

และเราเรียนรู้ทั้งหมดนี้ด้วยสถิติของเกมก่อนหน้าเท่านั้น! โดยปกติแล้ว จะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวสำหรับทีมหรือผู้เล่นใหม่ได้ ดังนั้นกลยุทธ์การเดิมพันนี้จึงเหมาะสำหรับการแข่งขันที่ฝ่ายตรงข้ามพบกันมากกว่าหนึ่งครั้งเท่านั้น ตอนนี้เรารู้วิธีกำหนดเจ้ามือรับแทงและความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แล้ว และเรามีความรู้ทั้งหมดที่จะไปยังขั้นตอนสุดท้าย

การกำหนดมูลค่าของการเดิมพัน

มูลค่า (มูลค่า) ของการเดิมพันและความสามารถในการผ่านมีความเชื่อมโยงกันโดยตรง ยิ่งมูลค่าสูงเท่าใด โอกาสที่จะผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ค่าจะถูกคำนวณดังนี้:

วี=ปและ*K-100%,

โดยที่ V คือมูลค่า

P I – ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามนักเดิมพัน

K – อัตราต่อรองเจ้ามือรับแทงสำหรับผลลัพธ์

สมมติว่าเราต้องการเดิมพันชัยชนะของมิลานในการแข่งขันกับโรม่า และเราคำนวณว่าความน่าจะเป็นที่ “แดง-ดำ” จะชนะคือ 45% เจ้ามือรับแทงเสนออัตราต่อรองให้เรา 2.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ การเดิมพันดังกล่าวจะมีคุณค่าหรือไม่? เราทำการคำนวณ: V=45%*2.5-100%=12.5% เยี่ยมเลย เรามีการเดิมพันที่คุ้มค่าพร้อมโอกาสผ่านที่ดี

มาดูอีกกรณีหนึ่ง มาเรีย ชาราโปวา พบกับ เปตรา ควิโตวา เราต้องการทำข้อตกลงเพื่อให้มาเรียชนะ ความน่าจะเป็นที่ตามการคำนวณของเราคือ 60% เจ้ามือรับแทงเสนอตัวคูณ 1.5 สำหรับผลลัพธ์นี้ เรากำหนดค่า: V=60%*1.5-100=-10% อย่างที่คุณเห็น การเดิมพันนี้ไม่มีค่าและควรหลีกเลี่ยง

เมื่อรู้ว่าความน่าจะเป็นสามารถวัดได้ ลองแสดงเป็นตัวเลขดู มีสามวิธีที่เป็นไปได้

ข้าว. 1.1. การวัดความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยสมมาตร

มีสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เช่น เมื่อโยนเหรียญครั้งเดียว ถ้าเหรียญเป็นแบบมาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่ “หัว” หรือ “ก้อย” จะปรากฏจะเท่ากัน กล่าวคือ P("หัว") = P("ก้อย") เนื่องจากเป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น ดังนั้น P("heads") + P("tails") = 1 ดังนั้น P("heads") = P("tails") = 0.5

ในการทดลองที่ผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E, P (E) จะเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1.1 เหรียญถูกโยนสามครั้ง ความน่าจะเป็นของสองหัวและหนึ่งหางเป็นเท่าใด?

ขั้นแรก เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: เพื่อให้แน่ใจว่าทุกอย่าง ตัวเลือกที่เป็นไปได้เราพบแล้ว ให้ใช้แผนผังต้นไม้ (ดูบทที่ 1 หัวข้อ 1.3.1)

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน 8 รายการ ดังนั้น ความน่าจะเป็นคือ 1/8 เหตุการณ์ E - สองหัวและก้อย - เกิดขึ้น 3 ครั้ง นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 1.2 มาตรฐาน ลูกเต๋าโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่คะแนนเป็น 9 ขึ้นไปเป็นเท่าใด

เรามาค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน

ตารางที่ 1.2 จำนวนแต้มทั้งหมดที่ได้รับจากการทอยลูกเต๋าสองครั้ง

ดังนั้น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 10 จาก 36 รายการ ผลรวมของคะแนนคือ 9 หรือเท่ากับ:

ความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยเชิงประจักษ์

ตัวอย่างเหรียญจากโต๊ะ 1.1 แสดงให้เห็นกลไกในการพิจารณาความน่าจะเป็นอย่างชัดเจน

เมื่อพิจารณาจากจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ประสบความสำเร็จ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการจะถูกคำนวณดังนี้:

อัตราส่วนคือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดผลลัพธ์บางอย่างในการทดลองที่ใช้เวลานานพอสมควร ความน่าจะเป็นจะคำนวณตามข้อมูลของการทดลองที่ดำเนินการ โดยอิงจากข้อมูลในอดีต

ตัวอย่างที่ 1.3 จากการทดสอบหลอดไฟฟ้าห้าร้อยหลอด 415 หลอดใช้งานได้นานกว่า 1,000 ชั่วโมง จากข้อมูลจากการทดลองนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของหลอดไฟประเภทนี้เป็นเวลานานกว่า 1,000 ชั่วโมงคือ:

บันทึก. การทดสอบมีลักษณะเป็นการทำลายล้าง ดังนั้นจึงไม่สามารถทดสอบหลอดไฟทั้งหมดได้ หากทดสอบหลอดไฟเพียงหลอดเดียว ความน่าจะเป็นจะเป็น 1 หรือ 0 (เช่น สามารถใช้งานได้นาน 1,000 ชั่วโมงหรือไม่) จึงต้องทำการทดลองซ้ำ

ตัวอย่างที่ 1.4 ในตาราง 1.3 แสดงข้อมูลเกี่ยวกับระยะเวลาการทำงานของผู้ชายที่ทำงานในบริษัท:

ตารางที่ 1.3. ประสบการณ์การทำงานของผู้ชาย

ความน่าจะเป็นที่บุคคลต่อไปที่ได้รับการว่าจ้างจากบริษัทจะทำงานเป็นเวลาอย่างน้อยสองปีคือเท่าใด:

สารละลาย.

ตารางแสดงให้เห็นว่าพนักงาน 38 คนจาก 100 คนทำงานในบริษัทมานานกว่าสองปี ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ที่พนักงานคนต่อไปจะอยู่กับบริษัทนานกว่าสองปีคือ:

ในเวลาเดียวกัน เราถือว่าพนักงานใหม่ "เป็นเรื่องปกติและสภาพการทำงานไม่เปลี่ยนแปลง

การประเมินความน่าจะเป็นเชิงอัตนัย

ในธุรกิจ สถานการณ์มักจะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีความสมมาตร และไม่มีข้อมูลการทดลองเช่นกัน ดังนั้นการกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ดีภายใต้อิทธิพลของมุมมองและประสบการณ์ของผู้วิจัยจึงเป็นเรื่องส่วนตัว

ตัวอย่างที่ 1.5

1. ผู้เชี่ยวชาญด้านการลงทุนประมาณการว่าความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรในสองปีแรกคือ 0.6

2. การคาดการณ์ของผู้จัดการฝ่ายการตลาด: ความน่าจะเป็นที่จะขายผลิตภัณฑ์ได้ 1,000 หน่วยในเดือนแรกหลังจากปรากฏตัวในตลาดคือ 0.4

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างเป็นอิสระ ในหลักสูตรของโรงเรียน มีการกล่าวถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างผิวเผินมาก แต่ในการสอบ Unified State และ State Examination มีปัญหาเกี่ยวกับ หัวข้อนี้. อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาหลักสูตรของโรงเรียนนั้นไม่ใช่เรื่องยาก (อย่างน้อยก็ในแง่ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) - ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องนับอนุพันธ์รับอินทิกรัลและแก้ไขการแปลงตรีโกณมิติที่ซับซ้อน - สิ่งสำคัญคือสามารถจัดการจำนวนเฉพาะได้ และเศษส่วน

ทฤษฎีความน่าจะเป็น-คำศัพท์พื้นฐาน

เงื่อนไขหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการทดสอบ ผลลัพธ์ และเหตุการณ์สุ่ม การทดสอบในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการทดลอง การโยนเหรียญ การจั่วไพ่ การจับสลาก ทั้งหมดนี้ถือเป็นการทดสอบ ผลการทดสอบตามที่คุณอาจเดาได้เรียกว่าผลลัพธ์

เหตุการณ์สุ่มคืออะไร? ในทฤษฎีความน่าจะเป็น สันนิษฐานว่าการทดสอบดำเนินการมากกว่าหนึ่งครั้งและมีผลลัพธ์มากมาย เหตุการณ์สุ่มคือชุดผลลัพธ์ของการทดลอง ตัวอย่างเช่น หากคุณโยนเหรียญ เหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ - หัวหรือก้อย

อย่าสับสนระหว่างแนวคิดเรื่องผลลัพธ์และเหตุการณ์สุ่ม ผลลัพธ์คือผลลัพธ์หนึ่งของการทดลองหนึ่งครั้ง เหตุการณ์สุ่มคือชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม มีคำที่เรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เหตุการณ์ “ทอยเลข 8” บนลูกเต๋ามาตรฐานเป็นไปไม่ได้

จะหาความน่าจะเป็นได้อย่างไร?

เราทุกคนเข้าใจคร่าวๆ ว่าความน่าจะเป็นคืออะไร และมักใช้คำนี้ในคำศัพท์ของเรา นอกจากนี้เรายังสามารถสรุปผลบางอย่างเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งได้ เช่น หากมีหิมะอยู่นอกหน้าต่าง เราก็อาจพูดได้ว่าไม่ใช่ฤดูร้อน อย่างไรก็ตาม เราจะแสดงสมมติฐานนี้เป็นตัวเลขได้อย่างไร?

เพื่อที่จะแนะนำสูตรในการค้นหาความน่าจะเป็น เราได้แนะนำแนวคิดอีกหนึ่งแนวคิด - ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ นั่นคือ ผลลัพธ์ที่ดีสำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ แน่นอนว่าคำจำกัดความค่อนข้างคลุมเครือ แต่ตามเงื่อนไขของปัญหาจะชัดเจนเสมอว่าผลลัพธ์ใดดี

ตัวอย่างเช่น: ในชั้นเรียนมี 25 คน โดย 3 คนคือคัทย่า ครูมอบหมายให้โอลิยาทำหน้าที่ และเธอต้องการคู่หู ความน่าจะเป็นที่คัทย่าจะกลายเป็นคู่ของคุณคือเท่าไร?

ใน ในตัวอย่างนี้ผลลัพธ์ที่ดี - หุ้นส่วน Katya เราจะแก้ไขปัญหานี้ในภายหลัง แต่ก่อนอื่น เมื่อใช้คำจำกัดความเพิ่มเติม เราจะแนะนำสูตรในการค้นหาความน่าจะเป็น

• P = A/N โดยที่ P คือความน่าจะเป็น A คือตัวเลข ผลลัพธ์ที่ดี, N คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ปัญหาในโรงเรียนทั้งหมดเกี่ยวข้องกับสูตรนี้ และปัญหาหลักมักจะอยู่ที่การหาผลลัพธ์ บางครั้งก็หาง่ายบางครั้งก็ไม่มากนัก

วิธีแก้ปัญหาความน่าจะเป็น?

ปัญหาที่ 1

ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาข้างต้นกันดีกว่า

จำนวนผลลัพธ์ที่ดี (ครูจะเลือกคัทย่า) คือสามเนื่องจากมีคัทย่าสามตัวในชั้นเรียนและผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 24 (25-1 เนื่องจากโอลิยาถูกเลือกแล้ว) ความน่าจะเป็นคือ: P = 3/24=1/8=0.125 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คู่หูของ Olya จะเป็น Katya คือ 12.5% ไม่ยากใช่ไหม? ลองดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย

ปัญหาที่ 2

เหรียญถูกโยน 2 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 1 หาง 1 ครั้งเป็นเท่าไหร่?

ลองพิจารณาผลลัพธ์ทั่วไปกัน เหรียญลงจอดได้อย่างไร - หัว/หัว, ก้อย/ก้อย, หัว/ก้อย, ก้อย/หัว? ซึ่งหมายความว่าจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจมีกี่รายการ? สองหัว/ก้อย และก้อย/หัว ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว/ก้อยรวมกันคือ:

• P = 2/4 = 0.5 หรือ 50 เปอร์เซ็นต์

ตอนนี้เรามาดูปัญหานี้กัน Masha มีเหรียญ 6 เหรียญในกระเป๋าของเธอ: สองเหรียญมีมูลค่าหน้า 5 รูเบิลและสี่เหรียญมีมูลค่าหน้า 10 รูเบิล Masha ย้ายเหรียญ 3 เหรียญไปที่กระเป๋าอื่น ความน่าจะเป็นที่เหรียญ 5 รูเบิลจะจบลงในกระเป๋าที่แตกต่างกันคือเท่าไร?

เพื่อความง่าย เรามากำหนดเหรียญตามตัวเลข - 1,2 - เหรียญห้ารูเบิล, 3,4,5,6 - เหรียญสิบรูเบิล แล้วเหรียญจะอยู่ในกระเป๋าของคุณได้อย่างไร? มีทั้งหมด 20 ชุด:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าชุดค่าผสมบางชุดหายไป เช่น 231 แต่ในกรณีของเรา ชุดค่าผสม 123, 231 และ 321 นั้นเทียบเท่ากัน

ตอนนี้เรานับผลลัพธ์ที่ดีที่เรามีมากมายแล้ว สำหรับพวกเขาเราใช้ชุดค่าผสมที่มีหมายเลข 1 หรือหมายเลข 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 มี 12 รายการ ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ:

• P = 12/20 = 0.6 หรือ 60%

ปัญหาความน่าจะเป็นที่นำเสนอนี้ค่อนข้างง่าย แต่อย่าคิดว่าความน่าจะเป็นเป็นสาขาง่ายๆ ของคณิตศาสตร์ หากคุณตัดสินใจที่จะศึกษาต่อในมหาวิทยาลัย (ยกเว้นสาขามนุษยศาสตร์) คุณจะต้องเรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงอย่างแน่นอน ซึ่งคุณจะได้รู้จักกับคำศัพท์ที่ซับซ้อนมากขึ้นของทฤษฎีนี้ และงานต่างๆ ที่นั่นจะยากขึ้นมาก .