Základy herní rovnováhy: náhodnost a pravděpodobnost výskytu různých událostí. Podmíněná pravděpodobnost

V ekonomii, stejně jako v jiných oblastech lidské činnosti nebo v přírodě, se musíme neustále potýkat s událostmi, které nelze přesně předvídat. Objem prodeje produktu tedy závisí na poptávce, která se může výrazně lišit, a na řadě dalších faktorů, které je téměř nemožné vzít v úvahu. Proto při organizování výroby a realizaci prodeje musíte předvídat výsledek takových činností buď na základě vlastních předchozích zkušeností, nebo podobných zkušeností jiných lidí, případně intuice, která se do značné míry opírá i o experimentální data.

Aby bylo možné danou akci nějak vyhodnotit, je třeba vzít v úvahu nebo speciálně uspořádat podmínky, ve kterých je tato událost zaznamenávána.

Nazývá se provedení určitých podmínek nebo akcí k identifikaci příslušné události Zkušenosti nebo experiment.

Akce se nazývá náhodný, pokud v důsledku zkušenosti může, ale nemusí nastat.

Akce se nazývá spolehlivý, pokud se nutně objeví jako výsledek dané zkušenosti, a nemožné, pokud se nemůže objevit v tomto zážitku.

Například sněžení v Moskvě 30. listopadu je náhodná událost. Za spolehlivou událost lze považovat každodenní východ slunce. Sněžení na rovníku lze považovat za nemožné.

Jedním z hlavních úkolů v teorii pravděpodobnosti je úkol určit kvantitativní míru možnosti výskytu události.

Algebra událostí

Události se nazývají neslučitelné, pokud je nelze pozorovat společně ve stejné zkušenosti. Přítomnost dvou a tří vozů v jednom obchodě na prodej současně jsou tedy dvě neslučitelné události.

Množství událost je událost sestávající z výskytu alespoň jedné z těchto událostí

Příkladem součtu událostí je přítomnost alespoň jednoho ze dvou produktů v obchodě.

Práce události je událost sestávající ze současného výskytu všech těchto událostí

Akce spočívající ve výskytu dvou zboží v prodejně současně je produktem událostí: - vzhled jednoho produktu, - vzhled jiného produktu.

Formulář událostí celá skupina události, pokud alespoň jedna z nich nastane ve zkušenosti.

Příklad. Přístav má dvě kotviště pro přijímání lodí. Lze uvažovat tři události: - nepřítomnost lodí v kotvištích, - přítomnost jedné lodi v jednom z kotvišť, - přítomnost dvou lodí ve dvou kotvištích. Tyto tři události tvoří ucelenou skupinu událostí.

Naproti jsou volány dvě jedinečné možné události, které tvoří kompletní skupinu.

Pokud je jedna z událostí, která je opačná, označena , pak je opačná událost obvykle označena .

Klasické a statistické definice pravděpodobnosti události

Každý ze stejně možných výsledků testů (experimentů) se nazývá elementární výsledek. Obvykle jsou označeny písmeny. Například se hází kostkou. Na základě počtu bodů na stranách může být celkem šest základních výsledků.

Z elementárních výsledků můžete vytvořit složitější událost. Událost se sudým počtem bodů je tedy určena třemi výsledky: 2, 4, 6.

Kvantitativním měřítkem možnosti výskytu dané události je pravděpodobnost.

Nejpoužívanější definice pravděpodobnosti události jsou: klasický A statistický.

Klasická definice pravděpodobnosti je spojena s konceptem příznivého výsledku.

Výsledek se nazývá příznivý k dané události, pokud její výskyt znamená výskyt této události.

V uvedeném příkladu se jedná o událost sudé číslo body na spadlé straně má tři příznivé výsledky. V v tomto případě známý a obecný
počet možných výsledků. To znamená, že zde lze použít klasickou definici pravděpodobnosti události.

Klasická definice se rovná poměru počtu příznivých výsledků k celkovému počtu možných výsledků

kde je pravděpodobnost události, je počet výsledků příznivých pro událost, je celkový počet možných výsledků.

V uvažovaném příkladu

Statistická definice pravděpodobnosti je spojena s konceptem relativní četnosti výskytu události v experimentech.

Relativní četnost výskytu události se vypočítá pomocí vzorce

kde je počet výskytů události v sérii experimentů (testů).

Statistická definice. Pravděpodobnost události je číslo, kolem kterého se relativní frekvence ustálí (nastaví) s neomezeným nárůstem počtu experimentů.

V praktických problémech se pravděpodobnost události považuje za relativní četnost pro dostatečně velký počet pokusů.

Z těchto definic pravděpodobnosti události je zřejmé, že nerovnost je vždy splněna

Pro určení pravděpodobnosti události na základě vzorce (1.1) se často používají kombinatorikové vzorce, které slouží ke zjištění počtu příznivých výsledků a celkového počtu možných výsledků.

Jedná se o poměr počtu těch pozorování, ve kterých k dané události došlo, k celkovému počtu pozorování. Tento výklad je přijatelný v případě dostatečného velké množství pozorování nebo experimenty. Pokud je například zhruba polovina lidí, které potkáte na ulici, ženy, pak můžete říci, že pravděpodobnost, že člověk, kterého potkáte na ulici, bude žena, je 1/2. Jinými slovy, odhadem pravděpodobnosti události může být frekvence jejího výskytu v dlouhé sérii nezávislých opakování náhodného experimentu.

Pravděpodobnost v matematice

V moderním matematickém přístupu je klasická (tedy ne kvantová) pravděpodobnost dána Kolmogorovovou axiomatikou. Pravděpodobnost je míra P, který je definován na sadě X, nazývaný pravděpodobnostní prostor. Toto opatření musí mít následující vlastnosti:

Z těchto podmínek vyplývá, že pravděpodobnostní míra P má také majetek aditivitu: pokud nastaví A 1 a A 2 se neprotínají, pak . Abyste dokázali, že musíte dát všechno A 3 , A 4 , ... rovno prázdné množině a aplikujte vlastnost počitatelné aditivity.

Míra pravděpodobnosti nemusí být definována pro všechny podmnožiny množiny X. Stačí ji definovat na sigma algebře, skládající se z nějakých podmnožin množiny X. V tomto případě jsou náhodné události definovány jako měřitelné podmnožiny prostoru X, tedy jako prvky sigma algebry.

Smysl pravděpodobnosti

Když zjistíme, že důvody pro nějakou možnou skutečnost, která skutečně nastala, převažují nad důvody opačnými, vezmeme tuto skutečnost v úvahu pravděpodobný, V v opačném případě - neuvěřitelný. Tato převaha kladných bází nad zápornými a naopak může představovat neurčitý soubor stupňů, v důsledku čehož pravděpodobnost(A nepravděpodobnost) Stalo se to více nebo méně .

Složité jednotlivé skutečnosti neumožňují přesný výpočet stupňů jejich pravděpodobnosti, ale i zde je důležité stanovit některé velké pododdělení. Takže např. v právní oblasti, když je na základě svědectví zjištěna osobní skutečnost, která je předmětem soudního řízení, zůstává vždy přísně vzato pouze pravděpodobná a je třeba vědět, jak významná tato pravděpodobnost je; v římském právu zde bylo přijato čtyřnásobné dělení: probatio plena(kde se pravděpodobnost prakticky změní v spolehlivost), Dále - probatio minus plena, pak - probatio semiplena major a nakonec probatio semiplena minor .

Kromě otázky pravděpodobnosti případu může vyvstat jak v oblasti práva, tak v oblasti morální (s určitým etickým hlediskem) otázka, jak pravděpodobné je, že daná konkrétní skutečnost představuje porušení obecného zákona. Tato otázka, která sloužila jako hlavní motiv v náboženské jurisprudenci Talmudu, dala vzniknout i římskokatolické morální teologii (zejména s pozdní XVI století) velmi složité systematické konstrukce a obrovská literatura, dogmatická a polemická (viz pravděpodobnost).

Pojem pravděpodobnost umožňuje určité číselné vyjádření při aplikaci pouze na takové skutečnosti, které jsou součástí určité homogenní řady. Takže (v nejjednodušším příkladu), když někdo hodí mincí stokrát za sebou, najdeme zde jednu obecnou nebo velkou řadu (součet všech pádů mince), skládající se ze dvou soukromých nebo menších, v tomto případě číselně rovná se, řada (padá „hlavy“ a padá „ocas“); Pravděpodobnost, že tentokrát mince přistane na hlavách, tedy že toto nový člen obecné řady bude patřit této ze dvou menších řad, je rovna zlomku vyjadřujícímu číselný vztah mezi touto malou řadou a větší, a to 1/2, to znamená, že stejná pravděpodobnost náleží jedné nebo druhé řadě dvě konkrétní série. Méně jednoduché příklady závěr nelze vyvodit přímo z dat samotného problému, ale vyžaduje předběžnou indukci. Otázka tedy například zní: jaká je pravděpodobnost, že se daný novorozenec dožije 80 let? Zde by měla existovat obecná nebo velká řada určitého počtu lidí narozených v podobných podmínkách a umírajících v různém věku(toto číslo by mělo být dostatečně velké, aby eliminovalo náhodné odchylky, a malé, aby zachovalo homogenitu řady, protože pro člověka narozeného např. v Petrohradě v bohaté kulturní rodině je celá milionová populace tzv. město, jehož významnou část tvoří různorodé skupiny, které mohou předčasně zemřít – vojáci, novináři, pracovníci v rizikových povoláních – představuje skupinu příliš heterogenní pro reálné stanovení pravděpodobnosti); nechť se tato obecná řada skládá z deseti tisíc lidské životy; zahrnuje menší řady představující počet lidí přežívajících do určitého věku; jedna z těchto menších řad představuje počet lidí žijících do věku 80 let. Ale je nemožné určit počet této menší série (jako všechny ostatní) a priori; to se děje čistě induktivně, prostřednictvím statistik. Předpokládejme, že statistické studie prokázaly, že z 10 000 obyvatel Petrohradu ze střední třídy se pouze 45 dožije 80 let; tedy tato menší řada souvisí s větší jako 45 až 10 000 a pravděpodobnost pro této osoby patřit do této menší řady, tedy dožít se 80 let, se vyjadřuje zlomkem 0,0045. Studium pravděpodobnosti z matematického hlediska tvoří speciální disciplínu - teorii pravděpodobnosti.

viz také

Poznámky

Literatura

• Alfréd Renyi. Písmena o pravděpodobnosti / přel. z maďarštiny D. Saas a A. Crumley, ed. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kurz teorie pravděpodobnosti. M., 2007. 42 s.
• Kuptsov V.I. Determinismus a pravděpodobnost. M., 1976. 256 s.

Nadace Wikimedia. 2010.

Antonyma:

Podívejte se, co je „pravděpodobnost“ v jiných slovnících:

Všeobecně vědecké a filozofické. kategorie označující kvantitativní stupeň možnosti výskytu hromadných náhodných jevů za pevně stanovených podmínek pozorování, charakterizující stabilitu jejich relativních četností. V logice, sémantické míře...... Filosofická encyklopedie

PRAVDĚPODOBNOST, číslo v rozsahu od nuly do jedné včetně, představující možnost výskytu dané události. Pravděpodobnost události je definována jako poměr počtu šancí, že událost může nastat, k celkovému počtu možných... ... Vědeckotechnický encyklopedický slovník

Se vší pravděpodobností.. Slovník ruských synonym a podobných výrazů. pod. vyd. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. pravděpodobnost možnost, pravděpodobnost, náhoda, objektivní možnost, maza, přípustnost, riziko. Mravenec. nemožnost...... Slovník synonym

pravděpodobnost- Míra pravděpodobnosti výskytu události. Poznámka Matematická definice pravděpodobnosti zní: „skutečné číslo mezi 0 a 1, které je spojeno s náhodnou událostí“. Číslo může odrážet relativní četnost v sérii pozorování... ... Technická příručka překladatele

Pravděpodobnost- „matematická, numerická charakteristika stupně možnosti výskytu jakékoli události za určitých specifických podmínek, která se může neomezeně mnohokrát opakovat“. Na základě této klasiky...... Ekonomicko-matematický slovník

- (pravděpodobnost) Možnost výskytu události nebo určitého výsledku. Může být prezentována ve formě stupnice s dělením od 0 do 1. Pokud je pravděpodobnost události nulová, její výskyt je nemožný. S pravděpodobností 1, začátek... Slovník obchodních podmínek

jako ontologická kategorie odráží míru možnosti vzniku jakékoli entity za jakýchkoliv podmínek. Na rozdíl od matematického a logického výkladu tohoto pojmu se ontologická matematika nespojuje s povinností kvantitativního vyjádření. Význam V. se odhaluje v kontextu chápání determinismu a povahy vývoje vůbec.

Výborná definice

Neúplná definice ↓

PRAVDĚPODOBNOST

pojem charakterizující veličiny. míra možnosti výskytu určité události v určitém podmínky. Ve vědeckém znalostí existují tři výklady V. Klasický pojem V., který vzešel z matematick. analýza hazardní hry a nejúplněji rozpracováno B. Pascalem, J. Bernoullim a P. Laplaceem, považuje vítězství za poměr počtu příznivých případů k celkovému počtu všech stejně možných. Například při hodu kostkou, která má 6 stran, lze očekávat, že každá z nich dopadne s hodnotou 1/6, protože žádná strana nemá výhody oproti jiné. Taková symetrie experimentálních výsledků je zvláště zohledněna při organizování her, ale je poměrně vzácná při studiu objektivních událostí ve vědě a praxi. Klasický V. výklad ustoupil statistice. V. koncepty, které vycházejí ze skutečného pozorování výskytu určité události po dlouhou dobu. zkušenosti za přesně stanovených podmínek. Praxe potvrzuje, že čím častěji k nějaké události dochází, tím více stupně objektivní možnost jejího výskytu, nebo B. Proto statistická. Výklad V. je založen na pojmu souvisí. frekvenci, kterou lze určit experimentálně. V. jako teoretický pojem se nikdy nekryje s empiricky stanovenou frekvencí, nicméně v množném čísle. V případech se od relativního liší prakticky jen málo. frekvence zjištěná jako výsledek trvání. pozorování. Mnoho statistiků považuje V. za „double“ odkazuje. četnosti, hrany jsou určeny statisticky. studium výsledků pozorování

nebo experimenty. Méně realistická byla definice V. jako limitu. frekvence hromadných akcí nebo skupin, navržených R. Misesem. Tak jako další vývoj Frekvenční přístup k V. předkládá dispoziční neboli propensivní interpretaci V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Podle tohoto výkladu charakterizuje V. vlastnost generování podmínek, kupř. experiment. instalace k získání sledu masivních náhodných událostí. Je to přesně tento postoj, který dává vzniknout fyzickému dispozice, neboli predispozice, V. které lze zkontrolovat pomocí příbuzných. frekvence

Statistický V. výklad dominuje vědeckému výzkumu. poznání, protože odráží specifické. povaha vzorů vlastní hromadným jevům náhodné povahy. V mnoha fyzikálních, biologických, ekonomických, demografických. a dalších společenských procesů, je nutné počítat s působením mnoha náhodných faktorů, které se vyznačují stabilní frekvencí. Identifikace těchto stabilních frekvencí a veličin. jeho posouzení pomocí V. umožňuje odhalit nutnost, která si razí cestu kumulativním působením mnoha nehod. Zde nachází svůj projev dialektika přeměny náhody v nutnost (viz F. Engels, v knize: K. Marx a F. Engels, Works, sv. 20, str. 535-36).

Logické, neboli induktivní uvažování charakterizuje vztah mezi premisami a závěrem nedemonstrativního a zejména induktivního uvažování. Na rozdíl od dedukce, premisy indukce nezaručují pravdivost závěru, ale pouze jej činí více či méně věrohodným. Tuto věrohodnost s přesně formulovanými premisami lze někdy posoudit pomocí V. Hodnota tohoto V. se nejčastěji určuje srovnáním. pojmy (více než, méně než nebo rovno) a někdy i číselným způsobem. Logický výklad se často používá k analýze induktivního uvažování a konstrukce různé systémy pravděpodobnostní logiky (R. Carnap, R. Jeffrey). V sémantice logické pojmy V. je často definována jako míra, do jaké je jedno tvrzení potvrzeno ostatními (např. hypotéza svými empirickými daty).

V souvislosti s rozvojem teorií rozhodování a her, tzv personalistický výklad V. Ačkoli V. zároveň vyjadřuje míru víry subjektu a výskyt určité události, V. samy musí být zvoleny tak, aby byly splněny axiomy kalkulu V.. Proto V. takovým výkladem vyjadřuje ani ne tak míru subjektivní, ale spíše rozumné víry . V důsledku toho budou rozhodnutí učiněná na základě takového V. racionální, protože neberou v úvahu psychologické. vlastnosti a sklony subjektu.

S epistemologickým t.zr. rozdíl mezi statistickým, logickým. a personalistické interpretace V. je, že jestliže první charakterizuje objektivní vlastnosti a vztahy hromadných jevů náhodné povahy, pak poslední dva rozebírají rysy subjektivního, poznávajícího. lidské činnosti v podmínkách nejistoty.

PRAVDĚPODOBNOST

jeden z nejdůležitějších pojmů vědy, charakterizující zvláštní systémové vidění světa, jeho struktury, vývoje a poznání. Specifičnost pravděpodobnostního pohledu na svět se odhaluje zařazením konceptů náhodnosti, nezávislosti a hierarchie (myšlenka úrovní ve struktuře a určování systémů) mezi základní koncepty existence.

Představy o pravděpodobnosti vznikly v dávných dobách a souvisely s charakteristikami našeho vědění, přičemž byla uznávána existence pravděpodobnostního vědění, které se lišilo od vědění spolehlivého a od falešného vědění. Dopad myšlenky pravděpodobnosti na vědecké myšlení a na rozvoj poznání přímo souvisí s rozvojem teorie pravděpodobnosti jako matematické disciplíny. Původ matematické doktríny pravděpodobnosti se datuje do 17. století, kdy vývoj jádra pojmů umožňoval. kvantitativní (číselné) charakteristiky a vyjadřující pravděpodobnostní představu.

Ve 2. pol. dochází k intenzivním aplikacím pravděpodobnosti na rozvoj poznání. 19 - 1. patro 20. století Pravděpodobnost vstoupila do struktur tak základních přírodních věd, jako je klasická statistická fyzika, genetika, kvantová teorie a kybernetika (teorie informace). Pravděpodobnost tedy ztělesňuje tu fázi vývoje vědy, která je nyní definována jako neklasická věda. K odhalení novosti a rysů pravděpodobnostního způsobu myšlení je třeba vycházet z analýzy předmětu teorie pravděpodobnosti a základů jejích četných aplikací. Teorie pravděpodobnosti je obvykle definována jako matematická disciplína, která studuje vzorce hromadných náhodných jevů za určitých podmínek. Náhodnost znamená, že v rámci masového charakteru existence každého elementárního jevu nezávisí a není určována existencí jiných jevů. Samotná masová povaha jevů má přitom stabilní strukturu a obsahuje určité zákonitosti. Hromadný jev je poměrně striktně rozdělen na subsystémy a relativní počet elementárních jevů v každém ze subsystémů (relativní frekvence) je velmi stabilní. Tato stabilita je porovnávána s pravděpodobností. Hromadný jev jako celek je charakterizován rozdělením pravděpodobnosti, tj. specifikací subsystémů a jim odpovídajících pravděpodobností. Jazykem teorie pravděpodobnosti je jazyk rozdělení pravděpodobnosti. V souladu s tím je teorie pravděpodobnosti definována jako abstraktní věda o práci s distribucemi.

Pravděpodobnost dala ve vědě vzniknout myšlenkám o statistických vzorcích a statistických systémech. Poslední esence systémy tvořené z nezávislých nebo kvazi nezávislých entit, jejich struktura se vyznačuje rozdělením pravděpodobnosti. Jak je ale možné vytvořit systémy z nezávislých subjektů? Obvykle se předpokládá, že pro vytvoření systémů s integrálními charakteristikami je nutné, aby mezi jejich prvky existovala dostatečně stabilní spojení, která systémy stmelují. Stabilita statistických systémů je dána přítomností vnějších podmínek, vnějšího prostředí, vnějšího a ne vnitřní síly. Samotná definice pravděpodobnosti je vždy založena na stanovení podmínek pro vznik počátečního hromadného jevu. Další důležitou myšlenkou charakterizující pravděpodobnostní paradigma je myšlenka hierarchie (podřízenosti). Tato myšlenka vyjadřuje vztah mezi vlastnostmi jednotlivé prvky a holistické charakteristiky systémů: systémy se zdají být postaveny na prvním.

Význam pravděpodobnostních metod v poznání spočívá v tom, že umožňují studovat a teoreticky vyjádřit vzorce struktury a chování objektů a systémů, které mají hierarchickou, „dvouúrovňovou“ strukturu.

Analýza podstaty pravděpodobnosti je založena na její četnosti, statistické interpretaci. Ve vědě přitom velmi dlouho dominovalo takové chápání pravděpodobnosti, kterému se říkalo logická, neboli induktivní pravděpodobnost. Logická pravděpodobnost se zajímá o otázky platnosti samostatného, ​​individuálního úsudku za určitých podmínek. Je možné vyhodnotit míru potvrzení (reliability, pravdivosti) induktivního závěru (hypotetického závěru) v kvantitativní podobě? Během vývoje teorie pravděpodobnosti byly takové otázky opakovaně diskutovány a začalo se mluvit o stupních potvrzení hypotetických závěrů. Tato míra pravděpodobnosti je určena dostupnými tato osoba informace, jeho zkušenosti, názory na svět a psychologické myšlení. Celkově podobné případy velikost pravděpodobnosti není přístupná přísným měřením a prakticky leží mimo kompetenci teorie pravděpodobnosti jako konzistentní matematické disciplíny.

Objektivní, frekventantistický výklad pravděpodobnosti byl ve vědě ustaven se značnými obtížemi. Zpočátku bylo chápání podstaty pravděpodobnosti ovlivněno o silný dopad ty filozofické a metodologické názory, které byly charakteristické pro klasickou vědu. Historicky k rozvoji pravděpodobnostních metod ve fyzice docházelo pod určujícím vlivem myšlenek mechaniky: statistické systémy byly interpretovány jednoduše jako mechanické. Protože příslušné problémy nebyly řešeny striktními metodami mechaniky, vyvstalo tvrzení, že obrácení se k pravděpodobnostním metodám a statistickým zákonům je výsledkem neúplnosti našich znalostí. V historii rozvoje klasické statistické fyziky byly učiněny četné pokusy o jeho doložení na základě klasické mechaniky, ale všechny selhaly. Základem pravděpodobnosti je, že vyjadřuje strukturní rysy určité třídy systémů, jiných než mechanických systémů: stav prvků těchto systémů je charakterizován nestabilitou a zvláštní (na mechaniku neredukovatelnou) povahou interakcí.

Vstup pravděpodobnosti do vědění vede k popření konceptu tvrdého determinismu, k popření základního modelu bytí a poznání vyvinutého v procesu formování klasické vědy. Základní modely reprezentované statistickými teoriemi mají jiné, více obecný charakter: Patří sem myšlenky náhodnosti a nezávislosti. Myšlenka pravděpodobnosti je spojena s odhalením vnitřní dynamiky objektů a systémů, kterou nelze zcela určit vnějšími podmínkami a okolnostmi.

Koncept pravděpodobnostního vidění světa, založeného na absolutizaci představ o nezávislosti (jako dříve paradigma rigidního určení), nyní odhalil svá omezení, která nejsilněji ovlivňuje přechod moderní věda k analytickým metodám studia složitých systémů a fyzikálních a matematických základů jevů samoorganizace.

Výborná definice

Neúplná definice ↓

Přivedeno k dnešnímu dni otevřít sklenici Problémy jednotné státní zkoušky z matematiky (mathege.ru), jejichž řešení je založeno pouze na jednom vzorci, který je klasickou definicí pravděpodobnosti.

Nejjednodušší způsob, jak pochopit vzorec, jsou příklady.
Příklad 1 V košíku je 9 červených míčků a 3 modré míčky. Kuličky se liší pouze barvou. Jednoho z nich náhodně vyjmeme (aniž bychom se dívali). Jaká je pravděpodobnost, že takto vybraný míček bude modrý?

Komentář. V problémech v teorii pravděpodobnosti se stane něco (v tomto případě naše akce vytažení míče), co může mít jiný výsledek - výsledek. Nutno podotknout, že na výsledek lze nahlížet různými způsoby. "Vytáhli jsme nějaký druh míče" je také výsledkem. "Vytáhli jsme modrou kouli" - výsledek. "Vytáhli jsme přesně tento míč ze všech možných míčů" - tento nejméně zobecněný pohled na výsledek se nazývá elementární výsledek. Ve vzorci pro výpočet pravděpodobnosti jsou myšleny elementární výsledky.

Řešení. Nyní spočítejme pravděpodobnost výběru modré koule.
Událost A: „vybraný míč se ukázal jako modrý“
Celkový počet všech možných výsledků: 9+3=12 (počet všech míčků, které jsme mohli losovat)
Počet výsledků příznivých pro událost A: 3 (počet takových výsledků, při kterých došlo k události A - tedy počet modrých míčků)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odpověď: 0,25

Pro stejný problém spočítejme pravděpodobnost výběru červené koule.
Celkový počet možných výsledků zůstane stejný, 12. Počet příznivých výsledků: 9. Hledaná pravděpodobnost: 9/12=3/4=0,75

Pravděpodobnost jakékoli události je vždy mezi 0 a 1.
Někdy se v běžné řeči (ale ne v teorii pravděpodobnosti!) pravděpodobnost událostí odhaduje v procentech. Přechod mezi matematickým a konverzačním skóre se provádí vynásobením (nebo dělením) 100 %.
Tak,
Navíc je pravděpodobnost nulová pro události, které se nemohou stát – neuvěřitelné. Například v našem příkladu by to byla pravděpodobnost vytažení zelené koule z koše. (Počet příznivých výsledků je 0, P(A)=0/12=0, pokud se vypočítá pomocí vzorce)
Pravděpodobnost 1 má události, které se zcela jistě stanou, bez možností. Například pravděpodobnost, že „vybraný míč bude buď červený nebo modrý“, je pro nás úkolem. (Počet příznivých výsledků: 12, P(A)=12/12=1)

Zkontrolovali jsme klasický příklad, ilustrující definici pravděpodobnosti. Všechny podobné problémy jednotné státní zkoušky z teorie pravděpodobnosti jsou řešeny pomocí tohoto vzorce.
Místo červených a modrých kuliček mohou být jablka a hrušky, chlapci a dívky, naučené a nenaučené vstupenky, vstupenky obsahující i neobsahující otázku na nějaké téma (prototypy,), vadné a kvalitní tašky nebo zahradní čerpadla (prototypy ,) - princip zůstává stejný.

Mírně se liší ve formulaci problému teorie pravděpodobnosti Jednotné státní zkoušky, kde je potřeba vypočítat pravděpodobnost nějaké události, která nastane v určitý den. ( , ) Stejně jako v předchozích úlohách musíte určit, jaký je elementární výsledek, a poté použít stejný vzorec.

Příklad 2 Konference trvá tři dny. První a druhý den vystoupí 15 řečníků, třetí den - 20. Jaká je pravděpodobnost, že zpráva profesora M. padne na třetí den, pokud se pořadí zpráv určí losováním?

Jaký je zde základní výsledek? – Přidělení zprávy profesora jednoho ze všech možných pořadových čísel projevu. Losování se účastní 15+15+20=50 lidí. Zpráva profesora M. tak může obdržet jedno z 50 čísel. To znamená, že existuje pouze 50 základních výsledků.
Jaké jsou příznivé výsledky? - Ty, ve kterých se ukáže, že profesor promluví třetí den. Tedy posledních 20 čísel.
Podle vzorce pravděpodobnost P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odpověď: 0.4

Losování zde představuje navázání náhodné korespondence mezi lidmi a objednanými místy. V příkladu 2 bylo navázání korespondence zvažováno z hlediska toho, které z míst by bylo možné obsadit speciální osoba. Ke stejné situaci můžete přistoupit z druhé strany: kdo z lidí by se s jakou pravděpodobností mohl dostat na konkrétní místo (prototypy , , , ):

Příklad 3 V losování je 5 Němců, 8 Francouzů a 3 Estonci. Jaká je pravděpodobnost, že první (/druhý/sedmý/poslední – na tom nezáleží) bude Francouz.

Počet elementárních výsledků – počet všech možných lidí, kteří se na toto místo mohli dostat losováním. 5+8+3=16 lidí.
Příznivé výsledky- Francouzi. 8 lidí.
Požadovaná pravděpodobnost: 8/16=1/2=0,5
Odpověď: 0,5

Prototyp je mírně odlišný. Stále existují problémy s mincemi () a kostky(), poněkud kreativnější. Řešení těchto problémů lze nalézt na stránkách prototypu.

Zde je několik příkladů házení mincí nebo kostkou.

Příklad 4. Když si hodíme mincí, jaká je pravděpodobnost, že dopadneme na hlavu?
Existují 2 výsledky – hlavy nebo ocasy. (věří se, že mince nikdy nedopadne na její okraj) Příznivým výsledkem jsou ocasy, 1.
Pravděpodobnost 1/2=0,5
Odpověď: 0,5.

Příklad 5. Co když si dvakrát hodíme mincí? Jaká je pravděpodobnost, že dostanete hlavy v obou případech?
Hlavní věcí je určit, jaké elementární výsledky budeme uvažovat při házení dvou mincí. Po vhození dvou mincí může nastat jeden z následujících výsledků:
1) PP – v obou případech to přišlo na řadu
2) PO – poprvé hlavy, podruhé hlavy
3) OP – poprvé hlava, podruhé ocas
4) OO – hlavy se objevily v obou případech
Jiné možnosti nejsou. To znamená, že základní výsledky jsou 4. Pouze první, 1, je příznivý.
Pravděpodobnost: 1/4 = 0,25
Odpověď: 0,25

Jaká je pravděpodobnost, že dva hozené mince vyústí v ocasy?
Počet elementárních výsledků je stejný, 4. Příznivé výsledky jsou druhý a třetí, 2.
Pravděpodobnost získání jednoho ocasu: 2/4=0,5

V takových problémech může být užitečný jiný vzorec.
Pokud během jednoho hodu mincí možné možnosti máme 2 výsledky, pak pro dva hody budou výsledky 2 2 = 2 2 = 4 (jako v příkladu 5), pro tři hody 2 2 2 = 2 3 = 8, pro čtyři: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... pro N hodů budou možné výsledky 2·2·...·2=2 N .

Můžete tedy zjistit pravděpodobnost získání 5 hlav z 5 hodů mincí.
Celkový počet elementárních výsledků: 2 5 =32.
Příznivé výsledky: 1. (RRRRRR – padá všem 5krát)
Pravděpodobnost: 1/32=0,03125

Totéž platí pro kostky. Jedním hodem je 6 možných výsledků. Takže pro dva hody: 6 6 = 36, pro tři 6 6 6 = 216 atd.

Příklad 6. Házíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne sudé číslo?

Celkové výsledky: 6, podle počtu stran.
Příznivé: 3 výsledky. (2, 4, 6)
Pravděpodobnost: 3/6=0,5

Příklad 7. Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 10? (zaokrouhleno na nejbližší setinu)

Pro jednu kostku existuje 6 možných výsledků. To znamená, že pro dva je podle výše uvedeného pravidla 6·6=36.
Jaké výsledky budou příznivé, aby celkový počet hodil 10?
10 je třeba rozložit na součet dvou čísel od 1 do 6. To lze provést dvěma způsoby: 10=6+4 a 10=5+5. To znamená, že pro kostky jsou možné následující možnosti:
(6 na prvním a 4 na druhém)
(4 na první a 6 na druhé)
(5 na prvním a 5 na druhém)
Celkem, 3 možnosti. Požadovaná pravděpodobnost: 3/36=1/12=0,08
Odpověď: 0,08

Další typy problémů B6 budou popsány v jednom z další články"Jak se rozhodnout."

pravděpodobnost- číslo mezi 0 a 1, které odráží pravděpodobnost, že dojde k náhodné události, kde 0 je úplná absence pravděpodobnost výskytu události a 1 znamená, že daná událost určitě nastane.

Pravděpodobnost události E je číslo od 1 do 1.
Součet pravděpodobností vzájemně se vylučujících událostí je roven 1.

empirická pravděpodobnost- pravděpodobnost, která se vypočítá jako relativní četnost události v minulosti, získaná z analýzy historických dat.

Pravděpodobnost velmi vzácných událostí nelze empiricky vypočítat.

subjektivní pravděpodobnost- pravděpodobnost založená na osobním subjektivním posouzení události bez ohledu na historická data. Investoři, kteří se rozhodují o nákupu a prodeji akcií, často jednají na základě úvah o subjektivní pravděpodobnosti.

předchozí pravděpodobnost -

Šance je 1 v... (pravděpodobnost), že k události dojde prostřednictvím konceptu pravděpodobnosti. Pravděpodobnost výskytu události je vyjádřena pomocí pravděpodobnosti takto: P/(1-P).

Pokud je například pravděpodobnost události 0,5, pak pravděpodobnost události je 1 ze 2, protože 0,5/(1-0,5).

Šance, že k události nedojde, se vypočítá pomocí vzorce (1-P)/P

Nekonzistentní pravděpodobnost- např. cena akcií společnosti A zohledňuje možnou událost E z 85 % a cena akcií společnosti B zohledňuje pouze 50 %. Tomu se říká nekonzistentní pravděpodobnost. Podle holandského teorému sázení vytváří nekonzistentní pravděpodobnost ziskové příležitosti.

Bezpodmínečná pravděpodobnost je odpověď na otázku "Jaká je pravděpodobnost, že k události dojde?"

Podmíněná pravděpodobnost- to je odpověď na otázku: "Jaká je pravděpodobnost události A, pokud nastane událost B." Podmíněná pravděpodobnost je označena jako P(A|B).

Společná pravděpodobnost- pravděpodobnost, že události A a B nastanou současně. Označuje se jako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravidlo pro sčítání pravděpodobností:

Pravděpodobnost, že nastane buď událost A nebo událost B, je

P (A nebo B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Pokud se události A a B vzájemně vylučují, pak

P (A nebo B) = P(A) + P(B)

Nezávislé akce- události A a B jsou nezávislé, pokud

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To znamená, že jde o posloupnost výsledků, kde je hodnota pravděpodobnosti konstantní od jedné události k další.
Hození mincí je příkladem takové události – výsledek každého následujícího hodu nezávisí na výsledku předchozího.

Závislé události- jedná se o události, kde pravděpodobnost výskytu jednoho závisí na pravděpodobnosti výskytu jiného.

Pravidlo pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí:
Pokud jsou události A a B nezávislé, pak

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravidlo celkové pravděpodobnosti:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S)P(S) + P (A|S)P(S") (4)

S a S“ jsou vzájemně se vylučující události

očekávaná hodnota náhodná proměnná je průměr možných výsledků náhodné proměnné. Pro událost X je očekávání označeno jako E(X).

Řekněme, že máme 5 hodnot vzájemně se vylučujících událostí s určitou pravděpodobností (například příjem společnosti byl s takovou pravděpodobností taková a taková částka). Očekávaná hodnota je součet všech výsledků vynásobený jejich pravděpodobností:

Disperze náhodné veličiny je očekávání čtvercových odchylek náhodné veličiny od jejího očekávání:

s2 = E(2) (6)

Podmíněná očekávaná hodnota je očekávaná hodnota náhodné veličiny X za předpokladu, že událost S již nastala.