Genel olasılık nasıl bulunur? Olasılık teorisi formülleri ve problem çözme örnekleri

Pek çok insanın ilgisini çeken bir konu hakkında konuşalım. Bu yazımda bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır sorusuna cevap vereceğim. Böyle bir hesaplama için formüller vereceğim ve bunun nasıl yapıldığını daha açık hale getirmek için birkaç örnek vereceğim.

Olasılık nedir

Şu veya bu olayın meydana gelme olasılığının, bir sonucun nihai olarak ortaya çıkması konusunda belirli bir güven olduğu gerçeğiyle başlayalım. Bu hesaplama için ilgilendiğiniz olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini sözde hesaplama yoluyla belirlemenizi sağlayan bir toplam olasılık formülü geliştirilmiştir. koşullu olasılıklar. Bu formül şuna benzer: P = n/m, harfler değişebilir ama bu işin özüne etki etmez.

Olasılık örnekleri

Basit bir örnek kullanarak bu formülü analiz edip uygulayalım. Diyelim ki belirli bir olay (P) var, bu bir zar atışı, yani eşkenar zar olsun. Ve bundan 2 puan alma olasılığının ne olduğunu hesaplamamız gerekiyor. Bunu yapmak için, bizim durumumuzda olumlu olayların sayısına (n) ihtiyacınız var - toplam olay sayısı (m) için 2 puan kaybı. 2 puanlık bir atış yalnızca tek bir durumda gerçekleşebilir, eğer zarda 2 puan varsa, aksi takdirde toplam daha büyük olacaktır, bundan n = 1 sonucu çıkar. Daha sonra, zardaki diğer sayıların atış sayısını sayarız. zar, 1 zar başına - bunlar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'dır, dolayısıyla 6 uygun durum vardır, yani m = 6. Şimdi formülü kullanarak basit bir hesaplama yapıyoruz: P = 1/ 6 ve zardaki 2 puanın atılmasının 1/6 olduğunu, yani olayın olasılığının çok düşük olduğunu buluyoruz.

Ayrıca bir kutudaki renkli topları kullanan bir örneğe bakalım: 50 beyaz, 40 siyah ve 30 yeşil. Yeşil top çekme olasılığının ne olduğunu belirlemeniz gerekiyor. Yani bu renkten 30 top olduğuna göre yani sadece 30 pozitif olay olabileceğine göre (n=30), tüm olayların sayısı 120, m=120 (tüm topların toplam sayısına göre), formülü kullanarak yeşil top çekme olasılığının P = 30/120 = 0,25 yani 100'ün %25'ine eşit olacağını hesaplıyoruz. Aynı şekilde yeşil top çekme olasılığını da hesaplayabilirsiniz. farklı renk (siyah %33, beyaz %42 olacaktır).

Olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığının derecesidir (göreceli ölçüm, niceliksel değerlendirme). Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır basıyorsa, bu olaya olası denir. aksi takdirde- olası ya da inanılmaz. Olumlu nedenlerin olumsuz olanlara ve bunun tersinin üstünlüğü, değişen derecelerde olabilir ve bunun sonucunda olasılık (ve olasılık dışılık) daha fazla veya daha az olabilir. Bu nedenle olasılık, özellikle az ya da çok doğru niceliksel değerlendirmenin imkansız olduğu veya son derece zor olduğu durumlarda, genellikle niteliksel düzeyde değerlendirilir. Olasılığın çeşitli “düzeyleri” dereceleri mümkündür.
Olasılığın matematiksel açıdan incelenmesi özel bir disiplin - olasılık teorisi oluşturur. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistiklerde olasılık kavramı, bir olayın sayısal bir özelliği - bir olasılık ölçüsü (veya değeri) - bir dizi olay (bir dizi temel olayın alt kümesi) üzerinde bir ölçüm, değerler alma olarak resmileştirilir. dan
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Anlam
(\displaystyle 1)
Güvenilir bir olaya karşılık gelir. İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır (tersi genellikle her zaman doğru değildir). Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise
(\displaystylep)
O zaman oluşmama olasılığı eşittir
(\displaystyle 1-p)
Özellikle olasılık
(\displaystyle 1/2)
Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılığının eşit olması anlamına gelir.
Olasılığın klasik tanımı, sonuçların eşit olasılığı kavramına dayanmaktadır. Olasılık, belirli bir olay için olumlu sonuçların sayısının, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Örneğin, rastgele bir para atışında yazı veya tura gelme olasılığı, yalnızca bu iki olasılığın meydana geldiği ve bunların eşit derecede mümkün olduğu varsayılırsa 1/2'dir. Olasılığın bu klasik “tanımı” sonsuz sayıdaki durumlara genelleştirilebilir. olası değerler- örneğin, uzayın sınırlı bir bölgesinin (düzlem) herhangi bir noktasında (nokta sayısı sonsuzdur) eşit olasılıkla bir olay meydana gelebiliyorsa, o zaman bu olayın bir bölümünde meydana gelme olasılığı geçerli alan bu parçanın hacminin (alanının), tüm olası noktaların bölgesinin hacmine (alanına) oranına eşittir.
Olasılığın ampirik "tanımı", yeterince fazla sayıda denemeyle frekansın bu olayın nesnel olasılık derecesine yönelmesi gerektiği gerçeğine dayanarak, bir olayın sıklığıyla ilgilidir. Olasılık teorisinin modern sunumunda olasılık, soyut küme ölçü teorisinin özel bir durumu olarak aksiyomatik olarak tanımlanır. Ancak soyut ölçü ile bir olayın meydana gelme olasılığının derecesini ifade eden olasılık arasındaki bağlantı, tam da o olayın gözlemlenme sıklığıdır.
Belirli olayların olasılıksal açıklaması, dünyada yaygın hale gelmiştir. modern bilim, özellikle ekonometride, makroskopik (termodinamik) sistemlerin istatistiksel fiziğinde, parçacıkların hareketinin klasik deterministik bir açıklaması durumunda bile, tüm parçacık sisteminin deterministik bir açıklaması pratik olarak mümkün ve uygun görünmemektedir. Kuantum fiziğinde açıklanan süreçlerin kendisi doğası gereği olasılıksaldır.

Ne olduğunu bilmek ister misin matematiksel oranlar Bahsinizin başarısı hakkında mı? O zaman senin için iki tane var iyi haberler. Birincisi: ülkeler arası yeteneği hesaplamak için karmaşık hesaplamalar yapmanıza ve harcama yapmanıza gerek yok çok sayıda zaman. Çalışması birkaç dakika sürecek basit formülleri kullanmak yeterlidir. İkincisi: Bu makaleyi okuduktan sonra herhangi bir işleminizin geçme olasılığını kolayca hesaplayabilirsiniz.

Ülkeler arası yeteneği doğru bir şekilde belirlemek için üç adım atmanız gerekir:

Bahis şirketinin ofisine göre bir olayın sonucunun olasılık yüzdesini hesaplayın;
İstatistiksel verileri kullanarak olasılığı kendiniz hesaplayın;
Her iki olasılığı da dikkate alarak bahsin değerini bulun.

Sadece formülleri değil aynı zamanda örnekleri de kullanarak adımların her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Hızlı geçiş

Bahisçi oranlarına dahil edilen olasılığın hesaplanması

İlk adım, bahisçinin belirli bir sonucun şansını hangi olasılıkla tahmin ettiğini bulmaktır. Bahis şirketlerinin oranları bu şekilde belirlemediği açıktır. Bunu yapmak için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

PB=(1/K)*100%,

burada P B, bahisçinin ofisine göre sonucun olasılığıdır;

K – sonuç için bahisçinin oranları.

Diyelim ki Londra Arsenal'in Bayern Münih maçında kazanma ihtimali 4. Bu da bahisçinin kazanma ihtimalini (1/4)*%100=%25 olarak değerlendirdiği anlamına geliyor. Veya Djokovic Youzhny'ye karşı oynayacak. Novak'ın galibiyet çarpanı 1,2, şansı (1/1,2)*%100=%83.

Bahis şirketinin kendisi her oyuncunun ve takımın başarı şansını bu şekilde değerlendirir. İlk adımı tamamladıktan sonra ikinci adıma geçiyoruz.

Bir olayın olasılığının oyuncu tarafından hesaplanması

Planımızın ikinci noktası, olayın olasılığına ilişkin kendi değerlendirmemizdir. Motivasyon ve oyunun tonu gibi parametreleri matematiksel olarak hesaba katamadığımız için basitleştirilmiş bir model kullanacağız ve yalnızca önceki toplantılardan elde edilen istatistikleri kullanacağız. Bir sonucun istatistiksel olasılığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

PVE=(UM/M)*100%,

NeredePVE– oyuncuya göre bir olayın olasılığı;

UM – böyle bir olayın meydana geldiği başarılı maçların sayısı;

M – toplam eşleşme sayısı.

Daha açık hale getirmek için örnekler verelim. Andy Murray ve Rafael Nadal aralarında 14 maç oynadı. Bunlardan 6'sında toplam 21'in altında, 8'inde ise toplam sayı fazla oldu. Bir sonraki maçın daha yüksek toplamla oynanma olasılığını bulmanız gerekiyor: (8/14)*100=%57. Valencia, Mestalla'da Atlético'ya karşı 74 maç oynadı ve bu maçların 29'unu kazandı. Valencia'nın kazanma olasılığı: (29/74)*100%=39%.

Ve tüm bunları yalnızca önceki oyunların istatistikleri sayesinde öğreniyoruz! Doğal olarak yeni bir takım veya oyuncu için böyle bir olasılığı hesaplamak mümkün olmayacağından bu bahis stratejisi yalnızca rakiplerin birden fazla karşılaştığı maçlar için uygundur. Artık bahis şirketinin ve bizim sonuç olasılıklarımızı nasıl belirleyeceğimizi biliyoruz ve son adıma geçmek için gerekli tüm bilgiye sahibiz.

Bir bahisin değerinin belirlenmesi

Bir bahsin değeri (değeri) ile geçerlilik arasında doğrudan bir bağlantı vardır: değer ne kadar yüksek olursa, geçme şansı da o kadar yüksek olur. Değer şu şekilde hesaplanır:

v=PVE*K-100%,

burada V değerdir;

P I – bahisçiye göre sonuç olasılığı;

K – sonuç için bahisçinin oranları.

Diyelim ki Milan'ın Roma'ya karşı oynayacağı maçta galibiyet üzerine bahis oynamak istiyoruz ve kırmızı-siyahlıların kazanma olasılığını %45 olarak hesaplıyoruz. Bahis şirketi bu sonuç için bize 2,5 oran sunuyor. Böyle bir bahis değerli olur mu? Hesaplamaları yapıyoruz: V=%45*2,5-100%=%12,5. Harika, geçme şansı yüksek olan değerli bir bahisimiz var.

Başka bir vakayı ele alalım. Maria Sharapova, Petra Kvitova'ya karşı oynuyor. Maria'nın kazanması için, hesaplamalarımıza göre olasılığı %60 olan bir anlaşma yapmak istiyoruz. Bahisçiler bu sonuç için 1,5 çarpanı sunuyor. Değeri belirliyoruz: V=60%*1.5-100=-10%. Gördüğünüz gibi bu bahsin hiçbir değeri yoktur ve kaçınılmalıdır.

Olasılığın ölçülebileceğini bilerek bunu rakamlarla ifade etmeye çalışalım. Üç olası yol vardır.

Pirinç. 1.1. Olasılığın Ölçülmesi

SİMETRİYLE BELİRTİLEN OLASILIK

Olası sonuçların eşit derecede muhtemel olduğu durumlar vardır. Örneğin, bir kez para atıldığında, para standart ise, yazı veya tura gelme olasılığı aynıdır; P("tura") = P("yazı"). Yalnızca iki sonuç mümkün olduğundan, P("tura") + P("yazı") = 1, dolayısıyla P("tura") = P("yazı") = 0,5.

Sonuçların eşit gerçekleşme şansına sahip olduğu deneylerde, E, P(E) olayının olasılığı şuna eşittir:

Örnek 1.1. Para üç kez atılıyor. İki tura ve bir kuyruk gelme olasılığı nedir?

Öncelikle olası tüm sonuçları bulalım: Her şeyin doğru olduğundan emin olmak için olası seçenekler bulduk, bir ağaç diyagramı kullanalım (bkz. Bölüm 1, Kısım 1.3.1).

Yani eşit derecede olası 8 sonuç vardır, dolayısıyla bunların olasılığı 1/8'dir. Olay E - iki tura ve yazı - üç meydana geldi. Bu yüzden:

Örnek 1.2. Standart zar iki kez atıldı. Skorun 9 veya daha fazla olma olasılığı nedir?

Tüm olası sonuçları bulalım.

Tablo 1.2. Bir zarın iki kez atılmasıyla elde edilen toplam puan sayısı

Yani, 36 olası sonuçtan 10'unda puanların toplamı 9'dur veya bu nedenle:

AMPİRİK OLARAK BELİRTİLEN OLASILIK

Tablodan bir bozuk para örneği. 1.1, olasılığı belirleme mekanizmasını açıkça göstermektedir.

Başarılı olan toplam deney sayısı göz önüne alındığında, gerekli sonucun olasılığı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

Oran, yeterince uzun bir deney boyunca belirli bir sonucun göreceli ortaya çıkma sıklığıdır. Olasılık, gerçekleştirilen deneyin verilerine veya geçmiş verilere dayanarak hesaplanır.

Örnek 1.3. Test edilen beş yüz elektrik lambasından 415'i 1000 saatten fazla çalıştı. Bu deneyden elde edilen verilere dayanarak, bu tip bir lambanın 1000 saatten fazla normal çalışma olasılığının şu şekilde olduğu sonucuna varabiliriz:

Not. Testler doğası gereği yıkıcı olduğundan tüm lambalar test edilemez. Yalnızca bir lamba test edilmiş olsaydı olasılık 1 veya 0 olurdu (yani 1000 saat dayanıp dayanamayacağı). Bu nedenle deneyi tekrarlama ihtiyacı doğdu.

Örnek 1.4. Masada 1.3 şirkette çalışan erkeklerin hizmet süresine ilişkin verileri göstermektedir:

Tablo 1.3. Erkeklerin iş deneyimi

Şirkette işe alınan bir sonraki kişinin en az iki yıl çalışma olasılığı nedir:

Çözüm.

Tabloda 100 çalışandan 38'inin şirkette iki yıldan fazla süredir çalıştığı görülüyor. Bir sonraki çalışanın şirkette iki yıldan fazla kalacağına dair ampirik olasılık:

Aynı zamanda yeni çalışanın “tipik” olduğunu ve çalışma koşullarının değişmediğini varsayıyoruz.

Sübjektif OLASILIK DEĞERLENDİRMESİ

İş hayatında simetrinin olmadığı ve deneysel verinin de olmadığı durumlar sıklıkla ortaya çıkar. Bu nedenle araştırmacının görüş ve deneyiminin etkisi altında olumlu bir sonuç çıkma ihtimalinin belirlenmesi subjektiftir.

Örnek 1.5.

1. Bir yatırım uzmanı ilk iki yılda kar elde etme olasılığının 0,6 olduğunu tahmin etmektedir.

2. Pazarlama müdürünün tahmini: Bir ürünün piyasaya çıktıktan sonraki ilk ayda 1000 adet satılma olasılığı 0,4'tür.

Olasılık teorisi matematiğin oldukça kapsamlı, bağımsız bir dalıdır. Okul dersinde olasılık teorisi çok yüzeysel olarak tartışılıyor, ancak Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavında şu konularda sorunlar var: bu konu. Bununla birlikte, okul dersi problemlerini çözmek o kadar da zor değildir (en azından aritmetik işlemler söz konusu olduğunda) - burada türevleri saymanıza, integraller almanıza ve karmaşık trigonometrik dönüşümleri çözmenize gerek yoktur - asıl önemli olan asal sayıları işleyebilmektir ve kesirler.

Olasılık teorisi - temel terimler

Olasılık teorisinin ana terimleri test, sonuç ve rastgele olaydır. Olasılık teorisindeki bir test bir deneydir - yazı tura atmak, kart çekmek, kura çekmek - bunların hepsi testtir. Tahmin edebileceğiniz gibi testin sonucuna sonuç denir.

Rastgele olay nedir? Olasılık teorisinde testin birden fazla kez yapıldığı ve birçok sonucun olduğu varsayılır. Rastgele bir olay, bir denemenin sonuçlarının bir kümesidir. Örneğin, bir parayı havaya attığınızda iki rastgele olay meydana gelebilir: yazı veya tura.

Sonuç ve rastgele olay kavramlarını karıştırmayın. Sonuç, bir denemenin sonucudur. Rastgele bir olay, olası sonuçların bir kümesidir. Bu arada imkansız olay diye bir terim var. Örneğin standart bir zarda “8 sayısının atılması” olayı imkansızdır.

Olasılık nasıl bulunur?

Hepimiz olasılığın ne olduğunu kabaca anlıyoruz ve bu kelimeyi kelime dağarcığımızda sıklıkla kullanıyoruz. Ayrıca belirli bir olayın olasılığına ilişkin bazı sonuçlar bile çıkarabiliriz, örneğin pencerenin dışında kar varsa büyük olasılıkla yaz olmadığını söyleyebiliriz. Ancak bu varsayımı sayısal olarak nasıl ifade edebiliriz?

Olasılığı bulmak için bir formül sunmak amacıyla, bir kavram daha tanıtıyoruz - olumlu sonuç, yani belirli bir olay için olumlu sonuç. Tanım elbette oldukça belirsiz, ancak sorunun koşullarına göre hangi sonucun olumlu olduğu her zaman açıktır.

Örnek: Sınıfta 25 kişi var, üçü Katya. Öğretmen Olya'yı göreve atar ve onun bir ortağa ihtiyacı vardır. Katya'nın partneriniz olma olasılığı nedir?

İÇİNDE bu örnekte olumlu sonuç - ortak Katya. Bu sorunu biraz sonra çözeceğiz. Ancak önce ek bir tanım kullanarak olasılığı bulmak için bir formül sunuyoruz.

P = A/N, burada P olasılıktır, A sayıdır olumlu sonuçlar, N toplam sonuç sayısıdır.

Tüm okul sorunları bu tek formül etrafında döner ve asıl zorluk genellikle sonuçları bulmakta yatmaktadır. Bazen onları bulmak kolaydır, bazen o kadar da kolay değildir.

Olasılık problemleri nasıl çözülür?

Sorun 1

Şimdi yukarıdaki problemi çözelim.

Olumlu sonuçların sayısı (öğretmen Katya'yı seçecektir) üçtür, çünkü sınıfta üç Katya vardır ve toplam sonuçlar 24'tür (25-1, çünkü Olya zaten seçilmiştir). O halde olasılık şu şekildedir: P = 3/24=1/8=0,125. Yani Olya'nın partnerinin Katya olma ihtimali %12,5. Zor değil, değil mi? Biraz daha karmaşık bir şeye bakalım.

Sorun 2

Para iki kez atıldığında bir yazı ve bir yazı gelme olasılığı kaçtır?

Şimdi genel sonuçlara bakalım. Madeni paralar nasıl yere inebilir - tura/tura, yazı/yazı, tura/yazı, yazı/tura? Bu da toplam sonuç sayısının 4 olduğu anlamına geliyor. Kaç tane olumlu sonuç var? İki - yazı/yazı ve yazı/yazı. Dolayısıyla tura/yazı kombinasyonunun gelme olasılığı:

P = 2/4 = 0,5 veya yüzde 50.

Şimdi bu soruna bakalım. Masha'nın cebinde 6 madeni para var: ikisi 5 ruble, dördü 10 ruble nominal değeri. Maşa 3 parayı başka bir cebe taşıdı. 5 rublelik madeni paraların farklı ceplere düşme olasılığı nedir?

Basitleştirmek için, madeni paraları sayılarla belirtelim - 1,2 - beş rublelik madeni paralar, 3,4,5,6 - on rublelik madeni paralar. Peki paralar nasıl cebinizde olabiliyor? Toplamda 20 kombinasyon vardır:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

İlk bakışta bazı kombinasyonlar eksik gibi görünebilir, örneğin 231, ancak bizim durumumuzda 123, 231 ve 321 kombinasyonları eşdeğerdir.

Şimdi kaç olumlu sonuca sahip olduğumuzu sayıyoruz. Onlar için 1 sayısını veya 2 sayısını içeren kombinasyonları alıyoruz: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Bunlardan 12 tane var. olasılık şuna eşittir:

P = 12/20 = 0,6 veya %60.

Burada sunulan olasılık problemleri oldukça basittir ancak olasılığın matematiğin basit bir dalı olduğunu düşünmeyin. Eğitiminize bir üniversitede devam etmeye karar verirseniz (beşeri bilimler hariç), kesinlikle bu teorinin daha karmaşık terimleriyle tanışacağınız yüksek matematik dersleri alacaksınız ve oradaki görevler çok daha zor olacak. .