DIY Impossible Penrose Triangle. Penrosův trojúhelník

Penrosův trojúhelník- jedna z hlavních nemožných postav, známá také jako nemožný trojúhelník A tribar.

Penroseův trojúhelník (barevně)

Příběh

Tato postava se stala široce známou poté, co anglický matematik Roger Penrose v roce 1958 zveřejnil článek o nemožných číslech v British Journal of Psychology. Také v tomto článku byl nejvíce vyobrazen nemožný trojúhelník obecná forma- V ve formě tří nosníky navzájem spojené v pravém úhlu. Ovlivněn tímto článkem v holandský umělec Maurits Escher vytvořil jednu ze svých slavných litografií „Vodopád“.

3D tisk Penroseova trojúhelníku

Sochy

13metrová socha nemožného trojúhelníku vyrobená z hliníku byla postavena v roce 1999 v Perthu (Austrálie)

Stejná socha při změně pohledu

Jiné postavy

Ačkoli je docela možné sestavit analogy Penroseova trojúhelníku založené na pravidelných mnohoúhelnících, vizuální efekt z nich není tak působivý. S rostoucím počtem stran se objekt jednoduše jeví jako ohnutý nebo zkroucený.

viz také

Tři králíci (anglicky) Tři zajíci)

Iluzionismus (filozofie)

Iluzionismus - v širokém smyslu je název pro filozofický postoj týkající se určitých jevů; za způsob uvažování o takových jevech; v užším slova smyslu - to je název pro několik konkrétních filozofické teorie.

Iluze stěny kavárny

Iluze stěny kavárny - optická iluze, vytvořený společným jednáním různé úrovně nervové mechanismy: neurony sítnice a neurony zrakové kůry.

Nemožná postava

Nemožná figura je jedním z typů optických klamů, figura, která se na první pohled jeví jako projekce obyčejného trojrozměrného předmětu, při jehož pečlivém zkoumání se stanou viditelnými protichůdná spojení prvků figury. Vytváří se iluze o nemožnosti existence takové postavy v trojrozměrném prostoru.

Nemožná kostka

Impossible Cube je nemožná figura, kterou vynalezl Escher pro svou litografii Belvedere. Jedná se o dvourozměrný obrazec, který povrchně připomíná perspektivu trojrozměrné krychle, která je neslučitelná se skutečnou krychlí. Na litografii Belvedere drží chlapec sedící u paty budovy nemožnou kostku. U nohou mu leží kresba podobné Neckerovy kostky, zatímco samotná budova obsahuje stejné vlastnosti nemožné kostky.

Nemožná kostka si vypůjčuje nejednoznačnost Neckerovy kostky, ve které jsou hrany nakresleny jako úsečky a kterou lze interpretovat v jedné ze dvou různých trojrozměrných orientací.

Nemožná kostka se obvykle kreslí jako Neckerova kostka, ve které jsou hrany (segmenty) nahrazeny zdánlivě pevnými tyčemi.

V Escherově litografii odpovídají čtyři horní spoje tyčí a horní průsečík tyčí jedné ze dvou interpretací Neckerovy kostky, zatímco spodní čtyři spoje a spodní průnik odpovídají druhé interpretaci. Jiné varianty nemožné kostky kombinují tyto vlastnosti jinými způsoby. Například jedna z kostek na obrázku obsahuje všech osm spojení podle jedné interpretace Neckerovy kostky a oba průniky odpovídají jiné interpretaci.

Zdánlivá pevnost tyčí dává nemožné kostce větší vizuální nejednoznačnost než kostka Necker, u které je méně pravděpodobné, že bude vnímána jako nemožný objekt. Iluze hraje na interpretaci dvojrozměrné kresby lidským okem jako trojrozměrného objektu. Trojrozměrné předměty se mohou jevit jako nemožné, když se na ně díváte z určitého úhlu, a to buď řezáním předmětu na správném místě, nebo použitím změněné perspektivy, ale lidská zkušenost s pravoúhlými předměty činí nemožné vjemy pravděpodobnějšími než iluze ve skutečnosti.

Jiní umělci, včetně Jose De Meye, také malovali díla s nemožnou kostkou.

Vymyšlená fotografie údajně nemožné krychle byla zveřejněna v červnu 1966 v časopise Scientific American, kde byla nazvána „Frimish Cage“. Nemožná kostka byla umístěna na Rakušanovi poštovní známka.

Nemožný trojzubec

Blivet, také známý jako poyut nebo ďábelské vidle, je nevysvětlitelná figura, optický klam a nemožná figura. Zdá se, že tři válcové tyče se promění ve dvě tyče.

Ruthersward, Oscare

Oscar Rutersvärd (obvyklé psaní příjmení v ruskojazyčné literatuře; správněji Reutersvärd), Švéd. Oscar Reutersvärd (29. listopadu 1915, Stockholm, Švédsko – 2. února 2002, Lund) – „otec nemožné postavy“, švédský umělec, který se specializoval na zobrazování nemožných postav, tedy těch, které lze zobrazit (dáno nevyhnutelné narušení perspektivy při reprezentaci 3-rozměrného prostoru na papíře), ale nelze je vytvořit. Jedna z jeho postav obdržela další vývoj jako „Penroseův trojúhelník“ (1934). Dílo Ruthersvarda lze srovnat s dílem Eschera, pokud však tento použil nemožné postavy jako „kostry“ pro obraz fantasy světy, pak se Rutersvärd zajímal pouze o figury jako takové. Během svého života Ruthersvard namaloval asi 2 500 postav izometrická projekce. Ruthersvardovy knihy vyšly v mnoha jazycích, včetně ruštiny.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (holandský: Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17. června 1898, Leeuwarden, Nizozemsko – 27. března 1972, Nizozemí) – grafik Hilvers Známý především svými konceptuálními litografiemi, dřevorytinami a kovorytinami, v nichž mistrovsky prozkoumal plastické aspekty pojmů nekonečno a symetrie, stejně jako zvláštnosti psychologického vnímání složitých trojrozměrných objektů, je nejvýraznějším představitelem imp artu.


Iluze	Penrose Trojúhelník

Dmitrij Rakov

Naše oči to nemohou vědět
povaha předmětů.
Tak jim to nenuťte
bludy rozumu.

Titus Lucretius Carus

Běžný výraz „optická iluze“ je ze své podstaty nesprávný. Oči nás nemohou oklamat, protože jsou pouze mezičlánkem mezi předmětem a lidským mozkem. K optické iluzi obvykle nedochází kvůli tomu, co vidíme, ale proto, že nevědomě uvažujeme a nedobrovolně se mýlíme: „mysl se může dívat na svět okem, a ne okem“.

Jednou z nejpozoruhodnějších oblastí uměleckého hnutí optického umění (op-art) je imp-art (nemožné umění), založené na zobrazování nemožných postav. Nemožné objekty jsou kresby na rovině (jakákoli rovina je dvourozměrná) zobrazující trojrozměrné struktury, které ve skutečném trojrozměrném světě nelze existovat. Klasická a jedna z nejjednodušších postav je nemožný trojúhelník.

V nemožném trojúhelníku je každý úhel sám o sobě možný, ale když ho vezmeme jako celek, vyvstane paradox. Strany trojúhelníku směřují k divákovi i od něj, takže jeho jednotlivé části nemohou tvořit skutečný trojrozměrný objekt.

Přísně vzato, náš mozek interpretuje kresbu na rovině jako trojrozměrný model. Vědomí nastavuje „hloubku“, ve které se nachází každý bod obrazu. Naše představy o skutečném světě čelí rozporu, určité nesrovnalosti a musíme učinit určité předpoklady:

rovné 2D čáry jsou interpretovány jako rovné 3D čáry;
2D rovnoběžné čáry jsou interpretovány jako 3D rovnoběžné čáry;
ostré a tupé úhly jsou interpretovány jako pravé úhly v perspektivě;
vnější čáry jsou považovány za hranici formuláře. Tato vnější hranice je nesmírně důležitá pro vytvoření kompletního obrazu.

Lidské vědomí nejprve vytvoří obecný obraz předmětu a poté zkoumá jednotlivé části. Každý úhel je kompatibilní s prostorovou perspektivou, ale když se spojí, vytvoří prostorový paradox. Pokud zavřete některý z rohů trojúhelníku, pak tato nemožnost zmizí.

Historie nemožných postav

S chybami v prostorové konstrukci se umělci setkávali i před tisíci lety. Za prvního, kdo zkonstruoval a analyzoval nemožné předměty, je však považován švédský umělec Oscar Reutersvärd, který v roce 1934 nakreslil první nemožný trojúhelník složený z devíti krychlí.


		"Moskva", grafika (řasenka, tužka), 50x70 cm, 2003

Anglický matematik a fyzik Roger Penrose, nezávislý na Reuters, znovu objevuje nemožný trojúhelník a publikuje jeho obrázek v britském psychologickém časopise v roce 1958. Iluze využívá „falešnou perspektivu“. Někdy se tato perspektiva nazývá čínská, protože podobná metoda kresby, kdy je hloubka kresby „nejednoznačná“, byla často nalezena v dílech čínských umělců.

Ve výkresu "Tři šneci" nejsou malá a velká kostka orientována v normální izometrické projekci. Menší krychle sousedí s větší na přední a zadní straně, což znamená, že podle trojrozměrné logiky má stejné rozměry některých stran jako větší. Zpočátku se kresba zdá být skutečnou reprezentací pevného tělesa, ale jak analýza postupuje, odhalují se logické rozpory tohoto objektu.

Kresba „Tři šneci“ navazuje na tradici druhé slavné nemožné figurky – nemožné kostky (krabice).


"IQ", grafika (řasenka, tužka), 50x70 cm, 2001		"Nahoru a dolů", M. Escher

Kombinaci různých objektů lze nalézt i v ne zcela seriózní kresbě „IQ“ (inteligenční kvocient). Je zajímavé, že někteří lidé nevnímají nemožné předměty, protože jejich mysl není schopna identifikovat ploché obrázky s trojrozměrnými předměty.

Donald E. Simanek navrhl, že porozumění vizuálním paradoxům je jedním z charakteristických znaků druhu kreativity, kterou mají nejlepší matematici, vědci a umělci. Mnoho děl s paradoxními předměty lze klasifikovat jako „intelektuální matematické hry“. Moderní věda hovoří o 7rozměrném nebo 26rozměrném modelu světa. Takový svět lze modelovat pouze pomocí matematických vzorců, lidé si to prostě nedokážou představit. Tady se hodí nemožné figury. Z filozofického hlediska slouží jako připomínka toho, že jakékoli jevy (in systémová analýza, věda, politika, ekonomika atd.) by měly být brány v úvahu ve všech složitých a nesrozumitelných vztazích.

Různé nemožné (a možné) předměty jsou prezentovány v obraze "Nemožná abeceda".

Třetí populární nemožná postava je neuvěřitelné schodiště vytvořené Penrosem. Po ní budete průběžně buď stoupat (proti směru hodinových ručiček), nebo klesat (ve směru hodinových ručiček). Penroseův model tvořil základ slavného obrazu M. Eschera „Nahoru a dolů“ („Vzestupně a sestupně“).

Existuje další skupina objektů, které nelze implementovat. Klasickou figurkou je nemožný trojzubec, neboli „ďábelská vidlička“.

Pokud pozorně prostudujete obrázek, všimnete si, že tři zuby se postupně mění na dva na jedné základně, což vede ke konfliktu. Porovnáme počet zubů nahoře a dole a dojdeme k závěru, že objekt je nemožný.

Existuje nějaký větší užitek z nemožného kreslení než hry mysli? Některé nemocnice obrazy speciálně zavěšují nemožné předměty, protože jejich vyšetření může zaměstnávat pacienty na dlouhou dobu. Bylo by logické pověsit takové kresby na pokladny, policejní stanice a další místa, kde čekání ve frontě někdy trvá věčnost. Kresby by mohly působit jako jakési „chronofágy“, tzn. žrouti času.

Bylo vynalezeno několik nemožných figurek - žebřík, trojúhelník a x-prong. Tyto postavy jsou ve skutečnosti na trojrozměrném obrázku zcela reálné. Ale když umělec promítne objem na papír, předměty se zdají nemožné. Trojúhelník, kterému se také říká „tribar“, se stal nádherným příkladem toho, jak se nemožné stane možným, když vynaložíte úsilí.

Všechny tyto postavy jsou krásné iluze. Úspěchy lidského génia využívají umělci, kteří malují ve stylu imp art.

Nic není nemožné. To lze říci o Penroseově trojúhelníku. Jedná se o geometricky nemožný obrazec, jehož prvky nelze propojit. Koneckonců, nemožný trojúhelník se stal možným. Švédský malíř Oscar Reutersvärd představil světu v roce 1934 nemožný trojúhelník z kostek. O. Reutersvard je považován za průkopníka tohoto vizuální iluze. Na počest této události byla tato kresba později vytištěna na švédské poštovní známce.

A v roce 1958 publikoval matematik Roger Penrose v anglickém časopise publikaci o nemožné postavy. Byl to on, kdo vytvořil vědecký model iluze. Roger Penrose byl neuvěřitelný vědec. Prováděl výzkum v teorii relativity a také fascinující kvantové teorii. Spolu se S. Hawkingem mu byla udělena Wolfova cena.

Je známo, že umělec Maurits Escher pod dojmem tohoto článku namaloval jeho úžasná práce— litografie „Vodopád“. Je ale možné vytvořit Penroseův trojúhelník? Jak na to, pokud je to možné?

Tribar a realita

Ačkoli je tato figura považována za nemožnou, vyrobit Penroseův trojúhelník vlastníma rukama je stejně snadné jako loupání hrušek. Dá se vyrobit z papíru. Milovníci origami prostě nemohli ignorovat tribar a přesto našli způsob, jak vytvořit a držet v rukou věc, která se dříve zdála mimo představivost vědce.

Při pohledu na projekci trojrozměrného předmětu ze tří jsme však klamáni vlastníma očima kolmé čáry. Pozorovatel si myslí, že vidí trojúhelník, i když ve skutečnosti nevidí.

Geometrická řemesla

Tribar trojúhelník, jak je uvedeno, není ve skutečnosti trojúhelník. Penroseův trojúhelník je iluze. Pouze v určitém úhlu vypadá předmět jako rovnostranný trojúhelník. Objekt ve své přirozené podobě jsou však 3 strany krychle. V takové izometrické projekci se v rovině shodují 2 úhly: ten nejblíže k divákovi a ten nejvzdálenější.

Optická iluze se samozřejmě rychle odhalí, jakmile tento předmět zvednete. Stín také odhaluje iluzi, protože stín tribaru jasně ukazuje, že úhly se ve skutečnosti neshodují.

Tribar z papíru. Systém

Jak vyrobit Penroseův trojúhelník vlastníma rukama z papíru? Existují pro tento model nějaké schéma? Dnes byly vynalezeny 2 rozvržení, aby bylo možné složit takový nemožný trojúhelník. Základní geometrie vám přesně řekne, jak složit objekt.

Chcete-li složit Penroseův trojúhelník vlastníma rukama, budete muset vyčlenit pouze 10-20 minut. Musíte si připravit lepidlo, nůžky na několik řezů a papír, na kterém je vytištěno schéma.

Z takového polotovaru se získá nejoblíbenější nemožný trojúhelník. Výroba origami řemesla není příliš náročná. Napoprvé to tedy určitě vyjde i školákovi, který právě začal studovat geometrii.

Jak vidíte, ukazuje se, že je to velmi pěkné řemeslo. Druhý kus vypadá jinak a jinak se složí, ale samotný Penroseův trojúhelník nakonec vypadá stejně.

Kroky k vytvoření Penroseova trojúhelníku z papíru.

Vyberte si jeden ze 2 přířezů, který vám vyhovuje, zkopírujte soubor a vytiskněte. Zde uvádíme příklad druhého modelu rozložení, který je o něco jednodušší.

Samotný origami polotovar „Tribar“ již obsahuje všechny potřebné tipy. Ve skutečnosti nejsou pokyny pro obvod vyžadovány. Stačí jej stáhnout na silné papírové médium, jinak bude nepohodlné pracovat a postava nebude fungovat. Pokud nemůžete okamžitě tisknout na karton, musíte náčrt připojit k novému materiálu a vyříznout výkres podél obrysu. Pro pohodlí můžete upevnit pomocí kancelářských spon.

Co dělat dál? Jak složit Penroseův trojúhelník vlastníma rukama krok za krokem? Musíte dodržovat tento akční plán:

Pojďme nasměrovat opačná strana nůžkami ty čáry, kde se potřebujete ohnout, podle návodu. Ohněte všechny čáry
V případě potřeby provádíme řezy.
Pomocí PVA slepíme dohromady ty odřezky, které mají držet díl pohromadě do jednoho celku.

Hotový model lze přelakovat libovolnou barvou, nebo si předem vzít do práce barevný karton. Ale i když je předmět z bílého papíru, stejně každého, kdo do vašeho obýváku vstoupí poprvé, takové řemeslo jistě odradí.

Kresba trojúhelníku

Jak nakreslit Penroseův trojúhelník? Ne každý rád dělá origami, ale mnoho lidí miluje kreslení.

Pro začátek nakreslete pravidelný čtverec libovolné velikosti. Pak se dovnitř nakreslí trojúhelník, jehož základna je spodní strana čtverce. V každém rohu je umístěn malý obdélník, jehož všechny strany jsou vymazány; Zůstanou pouze ty strany, které sousedí s trojúhelníkem. To je nezbytné, aby bylo zajištěno, že čáry jsou rovné. Výsledkem je trojúhelník se zkrácenými rohy.

Další fází je obraz druhé dimenze. Z levé strany horního dolního rohu je nakreslena přísně rovná čára. Stejná čára je nakreslena počínaje levým dolním rohem a není mírně přenesena na první čáru 2. kóty. Další čára je nakreslena z pravého rohu rovnoběžně se spodní stranou hlavní postavy.

Poslední fází je nakreslení třetího do druhého rozměru pomocí dalších tří malých čar. Malé čáry začínají od čar druhého rozměru a dotvářejí obraz trojrozměrného objemu.

Další figurky Penrose

Pomocí stejné analogie můžete nakreslit další tvary - čtverec nebo šestiúhelník. Iluze bude zachována. Ale přesto už tato čísla nejsou tak úžasná. Takové polygony se jednoduše zdají být velmi pokroucené. Moderní grafika umožňuje vytvářet zajímavější verze slavného trojúhelníku.

Kromě trojúhelníku je světově proslulé také Penroseovo schodiště. Cílem je oklamat oko, aby to vypadalo, že člověk neustále stoupá nahoru, když se pohybuje ve směru hodinových ručiček, a dolů, když se pohybuje proti směru hodinových ručiček.

Průběžné schodiště je nejlépe známé díky spojení s obrazem M. Eschera „Vzestup a sestup“. Je zajímavé, že když člověk projde všechny 4 ramena tohoto iluzorního schodiště, vždy skončí tam, kde začal.

Jsou známy i další předměty, které zavádějí lidskou mysl, jako například nemožný blok. Nebo krabice vyrobená podle stejných zákonů iluze s protínajícími se hranami. Ale všechny tyto předměty již byly vynalezeny na základě článku pozoruhodného vědce - Rogera Penrose.

Nemožný trojúhelník v Perthu

Figura pojmenovaná po matematikovi je poctěna. Byl jí postaven pomník. V roce 1999 byl v jednom z měst Austrálie (Perth) instalován velký Penroseův trojúhelník z hliníku, který je vysoký 13 metrů. Turisté se rádi fotí vedle hliníkového obra. Pokud si ale pro fotografování zvolíte jiný úhel, klam bude zřejmý.

Nemožný trojúhelník je jedním z úžasných matematických paradoxů. Když se na něj poprvé podíváte, nemůžete o něm ani na vteřinu pochybovat. skutečnou existenci. To je však pouze iluze, podvod. A samotnou možnost takové iluze nám vysvětlí matematika!

Otevření Penrosových

V roce 1958 vydal British Journal of Psychology článek L. Penrose a R. Penrose, ve kterém představili nový typ optická iluze, kterou nazývali „nemožný trojúhelník“.

Vizuálně nemožný trojúhelník je vnímán jako struktura, která skutečně existuje v trojrozměrném prostoru, tvořeném pravoúhlými tyčemi. Ale to je jen optický klam. Je nemožné sestavit skutečný model nemožného trojúhelníku.

Penrosův článek obsahoval několik možností pro zobrazení nemožného trojúhelníku. - jeho „klasická“ prezentace.

Jaké prvky se používají ke konstrukci nemožného trojúhelníku?

Přesněji, z jakých prvků se nám zdá být postaven? Návrh je založen na obdélníkovém rohu, který se získá spojením dvou stejných obdélníkových tyčí v pravém úhlu. Jsou zapotřebí tři takové rohy, a tedy šest kusů tyčí. Tyto rohy musí být určitým způsobem vzájemně vizuálně „propojeny“ tak, aby tvořily uzavřený řetězec. To, co se stane, je nemožný trojúhelník.

Umístěte první roh do vodorovné roviny. Připevníme k němu druhý roh, který nasměrujeme jeden z jeho okrajů nahoru. Nakonec k tomuto druhému rohu připevníme třetí roh tak, aby jeho hrana byla rovnoběžná s původní vodorovnou rovinou. V tomto případě budou dva okraje prvního a třetího rohu rovnoběžné a nasměrované v různých směrech.

Pokud považujeme prut za segment jednotkové délky, pak konce prutů prvního rohu mají souřadnice a, druhý roh - , a, třetí - , a. Máme „zkroucenou“ strukturu, která skutečně existuje v trojrozměrném prostoru.

Nyní se na to zkusme mentálně podívat z různých míst ve vesmíru. Představte si, jak to vypadá z jednoho bodu, z druhého, ze třetího. Jak se mění zorný bod, dvě „koncové“ hrany našich rohů se budou vůči sobě pohybovat. Není těžké najít polohu, ve které se budou spojovat.

Ale pokud je vzdálenost mezi žebry mnohem menší než vzdálenost od rohů k bodu, ze kterého se díváme na naši strukturu, pak pro nás budou mít obě žebra stejnou tloušťku a vznikne myšlenka, že tato dvě žebra jsou vlastně pokračováním jeden druhého. Tato situace je znázorněna 4.

Mimochodem, pokud se současně podíváme na odraz struktury v zrcadle, neuvidíme tam uzavřený okruh.

A ze zvoleného pozorovacího bodu vidíme na vlastní oči zázrak, který se stal: je tam uzavřený řetězec tří rohů. Jen neměňte svůj bod pozorování, aby se tato iluze nezhroutila. Nyní můžete nakreslit objekt, který můžete vidět, nebo umístit objektiv fotoaparátu do nalezeného bodu a získat fotografii nemožného objektu.

Jako první se o tento fenomén začali zajímat manželé Penrosovi. Využili možností, které vznikají při mapování trojrozměrného prostoru a trojrozměrných objektů do dvourozměrné roviny a upozornili na určitou konstrukční nejistotu – otevřenou strukturu tří rohů lze vnímat jako uzavřený okruh.

Důkaz nemožnosti Penroseova trojúhelníku

Analýzou vlastností dvourozměrného obrazu trojrozměrných objektů v rovině jsme pochopili, jak vlastnosti tohoto zobrazení vedou k nemožnému trojúhelníku. Snad někoho bude zajímat čistě matematický důkaz.

Je velmi snadné dokázat, že nemožný trojúhelník neexistuje, protože každý z jeho úhlů je správný a jejich součet je 270 stupňů namísto „umístěných“ 180 stupňů.

Navíc, i když uvažujeme nemožný trojúhelník slepený z úhlů menších než 90 stupňů, pak v tomto případě můžeme dokázat, že nemožný trojúhelník neexistuje.

Vidíme tři ploché hrany. Protínají se ve dvojicích podél přímých linií. Roviny obsahující tyto plochy jsou ve dvojicích ortogonální, takže se protínají v jednom bodě.

Navíc musí tímto bodem procházet přímky vzájemného průniku rovin. Proto se přímky 1, 2, 3 musí protínat v jednom bodě.

Ale to není pravda. Proto je předložený návrh nemožný.

"Nemožné" umění

Osud té či oné myšlenky – vědecké, technické, politické – závisí na mnoha okolnostech. A v neposlední řadě záleží na přesné podobě, jakou bude tento nápad prezentován, v jaké podobě se objeví široké veřejnosti. Bude ztělesnění suché a těžko vnímatelné, nebo naopak projev myšlenky bude jasný a upoutá naši pozornost i proti naší vůli.

Nemožný trojúhelník má šťastný osud. V roce 1961 holandský umělec Moritz Escher dokončil litografii, kterou nazval Waterfall. Umělec ušel dlouhou, ale rychlou cestu od samotné myšlenky nemožného trojúhelníku k jeho úžasnému uměleckému ztělesnění. Připomeňme, že článek Penrosových vyšel v roce 1958.

"Vodopád" je založen na dvou zobrazených nemožných trojúhelníkech. Jeden trojúhelník je velký, další trojúhelník se nachází uvnitř. Může se zdát, že jsou zobrazeny tři stejné nemožné trojúhelníky. Ale o to nejde, předložený návrh je poměrně složitý.

Při letmém pohledu nebude jeho absurdita okamžitě viditelná pro každého, protože každé prezentované spojení je možné. jak se říká, lokálně, to znamená na malé ploše výkresu, je takový návrh proveditelný... Ale obecně je to nemožné! Jeho jednotlivé kusy do sebe nezapadají, vzájemně se neshodují.

A abychom to pochopili, musíme vynaložit určité intelektuální a vizuální úsilí.

Pojďme se na cestu po aspektech struktury. Tato cesta je pozoruhodná tím, že podél ní, jak se nám zdá, zůstává úroveň vzhledem k horizontální rovině nezměněna. Pohybujeme-li se po této cestě, nejdeme ani nahoru, ani dolů.

A všechno by bylo v pořádku, povědomé, kdybychom na konci cesty – totiž v bodě – nezjistili, že jsme se vzhledem k počátečnímu, výchozímu bodu nějak vertikálně zvedli nějakým záhadným, nepředstavitelným způsobem!

Abychom dospěli k tomuto paradoxnímu výsledku, musíme zvolit přesně tuto cestu a také sledovat hladinu vzhledem k horizontální rovině... Není to snadný úkol. Ve svém rozhodnutí přišla Escher na pomoc...voda. Připomeňme si píseň o pohybu z nádherného vokálního cyklu Franze Schuberta „Krásná Millerova žena“:

A nejprve v představách a pak pod rukou báječného mistra se holé a suché stavby promění v akvadukty, kterými protékají čisté a rychlé proudy vody. Jejich pohyb zaujme náš pohled a my se nyní proti své vůli řítíme po proudu, sledujeme všechny zatáčky a zákruty cesty, padáme dolů s proudem, padáme na lopatky vodního mlýna a pak se zase řítíme po proudu...

Tuto cestu obcházíme jednou, dvakrát, třikrát... a teprve potom si uvědomíme: pohybem dolů, nějak jsme fantastickým způsobem Pojďme nahoru! Prvotní překvapení se rozvine v jakousi intelektuální nepohodu. Zdá se, že jsme se stali obětí nějakého vtípku, objektem nějakého vtipu, kterému jsme dosud nerozuměli.

A znovu opakujeme tuto cestu po podivném kanálu, nyní pomalu, opatrně, jako bychom se báli triku z paradoxního obrazu, kriticky vnímajíce vše, co se na této tajemné cestě děje.

Snažíme se rozluštit záhadu, která nás ohromila, a nemůžeme uniknout z jeho zajetí, dokud nenajdeme skrytý pramen, který leží v jeho základu a uvede nemyslitelnou smršť do nepřetržitého pohybu.

Umělec specificky zdůrazňuje a vnucuje nám vnímání jeho malby jako obrazu skutečných trojrozměrných předmětů. Objemovost je zdůrazněna vyobrazením velmi reálných mnohostěnů na věžích, cihelným zdivem s co nejpřesnějším zobrazením každé cihly ve stěnách akvaduktu a stoupajícími terasami se zahradami v pozadí. Vše je navrženo tak, aby přesvědčilo diváka o realitě toho, co se děje. A díky umění a skvělá technologie tohoto cíle bylo dosaženo.

Když se vymaníme ze zajetí, do kterého padá naše vědomí, začneme srovnávat, kontrastovat, analyzovat, zjistíme, že základ, zdroj tohoto obrazu je skryt v konstrukčních prvcích.

A dostali jsme ještě jeden – „fyzický“ důkaz nemožnosti „nemožného trojúhelníku“: pokud by takový trojúhelník existoval, pak by existoval i Escherův „Vodopád“, který je v podstatě perpetum mobile. Ale stroj s věčným pohybem je nemožný, proto je nemožný i „nemožný trojúhelník“. A možná je tento „důkaz“ nejpřesvědčivější.

Co udělalo z Moritze Eschera fenomén, jedinečný, který neměl v umění zjevné předchůdce a kterého nelze napodobit? Jedná se o kombinaci rovin a objemů, bedlivou pozornost k bizarním formám mikrosvěta - živého i neživého, až k neobvyklým pohledům na obyčejné věci. Hlavním efektem jeho kompozic je efekt zdání nemožných vztahů mezi známými předměty. Na první pohled dokážou tyto situace vyděsit i vyloudit úsměv. Můžete se radostně dívat na zábavu, kterou umělec nabízí, nebo se můžete vážně ponořit do hlubin dialektiky.

Moritz Escher ukázal, že svět může být úplně jiný, než jak ho vidíme a jak jsme zvyklí ho vnímat – stačí se na něj podívat z jiného, nového úhlu!

Moritz Escher

Moritz Escher měl větší štěstí jako vědec než jako umělec. Jeho rytiny a litografie byly považovány za klíče k důkazu teorémů nebo originálních protipříkladů, které odporovaly zdravému rozumu. Přinejhorším byly vnímány jako vynikající ilustrace vědeckých pojednání o krystalografii, teorii skupin, kognitivní psychologii, popř. počítačová grafika. Moritz Escher pracoval v oblasti vztahů mezi prostorem, časem a jejich identitou, používal základní mozaikové vzory a aplikoval na ně transformace. Tento Velký mistr optický klam. Escherovy rytiny nezobrazují svět formulí, ale krásu světa. Jejich intelektuální složení je radikálně proti nelogickým výtvorům surrealistů.

Nizozemský umělec Moritz Cornelius Escher se narodil 17. června 1898 v provincii Holandsko. V domě, kde se Escher narodil, je nyní muzeum.

Od roku 1907 studoval Moritz truhlář a hru na klavír, studoval na střední škola. Moritzovy známky ve všech předmětech byly špatné, s výjimkou kreslení. Učitel výtvarné výchovy si všiml chlapcova talentu a naučil ho dělat dřevoryty.

V roce 1916 Escher provedl svůj první grafické práce, rytina na fialovém linoleu - portrét jeho otce G. A. Eschera. Navštěvuje ateliér výtvarníka Gerta Stiegemanna, který měl tiskařský lis. Na tomto lisu byly vytištěny první Escherovy rytiny.

V letech 1918-1919 navštěvoval Escher Technickou akademii v nizozemském městě Delft. Dostává odklad vojenské služby, aby mohl pokračovat ve studiu, ale kvůli špatnému zdraví nemohl Moritz studium dokončit. osnovy, a byl vyloučen. V důsledku toho nikdy nedostal vysokoškolské vzdělání. Studuje na School of Architecture and Ornament ve městě Haarlem, kde navštěvuje hodiny kreslení u Samuela Geserina de Mesquite, který měl formující vliv na Escherův život a dílo.

V roce 1921 rodina Escherových navštívila Riviéru a Itálii. Moritz, fascinován vegetací a květinami středomořského klimatu, vytvořil detailní kresby kaktusů a olivovníků. Načrtl mnoho skic horských krajin, které později tvořily základ jeho děl. Později se neustále vracel do Itálie, která mu sloužila jako zdroj inspirace.

Escher začíná pro sebe experimentovat novým směrem, i tehdy se v jeho dílech nacházejí zrcadlové obrazy, krystalické postavy a koule.

Konec dvacátých let se ukázal jako velmi plodné období pro Moritze. Jeho dílo bylo vystaveno na mnoha výstavách v Holandsku a do roku 1929 jeho popularita dosáhla takové úrovně, že během jednoho roku se konalo pět samostatných výstav v Holandsku a Švýcarsku. V tomto období byly Escherovy obrazy poprvé nazývány mechanickým a „logickým“.

Asher hodně cestuje. Žije v Itálii a Švýcarsku, Belgii. Studuje maurské mozaiky, dělá litografie a rytiny. Na základě cestovatelských skečů vytváří svůj první obraz nemožné reality, Zátiší s ulicí.

Na konci třicátých let Escher pokračoval v experimentech s mozaikami a transformacemi. Vytváří mozaiku v podobě dvou ptáků letící proti sobě, což tvořilo základ obrazu „Den a noc“.

V květnu 1940 nacisté obsadili Holandsko a Belgii a 17. května vstoupil Brusel do okupační zóny, kde v té době žil Escher s rodinou. Najdou dům ve Varně a stěhují se tam v únoru 1941. Asher bude žít v tomto městě až do konce svých dnů.

V roce 1946 se Escher začal zajímat o technologii tisku z hloubky. A přestože tato technologie byla mnohem složitější než to, co Escher používal dříve a vyžadovala více času na vytvoření obrázku, výsledky byly působivé – jemné linie a přesné vykreslení stínů. Jeden z nejvíce slavných děl pomocí hlubotiskové techniky „Dew Drop“ byla dokončena v roce 1948.

V roce 1950 získal Moritz Escher popularitu jako lektor. Přitom v roce 1950 jeho první osobní výstava ve Spojených státech a lidé si jeho dílo začínají kupovat. 27. dubna 1955 byl Moritz Escher pasován na rytíře a stal se šlechticem.

V polovině 50. let Escher kombinoval mozaiky s figurami rozprostírajícími se do nekonečna.

Počátkem 60. let vyšla první kniha s Escherovými díly Grafiek en Tekeningen, ve které bylo 76 děl komentováno samotným autorem. Kniha pomohla získat porozumění mezi matematiky a krystalografy, včetně některých v Rusku a Kanadě.

V srpnu 1960 měl Escher přednášku o krystalografii v Cambridge. Velmi populární se stávají matematické a krystalografické aspekty Escherova díla.

V roce 1970 po nová série Escherovy operace se přesunuly do nový dům v Larenu, který měl ateliér, ale špatný zdravotní stav znemožňoval mnoho práce.

V roce 1971 Moritz Escher zemřel ve věku 73 let. Escher žil dost dlouho na to, aby viděl překlad Světa M. C. Eschera anglický jazyk a byl s tím velmi spokojený.

Na stránkách matematiků a programátorů lze najít různé nemožné obrázky. Většina plná verze z těch, na které jsme se podívali, je podle našeho názoru místo Vlada Alekseeva

Tato stránka představuje nejen širokou škálu slavné obrazy, včetně M. Eschera, ale také animované obrázky, vtipné kresby nemožná zvířata, mince, známky atd. Tato stránka je živá, je pravidelně aktualizována a doplňována úžasnými kresbami.

Také známý jako nemožný trojúhelník A tribar.

Příběh

Tato postava se stala široce známou poté, co anglický matematik Roger Penrose v roce 1958 zveřejnil článek o nemožných číslech v British Journal of Psychology. V tomto článku byl nemožný trojúhelník zobrazen ve své nejobecnější podobě - ve formě tří paprsků spojených navzájem v pravém úhlu. Nizozemský umělec Maurits Escher pod vlivem tohoto článku vytvořil jednu ze svých slavných litografií „Vodopád“.

Sochy

13metrová socha nemožného trojúhelníku vyrobená z hliníku byla postavena v roce 1999 v Perthu (Austrálie)

Deutsches Technikmuseum Berlin únor 2008 0004.JPG

Stejná socha při změně pohledu

Jiné postavy

viz také

Tři králíci (anglicky) Tři zajíci )

Napište recenzi na článek "Penrose Triangle"

Výňatek charakterizující Penroseův trojúhelník

Když Balašev vyjádřil vše, co mu bylo nařízeno, řekl, že císař Alexandr chce mír, ale nezahájí jednání, leda pod podmínkou, že... Zde Balašev zaváhal: vzpomněl si na slova, která císař Alexandr do dopisu nenapsal, ale která zajisté nařídil, aby Saltykov byl vložen do reskriptu a který Balašev nařídil předat Napoleonovi. Balashev si pamatoval tato slova: „dokud nezůstane na ruské zemi jediný ozbrojený nepřítel“, ale nějaký složitý pocit ho brzdil. Nemohl tato slova vyslovit, ačkoli to chtěl udělat. Zaváhal a řekl: pod podmínkou, že francouzská vojska ustoupí za Neman.
Napoleon si při řeči všiml Balaševových rozpaků poslední slova; tvář se mu chvěla, levé lýtko se začalo rytmicky chvět. Aniž by opustil své místo, začal mluvit hlasem vyšším a ukvapenějším než předtím. Během následující řeči Balashev, nejednou sklopil oči, mimovolně pozoroval chvění lýtka v Napoleonově levé noze, které zesílilo, čím více zvýšil hlas.
"Přeji mír ne méně než císař Alexander," začal. "Nejsem to já, kdo už osmnáct měsíců dělá všechno pro to, abych to dostal?" Na vysvětlení jsem čekal osmnáct měsíců. Ale co se ode mě vyžaduje, abychom mohli zahájit jednání? - řekl, zamračil se a malou, bílou a baculatou rukou udělal energické tázavé gesto.
"Ústup jednotek za Neman, pane," řekl Balashev.
- Pro Nemana? - opakoval Napoleon. - Takže teď chcete, aby ustoupili za Neman - pouze za Neman? – opakoval Napoleon a díval se přímo na Balaševa.
Balašev uctivě sklonil hlavu.
Místo požadavku před čtyřmi měsíci ustoupit z Numberanie, nyní požadovali ústup pouze za Neman. Napoleon se rychle otočil a začal chodit po místnosti.
– Říkáte, že vyžadují, abych se stáhl za Neman, abych mohl zahájit jednání; ale přesně stejným způsobem ode mě před dvěma měsíci požadovali, abych se stáhl za Odru a Vislu, a přesto souhlasíte s vyjednáváním.
Tiše přešel z jednoho rohu místnosti do druhého a znovu se zastavil naproti Balashevovi. Jeho tvář v přísném výrazu jako by ztvrdla a levá noha se třásla ještě rychleji než předtím. Napoleon poznal toto chvění svého levého lýtka. "Vibrace de mon mollet gauche est un grand signe chez moi," řekl později.